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1、数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件欢迎大家来这里学习数值计算！数值分析课件数值分析课件数值计算课程学习导引在帮助大家顺利学习，下面介绍数值分析课件数值分析课件数值计算数值计算科学计算的桥梁科学计算的桥梁！Numerical Computation数值分析课件数值分析课件数值计算属计算数学的范畴，它还有数值分析、计算方法等名称，数值分析是用的最多的名字。为通用起见，在课程学习中将用数值分析代替数值计算名称!理论数学理论数学:立足立足准确准确、追求、追求准确结果准确结果;计算计算数数学学:立足立足近似近似、追求、追求可用结果可用结果!数值数值计算计算研究研究怎样用怎样用计算机计算机求
2、解求解数学题数学题；数值数值计算计算核心核心是是算法构造算法构造和和误差分析误差分析！数值数值计算内容中计算内容中有大量实用有大量实用的科学研究方法；的科学研究方法；数值分析课件数值分析课件数学的分类数学的分类1、基础数学2、计算数学3、随机数学（理想的）（实用的）（圆滑的）数值计算是科研和工程中使用最多的数学！数值分析课件数值分析课件数值计算学习方法1、注意掌握各种方法的基本原理3、重视各种方法的误差分析4、做一定量的习题2 2、3 3是重点！是重点！5、注意与实际问题相联系6、了解各种方法的算法与程序实现2、注意各种方法的构造手法数值分析课件数值分析课件本课程讲授内容有本课程讲授内容有第1
3、章 绪论第2章 非线性方程求根方法第3章 线性方程组解法第4章 求特征值和特征向量的方法第5章 插值与拟合方法第6章 数值积分与数值微分方法第7章 常微分方程数值解法数值分析课件数值分析课件下面进入数值计算课程学习，预祝同学们学习顺利！数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面开始讲授数值分析的第一章 绪论。本章内容分8集讲授。第1集：数值分析课件数值分析课件第一章第一章绪论绪论介绍科学计算的特点、基本知识等。数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容1.1 学习数值计算的重要性1.2 计算机中的数系与运算1.3 误差1.4 有效数字1.5 数值计算研究内容1.6 数
4、值分析中常用的一些概念1.7 科学计算要注意的地方数值分析课件数值分析课件1.1 1.1 学习数值分析的重要性学习数值分析的重要性数值分析知识在科研和生产实践中有什么作用？数值分析课件数值分析课件1、可以更好地了解科学计算提问：用一种计算机语言正确编程，计算机就一定能给出正确的计算结果吗？数值分析课件数值分析课件例例 1 1 将数列将数列105nnxIdxx写成递推公式形式，并计算数列写成递推公式形式，并计算数列:I1,I2,解：111011111005551555nnnnnnnxxxIdxxxxdxdxIxn1151,2,1.1nnIInn10016ln1.155Idxx12由和式可以依次算
5、出I,I,数值分析课件数值分析课件但科学计算中要具体数值！但科学计算中要具体数值！若取为准确到小数点后8位的近似值并在字长为8的计算机上编程计算，可出现2120.32902110 10I 105nnxdxx这显然是错误的！?I06ln5I 数值分析课件数值分析课件2 2、是当前解决实际问题的最重要一环、是当前解决实际问题的最重要一环1）建立数学模型；2）选择数值方法；3）编写程序；4)上机计算。第2步很重要！因为用计算机解决实际问题的因为用计算机解决实际问题的四个步骤四个步骤#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第2集：数值分析课件数值分
6、析课件1.2 1.2 计算机中的数系与运算计算机中的数系与运算什么是机器数系？计算机怎样做计算的？数值分析课件数值分析课件1、机器数系2、计算机接收、处理数据的方法数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件计算机中使用的数系称为机器数系。计算机中使用的数系称为机器数系。数学中的实数:c为整数120.,0,1,1ctixaaaa2、进制的浮点数12100.,0,1,2,9cixa aa 1、10进制浮点数数值分析课件数值分析课件计算机中的实数（浮点数）1 20.,0,1,1ctixaaaa比较1 210.,cttxaaaat:字长，正整数；：进制，一般取为2,8,10和16；c：阶码，整数
7、，L c U，L和U 为固定整数机器数系机器数系1 2(,)0.0,1,1,ctkFt L Uaaa aLcU F 有2t(U-L+1)个数！数值分析课件数值分析课件例1、研究如下机器数系1212(10,2,1,1)100.,0,1,9,11cFa a a ac 解：该机器数系共有：22 10111600 个最小的正数为10.01 100.001最大的正数为10.99 109.9F(10,2,-1,-1)的数在-9.9,-0.01 0.01,9.9 0之间F(10,2,-1,-1)相邻两数的最小间隔为0.001数值分析课件数值分析课件1、是有限的离散集；3、数绝对值大于M，产生上溢错误，小于m
