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1、与零点个数有关的亚纯函数正规定则摘要：文章证明了涉及零点个数的亚纯函数族的正规定则：设？为区域内的一族亚纯函数，（），为两个有穷复数，；为正整数，其中，设任意函数且零点重级至少是和极点重级至少是，当至多有个不同零点时，则尸在区域内正规这一结果提高了邓炳 茂等人的定理，并推广了等，张庆彩等及陈玮等的相关结果此外，我们举例说明了结论的精确性关键词：亚纯函数；零点个数；正规定则（）主题分类：中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言和主要结果设是复平面上的一个区域，是定义在区域内的一族亚纯函数在的定义下，如 果任意函数列？，存在一个子序列？，在内按照球面距离一致收敛到一个亚纯函数或者，我们则称在内是
2、正规的年，提出了几个著名的猜想，后来这些猜想都被证实，大家对这些猜想的研究促使了正规族理论的发展，下面是一个著名的结果定理设为区域）内的一族亚纯函数，仝为正整数，（），为两个有穷复数如果对任意函数乂满足尸，则是一个常数叫用了一些举例证明了，时，定理足不成立的到了 年，间得到了一个区别定理的结论这 个结论中的形式十分重要，引起了后继 学者们的研究定理间设为区域内的一族亚纯（全纯）函数，（），为两个有穷复数，（）为正整数，对任意？，有，则在冈域内正规收稿日期：；修订日期：；基金项目：国家自然科学基金（，）、广东省自然科学基金（，）和新賴科研创新项【：丨（丨）（，），（，）（）？通讯作者数学物理学报
3、 在定理中，就全纯函数情形，得到成立？庞学诚得到成立陈怀惠和方明亮；）叶亚盛得到成立对于亚纯函数的情形，李松鹰和李先进得出，时成立，庞学诚证明 了时成立，陈怀惠和方明亮，分别得到时成立，这些结果请参见文献，庞学诚丨叫丨丨和！许焱叫考虑将定理中的广推广到（气并且得到了下面的结论定理设，为区域内的一族亚纯函数，），为两个有穷复数，（：），为正整数，如果对任意？有（），则尸在区域内正规关于定理中的形式广后来被学者们广泛研究，得到了许多结果，这里不再一一表述？年，邓炳茂等人研究了涉及零点个数的亚纯函数的正规性问题，并得出下面的结论定理设为区域内的一族亚纯函数，（），为两个有穷复数，为正整数，其中设任意
4、函数只，其零点重级至少是当（）至多有个不同零点时，则在区域）内正规自然地，我们会问上述定理中的条件在什么情况下可以降低？就这个问题，我们做出了相应的研究，推广和提高了前人的结论，得到了如下新的正规定则定理设为区域内的一族亚纯函数，（），为两个有穷复数，为正整数，其中满足之设任意函数只且的零点重级和极点重级都至少是，当（）？至多有个不同零点时，则在区域内正规那么对于的情形，我们又能得到什么样的结果呢？我们对此问题进行了仔细的研究并得到下面的结论定理设为区域内的一族亚纯函数，），为两个有穷复数，为正整数，其中仝设任意函数？且零点重级至少是和极点重级至少是，当至多有个不同零点时，则在区域内正规注我们
5、推测条件（）在定理中仍是成立的，这一结果应当是合理的注意到当时在定理中是不成立的，所以对于这个问题我们得到：定理设为区域内的一族亚纯函数，（），为两个有穷复数，为正整数？设任意函数只且零点重级至少是和极点重级至少是，当（）至多有个零点时，则在区域乃内正规下面给出的一些例子可以展示我们结论的精确性例丨！亚纯函数族只扣：，在？：内不正规但是对于任意的在内仅有一个零点此例可以说明：在定理和定理中，中任意函数的零点重级至少是，这一条件是精确的例令是正整数，是非零有限常数，仁：且？，这里（），则有）（）（）（）王琼等：与零点个数有关的亚纯函数正规定 则）（”？卜似？显然，对于任意函数，（）（）在区域内有
6、（）个不同零点，并且（）（？（）在区域乃内有；个不同零点，但是：？在区域内是不正规的这表明，（），（）至多有个不同零点和任意函数的极点重级至少是：在定理中是精确的例令是正整数，是非零有限常数和乃：，且？，这里九，则有（），）（一”啤。？）；）似严福相（）（）似严，？（）由此例看到，对于任意函数（）？（）在区域）内确实有个不同零点，且（）（）（）在区域内有个不同零点，但在区域内是不正规的？这表明：和（）（）至多有个不同零点，并且任意函数的极点重级至少是：在定理中是精确的例令灸是正整数，是非零有限 常数和：，且？，这里（），从例可以得到，对于任意函数（）（）（）在区域内确实有个不同零点，但是只在区
