数值分析第一章绪论学习教案.pptx

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1、会计学1数值数值(shz)分析第一章绪论分析第一章绪论第一页，共62页。研究使用计算机求解各种科学(kxu)与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学(kxu)与工程计算、信息科学(kxu)、管理科学(kxu)、生命科学(kxu)等交叉学科中有着广泛的应用第2页/共62页第二页，共62页。应用应用(yngyng)问题举问题举例例第3页/共62页第三页，共62页。今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾

2、实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗(r du)四分斗之三。-九章算术1、一个(y)两千年前的例子第4页/共62页第四页，共62页。第5页/共62页第五页，共62页。2 2、天体力学中的、天体力学中的KeplerKepler方程方程(fngchng)(fngchng)x是行星运动(yndng)的轨道，它是时间t 的函数.第6页/共62页第六页，共62页。全球定位系统：全球定位系统：全球定位系统：全球定位系统：在地球的任何一在地球的任何一在地球的任何一在地球的任何一个位置，至少可个位置，至少可个位置，至少可个位置，至少可以同时以同时以同时以同时(tng

3、sh)(tngsh)(tngsh)(tngsh)收到收到收到收到4 4 4 4颗以上卫星发射颗以上卫星发射颗以上卫星发射颗以上卫星发射的信号的信号的信号的信号 3 3、全球定位系统（全球定位系统（全球定位系统（全球定位系统（Global Positioning System,GPS)Global Positioning System,GPS)Global Positioning System,GPS)Global Positioning System,GPS)第7页/共62页第七页，共62页。表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为 ，则得到下列非线性方程组第8页/共62页第八页，共

4、62页。记为其中，第9页/共62页第九页，共62页。4 4、已经测得在某处海洋、已经测得在某处海洋(hiyng)(hiyng)不不同深度处的水温如下：同深度处的水温如下：深度（深度（M M）466 741 950 1422 466 741 950 1422 16341634水温（水温（oCoC）7.04 4.28 3.40 2.54 7.04 4.28 3.40 2.54 2.132.13根据这些数据，希望合理地估计出其根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如它深度（如500500米，米，600600米，米，10001000米米）处的水温）处的水温第10页/共62页第十页，共62页。5 5

5、5 5、用比较简单的函数、用比较简单的函数、用比较简单的函数、用比较简单的函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)代替复杂的函数代替复杂的函数代替复杂的函数代替复杂的函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)误差为最小，即距离误差为最小，即距离(jl)为最为最小小（在不同的度量意义下）（在不同的度量意义下）第11页/共62页第十一页，共62页。6 6、人口预测、人口预测 下面下面下面下面(xi mian)(xi mian)(xi mian)(xi mian)给出的是中给出的是中给出的是中给出的是中国国国国1900190019001900年到年到年到年到2000200020

6、002000年的人口数，年的人口数，年的人口数，年的人口数，我们的目标是预测未来我们的目标是预测未来我们的目标是预测未来我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）的人口数（数据量较大时）的人口数（数据量较大时）的人口数（数据量较大时）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743第12页/共62页第十二页，共62页。第13页/共62页第十三页，共62页。7 7、铝制波纹、铝制波纹(bwn)(bwn)瓦的长瓦的长度问题度问题 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块(y kui)平整的铝板压制而成的.假若(jiru)要求波纹瓦

7、长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.第14页/共62页第十四页，共62页。这个问题就是这个问题就是这个问题就是这个问题就是(jish)(jish)要求由函数要求由函数要求由函数要求由函数f(x)=sin x f(x)=sin x 给定的曲线给定的曲线给定的曲线给定的曲线从从从从x=0 x=0到到到到x=48x=48英寸间的弧长英寸间的弧长英寸间的弧长英寸间的弧长L.L.由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上

8、述积分称为(chn wi)第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.第15页/共62页第十五页，共62页。数值计算方法的意义数值计算方法的意义(yy)(yy)、内容与方法、内容与方法软件软件(run jin)(run jin)的核心就是的核心就是算法。算法。20 20 世纪世纪(shj)(shj)最伟大的科学技术发明最伟大的科学技术发明-计算机计算机 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；现象，而且成了一种政治、军事、

9、经济和社会现象；没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；算法犹如乐谱，算法犹如乐谱，软件犹如软件犹如CDCD盘片，盘片，而硬件如同而硬件如同CDCD唱机。唱机。第16页/共62页第十六页，共62页。理论研究科学实验科学计算计算(j sun)数学 现代(xindi)科学研究的三大支柱第17页/共62页第十七页，共62页。2121世纪信息社会的两个世纪信息社会的两个(lin(lin)主要特征：主要特征：“计算机无处不在计算机无处不在”“数学无处不在数学无处不在”2121世纪信息社会对科技人才的要求：世纪信息社会对科技人才的要求：-会用数学解决会用数学

