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1、收稿日期:2009-02-16.基金项目:云南省教育厅科学研究基金资助项目(08Y0369).作者简介:张建元(1956),男,副教授.主要研究方向:复分析与边值问题.K-解析函数的双边幂级数与孤立奇点摘要在定义了双边 K-幂级数的基础上,推出了在 H(k)上 K-解析函数的双边幂级数展开式,并用其研究了 K-解析函数的孤立奇点及其性质,所得结论是解析函数与共轭解析函数中的级数理论的继续和应用.关键词K-解析函数;双边 K-幂级数展开式;孤立奇点分类【中图分类号】O175.4【文献标识码】A【文章编号】1672 8513(2009)03-0198-04T w o S i d e dP o w
2、e r S e r i e s a n dS i n g u l a r P o i n t o f t h e K-a n a l y t i c F u n c t i o nZ h a n gJ ia n y u a n Z h a n g Y i m i n X i o n gS h a o w u(D e p a r tm e n t o f M a t h e m a t i c s,Z h a o t o n gT e a c h e r s C o ll e g e,Z h a o t o n g 657000,C h i n a)A b s t r a c t:T h is
3、p a p e r d e f i n e s K-p o w e r s e r i e s,g i v e s t h e e x p a n s i o no f t h e K-a n a ly t i c fu n c t i o ni n t h e t w o-s i-d e dK-p o w e r s e r ie s i na ne l li p t i c a l r i n g H(k),a n d a p p l i e s i t t o t h e s t u d y o f i s o l a t e ds i n g u la r p o in t a n d
4、 i t s n a t u r eo f K-a n a ly t i c f u n c t i o n.T h ec o n c l u s i o ni s t h ec o n t i n u a t i o na n da p p li c a t i o no f t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u lt s a b o u t th ea n a ly t i c f u n c ti o na n dc o n ju g a tea n a l y t i c f u n c t i o n.K e yw o r d s:K-a n a
5、 l y t i c f u n c t io n;t w o-s id e d K-p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n;c l a s s i f i c a t i o no f is o l a t e d s i n g u la r p o i n t 在文献 1-2中,我们给出了 K-解析函数的概念及其存在的条件与幂级数展开式,并用级数的数学思想方法研究了它的一些性质.本文将在此基础上研究讨论 K-解析函数的双边幂级数展开式,K-解析函数的孤立奇点的分类及其性质,它是解析函数与共轭解析函数的幂级数理论在 K-解析函数中的继续和应用.1K-
6、解析函数的双边幂级数展开式1.1K-解析函数与双边 K-幂级数形如 z(k)=x+i k y(k 0,k R)的复数称为 z=x+i y 的 K-复数.定义 1.1设函数 f(z)在 z0的某邻域内有定义,极限 f(k)(z0)=d f(z)d z(k)=d e fz=z0l i mz z0f(z)-f(z0)z(k)-z0(k)(存在)称为f(z)在 z0处的 K-导数,f(z)在区域 D 内的每点是 K-可导,其 D 内 K-导数记为 f(k)(z)(z D),一般地 f(z)在区域 D 内的 n 阶 K-导数为 f n(k)(z)=dnf(z)d z(k)n=dd z(k)dn-1f(z
7、)d z(k)n-1(z D).f n(k)(z)有时也简记为 f n(z).定义 1.2 1若 f(z)在区域 D 内 K-可导,称 f(z)在 D 内 K-解析;f(z)在 z=z0的某个邻域内 K-可导,称 f(z)在 z0是 K-解析.把在区域 D 内 K-解析的函数全体记为 F(D(k).设级数:n=0cn(z-a)(k)n,(1)-1n=-cn(z-a)(k)n(其中 cn,a C,n Z).(2)198由幂级数理论 2-6知级数(1),(2)分别在椭圆域 B(k):(z-a)(k)R(0R+)及 1/(z-a)(k)r(r 0,r=0时 1/r=+)内表示 K-解析函数 f1(z
8、)与 f2(z),当且仅当 r R 时,在公共的收敛椭圆环 H(k):r (z-a)(k)R 内(1)与(2)同时收敛.称级数(1)与(2)之和级数:n=-cn(z-a)(k)n或+cn(z-a)(k)n=-1-cn(z-a)(k)n+0cn(z-a)(k)n(3)为椭圆环 H(k)上的双边 K-幂级数,简称双边幂级数.其中(1)、(2)分别称为(3)的正则部分与主要部分.注:因 B(k)的边界 CR:(z-a)(k)=R ei(0 R+,0 2)即(实形式)(x-ax)2+k2(y-ay)2=R2为一个椭圆周,称 B(k)为一个椭圆域,H(k)为椭圆环.由以上讨论及幂级数的性质得:定理 1.