7、域内是不正规的例表明产）在区域？内只能有个岑点这表明，在定理中（）（至多有个岑点 和任意函数的极点重级至少是是精确的引理引理！设是复数域内的非常数亚纯函数，（）是有限常数，是正整数且，则至少有个不同零点？引理丨（）设是复 数域内的非常数亚纯函数，（）是有限常数和，是正整数且，若的零 点重级至少是；，极点重级至少是，则（）（）至少有个不同零点数学物理学报 引理设是复数域内的非常数亚纯函数，（）足有限常数和是正整数若的零点重级至少是和极点重级至少是，则（）（）至少有个 不同零点弓理（）设是扣内的亚纯函数族，对任意，其零点重级至少是於极点重级至少是若只在内不正规，则对每一个，存在：（）实数？，；（）
8、点列？，？；（）函数列？（）；（）正数列？，？使得（在复平面内按球面距离内闭一致收敛于非常数的（），其零点重数至少是，极点重级至少是，且级至多是定理）设为 区域内的亚纯函数族，则在区域内的每一点 都正规是只在区域内正规的充要条件定理的证明定理的证明假设在区域内不正规，由引理可知至 少存在一点，我们不妨将其设为卻，使得在功处不正规由引理，存在，勺，以及使得（按球面距离内闭一致收敛其中为非常数亚纯函数，且其极点 和零点重级至少为特别地，（的级至多为显然，（）即（吴接下来，我们将证明（）？至多有个不同零点假设）（有饥不同个零点沾，）因此（）；（一（按球面距离内闭一致收敛到利用定理，令充分大，存在点，
9、），满足心匕并且有（又由于（勺）在区域公内至多有爪个不同零点与勺巧之相矛盾？所以，（）（至多有个不同零点下面我们证明（）（叫（至少有个不同零点？当时，我们可以得到，？事实上这就是引理的结果，所以接下来仅仅考虑的情形这里假设岭）（）因为条件中的零点重级至少是，则（）（幻关因此由（）式，得到屯（）吴王琼等：与零点个数有关的亚纯函数正规定则再通过（）式，由简单计算可以得到）（）由（）式，我们 获得（，）（，）（，）（），（，）（，：）（，（）（）￥（，疋）（，）（，），由上式可得（）（，）（，（，）？（）从另一方面，由（）式，可以得到（）（，）（，）（，）（，（，）（），这里风（）是和（的共同零点的
10、计数函数，不计其重数故（，）（，）（，）（，（），（）（，），），）（）通过（）式，可以得到（，）（，（，）（，）（），（）这里屯否则，有屮，那么（）（）三）假设的极点重级为有和的极点重级分别为和注意到产厂，我们得到，有这是不可能的因为和因此，通过（）（）式和 第一和第二基本定理，容易得到（）（，），），）（），）（，）（，（）（，），）（，（，）（，（）（，）（，）（，）（，）（）（，及。：，）（）（）（，）（，二（，）数学物理学报假设严）有）个不同零点贝（）（，）（：），），）（）再由（，）（，）（）（，），（）（）（），（）通过（）（）式，可得（外，）（）考虑到条件，再由（）式，得到不等
11、式）（）因此，我们断定是一个非常数的有理函数并且满足￥，这里，这里，接下来我们考虑两种情形情形，这里，假如至少有一个极点，注意的极点重级至少是），得到这与矛盾假如没有极点，由（）式，有）（）得到是一个常数，因此得到矛盾情形这里，仝讨论两种情形：，当：，和，当：二，情形当：，再讨论两种情形情形令这里乂是一个常数然而通过（）式并且注意到，得到（）（，）（）（，）（，）（）注意到（，）￥：（，）再通过（）式且注意到，可得（，）（）（）（，）这给出（，）￥（，）因此是一个有理函数并且这与矛盾王琼等：与零点个数有关的亚纯函数正规定则情形至少有一个零点令这里（木，也）（，），讨论两种情形情形先历有一个零点
12、则有（，）（），（）（，）（）（，），）（，），故（）（，）】的），这表明，所以得到矛盾情形：山（）（），一？并注 意到假如，再通过（）式，可得（）（，）（）（，）（，）（，）并注 意到，可得（，）（，），矛盾假如，再次讨论两种情形？情形假如有两个不同极点，并注意到，（）这里乂舍）和，仇，汍是不同的复数？设，则有尸？由此可知没有重极点，所以和心有相同 的零点设必，则多由（）式，有这里二是非零常数？因此这里（是多项式且通过引理，我们得到至少有两个不同零点，因此至少有两个不同零点假设少有两个不同零点，（？，叱，？，和，是不同的复数）设、（）（）（）（这里是非零常数，并且！必（）（）仲）（）（）（）
