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1、第 3 章 多维随机变量及其分布习题参考答案 3.1 二维离散型随机变量习题答案 1 解:1 在有放回抽样情形下,X Y的可能取值为 0,0,0,1,1,0 1,1，则,X Y的联合分布律为 1110,05525P XY，1440,15525P XY 4141,05525P XY，44161,15525P XY 即,X Y的联合分布律为:Y X 0 1 0 1 125 425 425 1625 2 在不放回抽样的情形下 ,X Y的可能取值为 0,1,1,0 1,1，则,X Y的联合分布律为 1410,1545P XY，4111,0545P XY 4331,1545P XY 即,X Y的联合分布
2、律为：Y X 0 1 0 1 0 15 15 35.解:1 由,X Y的联合分布律的性质：111ijijp可知 0.070.180.150.080.201a，0.32a 得(2)0,11,11,0P XYP XYP XYP XY 0.070.080.320.47 3X的可能取值为0，1,则,X Y关于X的边缘分布律为 00.070.180.150.40p,10.080.320.200.60p 即 X 0 1 ip 0.40 0.60 Y的可能取值为1,0，1,则,X Y关于Y的边缘分布律为 10.070.080.15p,00.180.320.50p，10.150.200.35p 即 Y 1 0
3、 1 jp 0.15 0.50 0.35 4X与Y不独立 因为 0,10.07010.400.150.06P XYP XP Y ，由定理 3.1 可知X与Y不独立 3 解：由题意知,2,0.2XB,2,0.5YB,则由X与Y独立可知 ,P Xi YjP Xi P Yj 22220.20.80.50.5iijjijCC,0,1,2i j.即,X Y的联合分布律为 Y X 0 1 2 0 1 2 0.16 0.32 0.16 0.08 0.16 0.08 0.01 0.02 0.01 .解：关于X的边缘分布律为 X 1 2 ip 13 13ab 关于Y的边缘分布律为 Y 1 2 3 jp 12 1
4、9a 118b 由X和Y相互独立，得 1111,2129391111,31318318P XYP XP YaP XYP XP Yb 所以 29a,19b.3.2 二维连续型随机变量习题答案 1.解:1 由二维联合分布函数的性质得:,arctan02,arctan02,122F xA BxCFyA BCyFA BC 解三个方程得212ABC.2 由二维联合密度函数的性质得:当,x y 时,2,F x yf x yx y 221111Axy222111xy 3 关于X的边缘分布函数为 ,lim,XyFxF xF x y 21arctan222x 1arctan2x,x 关于Y的边缘分布函数为 21
5、,lim,arctan222YxFyFyF x yy 1arctan2y，y 2.解：1 由联合密度函数的规范性得：32001,xyfx y dxdykedxdy ，即 32001xykedxedy,由定积分的知识得：16k，即6k 2320,6xyxx yP XYfx y dxdydxedy 3206xyxedxedy50335xedx.3 X与Y相互独立.关于X的边缘密度函数为 3206,0,0,xyXedy xfxf x y dy 其他33,00,xex 其他 关于Y的边缘密度函数为 32206,02,0,0,0,xyyYedx yeyfyf x y dx 其他 其他 因为 ,XYf x
6、 yfx fy对一切实数成立，所以X与Y相互独立.解:1 由联合密度函数的规范性得:1,f x y dxdy 1220013A xx dxdy 1220013Axx dxdyA，即 1A 2 关于X的边缘密度函数为 ,Xfxf x y dy 2201,0130,xx dyx 其他212,0130,xxx 其他 2(3)2,x yP XYf x y dxdy 1212320001522333336xxx dxdyxxx dx (4),Yfyfx y dx1201,0230,xx dxy 其他1,0220,y 其他 因为 ,XYf x yfx fy对一切实数成立，所以X与Y相互独立 4.解:由题意
7、知X与Y的密度函数分别为 Xfx1,0220,x 其他 ,Yfy22,00,yey 其他 1 由于X与Y相互独立，则 ,XYf x yfx fy2,02,00,yexy 其他 4222200013(2),1.24xyxy xeP YXf x y dxdydxedyedx422222003,2.4yyyy xeP YXf x y dxdyedydxey dy或.两个随机变量函数的分布习题答案 1.解 11Z为离散型随机变量，其可能的取值是2,1,0，1,2,则 14221,120P ZP XYP XY 13111,020P ZP XYP XY 14001,11,120P ZP XYP XYP X