8、，则产生下溢错误；4、上溢时，中断程序;下溢时，用零表示该数继续程序；无论是上溢，还是下溢，都称为无论是上溢，还是下溢，都称为溢出错误溢出错误。2、有绝对值最大非零数(M)和最小非零数(m)；5、计算机把尾数为0且阶数最小的数表示数零.-MM0-mm12(,)0.0,1,1,ctkFt L Ua aa aLcU 机器数系的特点数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件1.1.计算机对数的接收计算机对数的接收1)(,)xFt L U,原样接收 x;2)(,),xFt L UmxM则用(,)Ft L U中最属于靠近 x 的数 fl(x)表示并记录 x。2.计算机对数的运算处理1)加减法:先对
9、阶，后运算，再舍入；2)乘除法:先运算，再舍入。-MM0-mmfl(x)是机器数数值分析课件数值分析课件例2、某计算机数系F(10,4,99,99)的两个数-12120.2337 10 ,0.3364 10 xx1212()(0.2337 100.3364 10)fl xxfl解：相加运算过程：22(0.0002337 100.3364 10)fl对阶2(0.3366337 10)fl运算求这两个数相加、相乘的运算结果。20.3366 10舍入数值分析课件数值分析课件-12120.2337 10 ,0.3364 10 xx1212()(0.2337 100.3364 10)fl xxfl相乘运
10、算过程：0(0.7861668 10)fl运算0.7862舍入#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第3集：数值分析课件数值分析课件1.3 1.3 误差误差误差？绝对误差？相对误差？数值分析课件数值分析课件准确值与近似值的差异就是误差！准确值与近似值的差异就是误差！误差的来源：1)模型误差（也称描述误差）2)观测误差（也称数据误差）3)截断误差（也称方法误差）4)舍入误差（也称计算误差）数值分析课件数值分析课件1、误差2、四则运算及函数的误差数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件定义1 设 x 是准确值，x*是 x 的一个近似值
11、，称e(x*)=x*x 或 e*=x*x为近似数 x*的绝对误差，简称 误差。误差不能反映近似值的程度！x*xe*111011011001数值分析课件数值分析课件定义2 设 x 是准确值，x*是 x 的近似值，称*rexxexxx为近似值 x*的相对误差。重要结论:相对误差绝对值越小，近似程度越高。x*xe*111011/1010110011/100数值分析课件数值分析课件误差不容易计算出结果，引入误差限概念。定义3 称满足*exx的正数*为近似值 x*的误差限。*xxxxx简记数值分析课件数值分析课件定义4 满足*rrxxex的正数*r称为 x*的相对误差限。*rx实用中，*rxxxx数值分
12、析课件数值分析课件例1、若2.15的近似值为2.14，求2.14 的绝对误差和相对误差。解：由已知得 x=2.15、x*=2.14，根据定义有绝对误差：e(x*)=x*x=-0.01相对误差：*0.0112.15215rxxexx 注意：注意：绝对误差绝对误差：e(x*)x*x=0.01数值分析课件数值分析课件微分与误差的对应微分与误差的对应*e xxxdx*lnrxxdxexdxxx绝对误差和相对误差与微分的关系绝对误差和相对误差与微分的关系*dxe x*lnrdxex数值分析课件数值分析课件例2、确定函数 y=xn 与自变量x的相对误差关系；若已知自变量 x 近似值的相对误差为10-4，求
13、 x500 的相对误差。lnlnynx解：两边取对数：lnlndyndx两边取微分:*nrrexnex*500*42500500 105 10rrexex *410rex数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件1 1、四则运算的误差、四则运算的误差定理1 假设 x*和 y*分别是准确值 x 和 y的一个近似值，则有四则运算的绝对误差估计：*1()e xye xe y *2()e xyy e xx e y*2*3()y e xx e yxeyy数值分析课件数值分析课件证明证明（2 2）*()e x yx yxy*x yxyxyxy*yxxx yy *y e xxe y*()y e xx