13、数学物理学报这里巧（）是多项式且巧从（）式，我们得到这里巧是多项式且有朽注意到叱，决和化勿是不同的复数，从（）式和（）式，我们得到巧，并且，这与 矛盾？因此妒至少有个不同零点，所以至少有个不同零点这是不可能的，因为 我们的假设是（）至多有个不同零点情形假如至多有一个极点，则瓦（，）（，）并且通过（）式和注意到，可得（）（，）（，）（，）（，）便得到（）（，）情形当，有令、，这里鲁（）和我们讨论两种情形情形历令似，是常数？所以（）（，）（）（）特别地，（）（）至少有个不同零点，因为之，矛盾？情形我们再次讨论两种情形情形？令（），乂是常数？有（），（）显然，（至少有不同零点，矛盾情形一令，：）是常
14、数和笋尽设，则有；由此可知没有重极点，所以和（？有相同的零点设分（），因此有分？一？即、（之一）一（）！（）王琼等：与零点个数有关的亚纯函数正规定则则有、（），、）清楚地看到，（）至少有一个零点设（）有）个不同零点，则）二氺，这里是非常数，且！叩，）是正数，满足则 有（）（），（）这里）是多项式且从（）式，区别于（）式，可得，（心：）：，（）如（幻是多项式且知注意到，？和（，幻是不同的，从（）和（）式，我们得到队），则三因此（）至少有个不同零点，所以（）至少有个不同零点，得到矛盾可知（）（至少有个不同零点所以在功处不正规因此，在区域内不正规定理证毕定理的证明正如定理的假设一样，我们仍设在处不正
15、规由引理，存在勺卻，以及内使得（按球面距离内闭一致收敛其中贞）为非常数亚纯函数，且其极点重级至少为和零点重级至少为特别地，（的级至多为显然，（）邮接下来，我 们将证明（）（叫（至多有个不同零点假设（）（）有爪十个不同零点（？：，饥）？因此？（，）（按球面距离内闭一致收敛到利用定理，令充分大，存在点，），满足且有）（）（则尸（勺巧乃（勺）在区域内至多有个不同零点，且勺朽心，得到杀盾所以，（）（至多有个不同零点？接下来，我们要证明即（至少有个不同零点？假设（）有）个不同零点假如，则由引理，得到矛盾假如，因此注意到，再通过（）式，可得），）数学物理学报所以，我们得到是一个有理函数且当：和当接下来我们
16、讨论三种情形情形对于情形二，则由引理，得到矛盾情形当，有（明假如有极点并且注意到极点重极至少是，我们有卜（），乂是一个常数，并且得到我丨丨虑两种情形情形假如至多有一个零点，因此有瓦（，￥（，）通过（）式和，我们得到（）（，）（，）（，）（，）便会得到（，），），矛盾情形（叫心；），；？注意到几？相似的，正如定理中的情形的证明，会很容易得到一个矛盾假如在情形中没有极点，便有正如定理中的情形的证明，会很容易得到一个矛盾情形对于情形；，我们得到假如至少有一个极点，因此注意到的极点重极至少是：之，我们有这矛盾与二假如没有极点，则有和正如定理中的情形的证明，会很容易得到一个矛盾可知（邮（至少有个不同零点
17、所以在勿处不正规因此，在区域内不正规？定理证毕定理的证明同样，我 们假设在勿处不正规？由引理，存在乃勺卻，以及朽使得（按球面距离内闭一致收敛其中（）为非常数亚纯函数，且其极点和零点重级分别至少为：和特别地，的级至多为显然）（？接下来，我们将证明（）（邮（至多有个零点？假设叫（有个不同零点（，）？因此）（）（）（），按球面距离内闭一致收敛到然后通过定理，让充分大，存在点，（，），以至于有心和）然而，）（勺（勺巧在区域内至多有个零点，且巧巧心勿，得到矛盾所以，）（即（至多有个零点由引理，我们推断（）（邮至少有个不同零点，矛 盾可知在卻处不正规因此，在区域乃内不正规？定理证毕王琼等：与零点个数有关的亚纯函数正规定则参考文献：，：，：，（）：，（）：，：，：陈怀惠，方明亮数学进展，（）：，（）：（），：李松鹰？一类函数的正规定则？福建师范大学学报（自然科学版），：（），：李先进关于正规族的猜想的证明？中国科学（辑），（），：（），：，：，：，：，（）：，：，：杨乐值分布理论及其新研究北京：科学出版社，：，：，；，；，）：？）：，（），】，：；（）：