8、Y 16111,21,020P ZP XYP XYP XY 12221,120P ZP XYP XY 11331,220P ZP XYP XY 即1Z的分布律 1ZXY 2 1 0 1 2 3 1P Zk 420 320 420 620 220 120 2 2Z为离散型随机变量,其可能的取值是2,1,0，1，2，则2Z的分布律是 26221,220P ZP XYP XY 24111,11,120P ZP XYP XYP XY 23001,01,020P ZP XYP XYP XY 26111,11,120P ZP XYP XYP XY 21221,220P ZP XYP XY 即2Z的分布律
9、2ZXY 2 1 0 1 2 2P Zk 620 420 320 620 120 3 3Z为离散型随机变量，其可能的取值是1，0,1,2，则 341max,11,120P ZPX YP XY 330max,01,020P ZPX YP XY 311,11,11,01,1P ZP XYP XYP XYP XY 620 372max,21,21,220P ZPX YP XYP XY 即3Z的分布律 3Z 1 0 1 2 3P Zk 420 320 620 720 44Z为离散型随机变量,其可能的取值是1,0,1，则4Z的分布律是 41min,11,11,0P ZPX YP XYP XY 171,1
10、1,21,120P XYP XYP XY 40min,01,00P ZPX YP XY 431min,11,11,220P ZPX YP XYP XY即4Z的分布律 4Z 1 1 4P Zk 1720 320 2.1 C 2解:令ZXY,则Z的可能取值为2，0，2,则Z的分布律是 1221,1114P ZP XYP XYP XP Y 001,11,1P ZP XYP XYP XY 111112P XP YP XP Y 1221,1114P ZP XYP XYP XP Y 即Z的分布律 ZXY 2 0 2 P Zk 14 12 14 .解:由题意知1X与2X的密度函数和分布函数分别为 Xfx1,
11、010,x 其他 ，XFx0,0,011,1xxxx 则Y的分布函数为 YFy1212max,P YyPXXyP Xy Xy 12212XXXP Xy P XyFy FyFy 则Y的密度函数为 YYdFyfydy 2XXfy Fy2,010,yy 其他 则Z的分布函数为 12min,ZFzP ZzPXXz121min,PXXz 121,P Xz Xz 121P Xz P Xz 12211111XXXFzFzFz 则Z的密度函数为 ZZdFzfzdz 21XXfzFz2 1,010,zz 其他 4.解:由X和Y相互独立可知 33()033z x tzxz tZXYYYfzfx fzx dxefz
12、x dxeft dt 令 1 当0z 时,0Zfz;2 当0z 时，33233003266(1).zzzttztzzZfzeedtee dtee 综上所述,Z的密度函数为 Zfz236,00,zzeez 其他 第 3 章 多维随机变量及其分布复习题答案 1.解：1由X和Y相互独立可知 ,P Xi YjP Xi P Yj,i 1,2，3；0j，1，2.则X和Y的联合概率分布为 Y X 0 1 2 1 2 3 112 18 124 16 14 112 112 18 124 2313P XYP XY 11,22,13,0P XYP XYP XY 111951124412248 2 解:由二维联合概率
13、分布律及其性质可知:0.40.11ab，即0.5ab 00.4P Xa，1P Y 0.1a 10,1P XYP XY1,00.5P XYab 则由随机事件0X 与1XY相互独立可得:01PXXY1P Y0.1a 01P XP XY0.40.5 0.4aaba,即 0.10.5(0.4),aa可 得:0.2a，再 有 式得:0.3b 3 解:由题意可知,X Y的可能取值为0,0，0,1，1,0，1,1，则,X Y的联合分布律为 0,0P XYP A BP AB1P AB 1P AP BP AB 1111211461233 0,1P XY P ABP BP AB11161212 1,0P XYP
14、ABP AP AB 11,112P XYP AB 即 Y X 0 1 0 1 23 112 16 112 4.解:由题意知Y的密度函数为,00,yYeyfy 其他，12,XX的可能取值为0,0,0,1，1,0,1,1,则12,XX的联合分布律为 120,01,2P XXP YY1P Y1101ye dye 120,11,20P XXP YYP 2121211,01,212yP XXP YYPYe dyee21221,11,22yP XXP YYP Ye dye，即：2X 1X 0 1 0 1 11 e 0 12ee 2e 5.解:1由题意记区域G的面积为 A G，则 12016A Gxx dx,所以 6,0,x yGf x yx yG 2 关于X的边缘密度函数为 22666,01,0,xxXdyxxxfxf x y dy 其他 关于Y的边缘密度函数为 66,01,0,yyYdxyyyfyfx y dx 其他 3 不独立.因为当01,01xy时 ,XYf x yfx fy.解：1关于X的边缘密度函数为 2012,01,0,xXdyxxfxf x y dy 其他 关于Y的边缘密度函数为 1211,022,0,yYydxyfyf x y dx 其他 2112211,22P XYfx y dxdy 111222002131(1).216ydydxy dy