14、e yxx数值分析课件数值分析课件3.3.函数的误差函数的误差定理2 设多元函数 u=f(x1,x2,xn),则有多元函数的误差估计 *12*121,1,nnniiif x xxe f x xxe xx *12*121,2,nnniiif x xxf x xxxx *12*12*112,3,nnirniinf x xxxf x xxxf x xx证明见书数值分析课件数值分析课件*12*121,nnniiif x xxe f x xxe xx特别对一元函数 y=f(x)，有 *df xe f xe xfx e xdx *e f xfxe x表示 x*的误差经 f 作用后被放大(缩小)|f (x*
15、)|倍，称|f (x*)|为绝对误差增长因子。数值分析课件数值分析课件解：例3、计算，取，求 f 绝对误差限。62 1f 21.4令*12,1.42 1.40.0140.2 10 xxe x 6652 1161ff xxfxx 5*56 1.4 16 0.4fx *5126 0.40.2 100.12288 10e f xfxe x 故 f 的绝对误差限为 0.1228810-2#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第4集：数值分析课件数值分析课件1.4 1.4 有效数字有效数字什么是有效数字？它与误差有关系吗？数值分析课件数值分析课件1
16、、有效数字2、有效数字与误差的关系数值分析课件数值分析课件科学计算中常用有效数字来估计和处理误差，这是因为有效数字容易计算且与误差有密切关系。更为重要的是有效数字可以将误差量化！数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件1 1、有效数字的定义、有效数字的定义定义:若近似数 x*的误差限是其某一位上数字的半个单位，就说近似数 x*准确到该位；由该位自右向左数到 x*的第一个非零数字若有n位，就称近似数x*有n位有效数字。*210123216.5342 101 106 105 103 104 10 x 210123216534101010101010*211052e xn*11102?2e
17、xn数值分析课件数值分析课件2、有效数字的数学描述*1 210.10,0,0,1,9,mklxaaaaakn mZ设如果成立*0.5 10m ne xxx则称 x*有n位有效数字。*1 20.10mnxaaa通常写*0.5 10m nx可以看作是 的误差限！结论：有效数字越多，绝对误差和相对误差就越小，因此近似数就越准确！通常准确数x和近似数x*都写为规格化浮点数时，它们的阶码m相同。数值分析课件数值分析课件工程书籍中若出现：610.005800102x表示近似值 x*=0.005800,它准确到小数点第6位，有4位有效数字。注：12300有5位有效数字，但12300若写成0.123105，后
18、者就只有3位有效数字了。数字末尾的0不可随意省去！数值分析课件数值分析课件例1、求圆周率的两个近似值 x1=3.14,x2=3.141的有效数字。113.1415926,0.314 10,1xm解：2210.0015926100.159260.5 10 x有m-n=-2，得n=3，x1有3位有效数字；3220.0005926100.59260.5 10 x120.3141 10,1xm有m-n=-2，得n=3，x2有3位有效数字.*0.5 10m nxx*1 210.10,0mkxaaaa数值分析课件数值分析课件可以证明：例 0.00345四舍五入得 0.0035=0.3510-2可知近似数有
19、2位有效数字。的近似数3.14（四舍五入数）有3位有效数字；3.142（四舍五入数）有4位有效数字。而近似数3.141（不是四舍五入数）有3位有效数字，虽然它有4位数。如果十进制 x 经过四舍五入得到近似数 x*，则x*的有效数字位为将 x*写为规格化浮点数后的尾数的位数。1210.,0ctxa aaa 数值分析课件数值分析课件例2、已知近似数 x*有5位有效数字，试求其相对误差限。解：因为 x*有5位有效数字，可以设*12510.10,1mxa aaa 由题意，有 n=5和*50.5 10mxx*5544*4*1 25110.5 100.5 101111010100.100.222mrmxx
20、aaaaax数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第5集：数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件定理3 设10进制近似数*1210.10,0,mkxaaaakn 1、若 x*有 n 位有效数字，则有*1*11102nrxxexax2、若 x*的相对误差*1*111021nrxxexax则 x*有 n 位有效数字。（证明见书）要求 x*已知!a1是x*的首位非零数。数值分析课件数值分析课件例3、为保证某算式的计算精度，要求其中的近似值 x*323的相对误差小于0.1%，请确定x*至少要取几位有效数字才能达到要求。1332323122