9、1设双边幂级数(3)的收敛椭圆环为 H(k):r (z-a)(k)R(r 0,R+),则(i)级数(3)在 H(k)内绝对收敛且内闭一致收敛于 f(z)=f1(z)+f2(z)(z H(k);(i i)f(z)在 H(k)内 K-解析;(i i i)f(z)=+-cn(z-a)(k)n在 H(k)内可逐项求 K-导数 p 次(p N).1.2K-解析函数的双边幂级数展开式定理 1.2在椭圆环 H(k):r (z-a)(k)R(r 0,R+)内 K-解析的函数 f(z)必可展成双边 K-幂级数:f(z)=n=-cn(z-a)(k)n.(4)其中 cn=12if()(-a)(k)n+1d (k),
10、(n=0,1,2,),(5):(a)(k)=(rR)且展开式是唯一的.证明 z H(k),作 H1(k):1 (z-a)(k)2 H(k)(r 12R)使 z H1(k)(如图 1).因 f(z)在 H1(k)上 K-解析,由 K-积分公式 7得f(z)=12i2f()(-z)(k)d (k)-12i1f()(-z)(k)d (k).(6)当 2:(z-a)(k)=2时,级数1(-z)(k)=1(k)-a(k)-(z(k)-a(k)=1(k)-a(k)(1-(z-a)(k)/(-a)(k)=1(k)-a(k)n=0(z-a)(k)(-a)(k)n=n=0(z-a)(k)n(-a)(k)n+1一
11、致收敛 2.当 1:(z-a)(k)=1时,级数-1(-z)(k)=1(z-a)(k)(1-(-a)(k)/(z-a)(k)=n=0(-a)(k)n(z-a)(k)n+1=n=1(-a)(k)(n-1)(z-a)(k)n一致收敛.代上两级数入(6)并逐项积分得(4),其中cn=12i2f()(-a)(k)n+1d (k)(n=0,1,2,),c-n=12i1f()(-a)(k)n+1d (k)(n=1,2,),由 K-积分定理,对 :(z-a)(k)=(:rR),有cn=12if()(-a)(k)n+1d (k)(n=0,1,),c-n=12if()(-a)(k)n+1d (k)(n=1,2,
12、),合并上两式有:cn=12if()(-a)(k)n+1d (k)(n Z).唯一性 在 H(k)上设 f(z)另有展开式:f(z)=+-cn(z-a)(k)n,由定理 1.1,当 z :(z-a)(k)=(rR)时.上面级数与级数:f()(-a)(k)-(m+1)=+-cn(-a)(k)n-m-1皆一致收敛,逐项积分得 c n=12if()(-a)(k)n+1d (k)(n Z),从而 cn=c n(n Z).199第 3期 张建元:K-解析函数的双边幂级数与孤立奇点(4),(5)式分别称为 K-解析函数 f(z)在点 a 的双边(K-)幂级数展开式及其展开式的系数.1.3K-解析函数在孤立
13、奇点领域内的幂级数展开式定义 1.3若函数 f(z)在点 a 的某一去心领域 B(k)-a :0 (z-a)(k)0(或+),使 f(z)在 a 的去心领域:0 (z-a)(k)R 内可展成双边幂级数:f(z)=+-cn(z-a)(k)n,此时收敛 K-半径 R=m i n (b a)(k).其中 b 为 f(z)的异于 a 的奇点.注(i)K-幂级数与双边 K-幂级数的关系:当 f(z)在 a 处 K-解析时,B(k):(z-a)(k)0)为界,f(z)的主要部分:c-1(z-a)(k)-1+c-2(z-a)(k)-2+c-n(z-a)(k)-n+,其中c-n=12if()(-a)(k)-n
14、+1d (k)(n=1,2,),而对 0,使 :(-a)(k)=B(k)时,有:c-n=12if()(-a)(k)-n+1d (k)M2-n+12=Mn能充分地小(充分小时)即 c-n=0(n=1,2,),亦即 f(z)的主要部分为零.2.1.2极点定理 2.2若 f(z)以 a 为孤立奇点,则下列三条件(m 阶极点的特征)等价:(i)f(z)在点 a 的主要部分为 c-m(z-a)(k)-m+c-(m-1)(z-a)(k)-(m-1)+c-1(z-a)(k)-1(c-m 0);(i i)f(z)在点 a 的某去心k 邻域内能表为 f(z)=(z)/(z-a)(k)m,其中 (z)在 a 的某
15、邻域内 K-解析且 (a)0;(i i i)g(z)=1/f(z)以 a 为 m级零点(a 为 1/f(z)的可去奇点时要视为 K-解析点,且 1/f(a)=0).显然(i)(i i),(i i)(i i i).下只需证(i i i)(i).因 g(z)=1/f(z)以 a 为 m级零点,则 g(z)=(z-a)(k)m(z),其中 (z)在点 a 的某邻域内 K-解析且 (a)0即 f(z)=(z-a)(k)m(z)-1.因 (z)-1在 a 的某邻域内 K-解析,令其展开式 2:(z)-1=c-m+c-(m-1)(z-a)(k)+,其中:c-m=(a)-1 0,则 f(z)在点 a 的主要