21、33232.0.2102a aa aa假设 x*至少要取 n 位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理31111110100.1%422 2nnna*1*11102nrxxexax解:至少取4位有效数字数值分析课件数值分析课件例4、若算式中数据都准确到两位小数，试求81.965.321.1*x的绝对误差限、相对误差限和有效数字。解 因为运算中数据都准确到两位小数,故有2221.210.5 10,3.650.5 10,9.820.5 10eee *()()e xye xe ye xyy e xx e y*()(1.21 3.65)(9.81)3.65(1.21)1.21(3.65)(9.8
22、1)e xeeeee*2()3.65(1.21)1.21(3.65)(9.81)3.65(1.21)1.21(3.65)(9.81)(3.65 1.21 1)0.5 100.0293e xeeeeeex*的绝对误差限北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 *0.02930.005432475.3935re xexx*110.0293;5.39350.53935 105e xxa*11*11110102112nnrxxexaxx*的相对误差限1 11 21 3111100.0833;100.00833;100.000833121212由定理3，x*有2位有效数字.*110.00543
23、24710=212nrexn最小的误差限要取最小的上界数值分析课件数值分析课件117831,2,100nnyyn例5、设,按递推公式028y 计算到 y100,若取5位有效数字参与计算，试问计算到y100 将有多大误差?783解：设b是取5位有效数字的近似数7832227783 2827783282 537830.5 100.5 10b*0.5 10m nxx57830.5 10mb278327.0.27102m数值分析课件数值分析课件*00010010010028,280100nnyyeeeyy*111783100nnnnyyyyb*1202,=783=100100100nnnnnnneyy
24、beeee*1111783100100nnnnyyyyb*31001007830.5 10yyb#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第6集：数值分析课件数值分析课件1.5 1.5 数值分析研究内容数值分析研究内容数值分析是研究什么的？数值分析课件数值分析课件1、连续系统的离散化2、离散型方程的数值求解 1()(),nbiiaif x dxA f xf xC a b研究内容有如下两个方面：数值分析课件数值分析课件1.6 1.6 数值分析常用概念数值分析常用概念数值解？算法?计算量?数值分析课件数值分析课件1、数值问题2、数值解3、算法4、
25、计算量5、病态问题6、数值稳定算法数值分析课件数值分析课件1.1.数值问题数值问题由一组已知数据（输入数据）求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先指定的某种关系问题，称为数值问题。2.2.数值解数值解由近似公式计算出的解称为数值解。数值解是近似解。数值分析课件数值分析课件3.算法由给定的已知量，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，求出所关心未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。数值分析本质上是研究和构造算法的！数值分析本质上是研究和构造算法的！4.4.计算量计算量一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量，常用N表示。数值分析课件数值分析课件计算量的单位为flo
26、p，表示完成一次浮点数乘法或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率。结论：算法的计算量越小，则算法的计算效率越高，因而该算法也就越好。数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第7集：数值分析课件数值分析课件例1、假设A，B，C 分别为1020，2050，501的矩阵，试给出计算DABC的两者算法及对应的计算量。算法1D(AB)CN 102050+10501=10500 flop算法2DA(BC)N10201+20501=1200 flop 1,;sm sijs nijm ss nm nijijik kjk
27、AaBbABCcca bAB的计算量是 msn算法2比算法1好！数值分析课件数值分析课件5.病态问题初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化的问题称为病态问题。例如123123123111123611113234121114734560 xxxxxxxxx1231231230.500.331.80.500.330.251.10.330.250.200.78xxxxxxxxx 扰动12312316.2,38,34xxxxxx 数值分析课件数值分析课件初始数据的微小变化只引起计算结果的微小变化的计算问题称为良态问题。12122622xxxx 12122622.005xxxx 扰动12122,21
28、.999,2.002xxxx 病态问题的计算或求解应使用专门的方法或将其转化为非病态问题来解决。数值分析主要研究良态问题数值解法数值分析主要研究良态问题数值解法!数值分析课件数值分析课件6.6.数值稳定算法数值稳定算法如果一个算法的初始数据有误差，而在计算过程中产生的误差不增长，则称该算法为数值稳定算法，否则称为数值不稳定算法。例2 选用数值稳定方法计算数列10,1,2,1005nnxIdx nx解：直接推导有递推公式*111155nnnnIIIInn对应的近似算式*115nnnnIIII*15kkknnIIeee误差增大5倍！不稳定算法！数值分析课件数值分析课件下面采用逆序计算方式给出一个数
29、值稳定的计算公式11115,55nnnnIIInInnn同理*1115nnnnIIII1*155nnIIn11,5nnneeen11,100,99,155nnIInn稳定算法！数值分析课件数值分析课件广义积分中值定理 1.,;f x g xC a b ,bbaaf x g x dxfg x dxa b 2.,g xa b在上不变号则有特别，当 g(x)=1时，得通常的积分中值定理！借助广义积分中值定理，可以给出如前的稳定算法计算初值。数值分析课件数值分析课件稳定算法的初值*100I的选取100111001000011116 1015510155 101xIdxxdxx100116 1015 1
30、01I取均值*1001111110.0018152 101 566060I*3100100111110.166 102 101 566060II最大误差*10010011606505II11,100,99,155nnIInn#数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面继续讲授数值分析的第一章绪论。第8集：数值分析课件数值分析课件1.7 1.7 科学计算要注意的地方科学计算要注意的地方做科学计算需要注意什么？数值分析课件数值分析课件1.1.避免相近二数相减避免相近二数相减例如：()()()re xe ye xyxya1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字.
31、而 a2 a1=0.00001，只剩下1位有效数字了.数值分析课件数值分析课件例1 试求方程01262xx的两个根.解1,2126672131682x由求根公式，两个根为若根号数取5位有效数字168*16812.961四舍五入则有*31168168 12.961102e*111316825.961xx*22131680.039xx最多2位有效数字数值分析课件数值分析课件*20.038519x具有4位有效数字.*22*11131680.0385191316813168xx*233522*(168)111()0.038519100.0014101022213168ee x这个结果好！116813x
32、f xx令*e f xfxe x*2*113168fx 准确到小数点后第5位！*2x数值分析课件数值分析课件3.3.控制误差的积累和传播控制误差的积累和传播方法：避免大数吃小数，用数值稳定的算法4.4.简化计算过程简化计算过程方法：化简公式或想办法减少运算次数2.2.避免用接近零的数做除数避免用接近零的数做除数()()()rrxxee xeyyy数值分析课件数值分析课件例 2、怎样计算下列算式更好？11,11yxxx、212,1xxeyxx、解:1、x 1表示 x 很大。本题分母接近于零，且有相近数相减情况，要避免！方法：用公式变形111111xxyxxxxxxxx 1yxx 选用数值分析课件
33、数值分析课件解:2、x1表示 x 接近于零，分母出现接近于零的数，因此不能直接计算，要避免。方法：因无对应的变形公式，用Taylor公式做之。223211123!4!5!2624xxexxexxyxx 231,26245!xxeye yx 数值分析课件数值分析课件例3：设 n 次多项式试构造一个计算Pn(x)的算法，使计算量尽可能小。1;21,2,nn kpafor kn doppxa、0111)(axaxaxaxPnnnnn 解：1210()nnnnP xa xaxaxa xa每个括号中有同样的 ax+b 结构,共有n个括号！nP x每个括号的ax+b有一个计算量，故计算只需要n个计算量！算法：算法：p中存放 nP x数值分析课件数值分析课件总结：科学计算要注意的地方有避免两个相近的数相减；避免用接近零的数做除数；控制舍入误差的积累和传播；简化计算过程。数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件本章结束再再 见见