16、部分为:c-m(z-a)(k)-m+c-(m-1)(z-a)(k)-(m-1)+c-1(z-a)(k)-1.定理 2.3f(z)的孤立奇点 a 为极点 l i mz af(z)=.由定理 2.2(3)可证其真实性.2.1.3本性奇点定理 2.4f(z)的孤立奇点 a 为本性奇点 l i mz af(z)b;(有限)即 l i mz af(z)不存在.由定理 2.2与定200云南民族大学学报(自然科学版)第 18卷理 2.3可证其真实性.2.2K-解析函数在无穷远点的性质定义 2.3设函数 f(z)在无穷远点(去心)k 邻域 N(k)-:0 r z(k)+内 K-解析,则称 为 f(z)的一个孤
17、立奇点.设 为 f(z)的孤立奇点,令 z (k)=z-1(k).于是 (z )=f (z (k)-1(k-1)=f(z)在去心 k 邻域N (k)-0:0 z (k)1/r(r=0时,规定 1/r=+)内 K-解析,z (k)=0即 z=0为 (z )之一孤立奇点.于是有性质:(i)对应于扩充平面上无穷远点的去心 k 邻域 N(k)-,有扩充 z 平面上原点的去心 k 邻域 N (k)-0;(i i)在对应点 z(k)与 z (k)上,f(z)与 (z )的值相等;(i i i)l i mz(k)f(z)=l i mz (k)0(z )或两个极限都不存在.定义 2.4若 z (k)=0为 (
18、z )的可去奇点(K-解析点),m 阶极点或本性奇点,则称 z(k)=为 f(z)的可去奇点(K-解析点),m阶极点或本性奇点.在去心 k 邻域 N (k)-0:0 z (k)1/r 内将 (z )展开成双边幂级数:(z )=-cnz (k)m,设 z (k)=1/z(k),有 f(z)=-bnz(k)n,其中 bn=c-n(n=0,1,2,).(7)称级数(7)为 f(z)在无穷远点去心 k 邻域 N(k)-:0 r z(k)+的双边幂级数展式.在级数(7)中把对应于 (z )在 z (k)=0的主要部分:1bnz(k)n称为 f(z)在 z(k)=的主要部分.定理 2.5函数 f(z)的孤
19、立奇点 z(k)=为可去奇点的充要条件是下列 3条中的任何一条成立:(i)在z(k)=的主要部分为零;(i i)l i mz(k)f(z)=b;(i i i)f(z)在 z(k)=的去心 k 邻域 N(k)-有界.定理 2.6函数 f(z)的孤立奇点 z(k)=为 m阶极点的充要条件是下列 3条中任何一条成立:(i)f(z)在 z(k)=的主要部分为 b1z(k)+b2z2(k)+bmzm(k)(bm0);(i i)f(z)在 z(k)=的某去心 k 邻域 N(k)-内有表达式 f(z)=zm(k)(z),其中 (z)在 z(k)=的某邻域内 K-解析且()0;(i i i)g(z)=1/f(
20、z)以 z(k)=为 m 阶零点(g()=0).定理 2.7函数 f(z)的孤立奇点 为极点的充要条件是 l i mz(k)f(z)=.定理 2.8函数 f(z)的孤立奇点 为本性奇点的充要条件是下列 2条件中任一条成立,(i)f(z)在 z(k)=的主要部分有无穷多项正幂不等于零;(i i)l i mz(k)f(z)=不存在(f(z)不趋近于任何有限或无限的极限(z(k).3结语本文对 K-解析函数的双边 K-幂级数展开式、K-解析函数的孤立奇点的分类及其在无穷远点的性质进行了研究,因 k=1时,K-解析函数分别为解析函数与共轭解析函数 3-8,即解析与共轭解析函数都是 K-解析函数的特殊情
21、况.因此以上所得结论包含了解析函数与共轭解析函数中的相应结论.参考文献:1 张建元.K-解析函数及其存在的条件 J .云南民族大学学报:自然科学版,2007,16(4):298-302.2 张建元.K-解析函数的幂级数展开式 J .云南大理学院学报:自然科学版,2009,8(4):14-18.3 马库雪维奇.解析函数论教程 M.阎昌龄,译.3版.北京:高等教育出版社,1992.4 钟玉泉.复变函数论 M.3版.北京:高等教育出版社,2004.5 郑建华.复分析 M.北京:清华大学出版社,2000.6 王见定.半解析函数、共轭解析函数 M.北京:北京工业大学出版社,1988.7 张建元.复变函数的 K-积分 J .云南师范大学学报:自然科学版,2009,29(1):28-32.8 张建元.共轭解析函数的 R i e ma n n 边值问题 J .北京工业大学学报,1996,22(3):99-106.201第 3期 张建元:K-解析函数的双边幂级数与孤立奇点