10、解决(jiju)(jiju)实际问题实际问题-会用计算机进行科学计算会用计算机进行科学计算第18页/共62页第十八页，共62页。建立(jinl)数学模型选取(xunq)计算方法编写(binxi)上机程序计算得出结果科学计算解题过程科学计算解题过程第19页/共62页第十九页，共62页。一、计算数学的产生(chnshng)和早期发展计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接(zhji)原因还是计算问题。二、二十世纪计算数学(shxu)的发展数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何 概率统计计算 蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题 第20页/

11、共62页第二十页，共62页。数值(shz)代数：方程求根、线性方程组求解、特征值和特征向量的计算、非线性方程组的求解；数值逼近：插值与函数逼近、数值微分 和积分(jfn)、最小二乘法；微分方程数值解：常微分方程数值解；偏微分方程数值解：差分法 有限(yuxin)元法 有限(yuxin)体积法三、数值计算的主要内容第21页/共62页第二十一页，共62页。&教材&数值分析(fnx)(21世纪数学系列教材)李庆扬等（华中科技大学出版社）&参考书目&数值计算方法 徐涛 编著(binzh)（吉林科学技术出版社）&应用数值方法 使用MATLAB和C语言&Robert J.Schilling&Sandra

12、L.Harris （机械工业出版社）&数值分析基础教程 李庆扬 编（高等教育出版社）&现代数值分析 李庆扬、易大义、王能超 编著(binzh)&（高等教育出版社）&数值分析与科学计算 Jeffery J.Leader 著，张威，刘志军，李艳红等译，（清华大学出版社)第22页/共62页第二十二页，共62页。22 算算 法法一、算法(sun f)的概念 描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明(shumng)，也可以用框图直观地显示算法的全貌。定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的 解题(ji t)步骤，称为算法。第23

13、页/共62页第二十三页，共62页。例：求解(qi ji)二元一次联立方程组用行列式解法(ji f)：首先判别 （1）如果 ，则令计算机计算 输出计算(j sun)的结果x1，x2。（2）如果D=0，则或是无解，或有无穷多组解。是否为零，存在两种可能：第24页/共62页第二十四页，共62页。令通过求解过程，可以总结出算法步骤(bzhu)如下：S2 计算S3 如果则输出(shch)原方程无解或有无穷多组解的信息;否则S1 输入S4 输出计算的结果第25页/共62页第二十五页，共62页。输入 D=a11a22-a12a21D=0开始输出 x1,x2 结 束 No输出无解信息Yes第26页/共62页第

14、二十六页，共62页。二、算法优劣(yu li)的判别 计算(j sun)量的大小 存贮(cn zh)量 逻辑结构例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做n!(n-1)(n+1)次乘法运算。n=20 需要运算多少次？n=100?第27页/共62页第二十七页，共62页。一、误差的来源(liyun)与分类 从实际(shj)问题中抽象出数学模型 模型误差例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落，其下落距离(jl)s 与时间t 的关系是：其中 g 为重力加速度。3 误 差第28页/共62页第二十八页，共62页。通过测量得到(d do)模型中参数的值 观测误差

15、 求近似(jn s)解 方法误差(截断误差）例如(lr)，当函数 用Taylor多项式 近似代替时，数值方法的截断误差是 与0之间。在第29页/共62页第二十九页，共62页。机器字长有限(yuxin)舍入误差 用计算机、计算器和笔算(b sun)，都只能用有限位=3.1415926 小数(xiosh)来代替无穷小数(xiosh)或用位数较少的小数(xiosh)来代替位数较多的有限小数，如：第30页/共62页第三十页，共62页。四舍五入(s sh w r)后在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括(boku)初始数据的误差）对计算结果的影响！第31页/共62页第三十一页，共62页。二、

16、误差(wch)的概念1、绝对误差(ju du w ch)与绝对误差(ju du w ch)限例:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约(dyu)为1.45米，求1.45米的绝对误差。1.45米的绝对误差=？不知道！是近似值 的绝对误差绝对误差,简称为误差误差。定义：设 是准确值，为 的一个近似值，称 第32页/共62页第三十二页，共62页。但实际问题往往可以估计出但实际问题往往可以估计出 不超过不超过(chogu)(chogu)某某个正数个正数 ，即即 则称则称 为绝对误差为绝对误差(ju du w(ju du w ch)ch)限，有了绝对误差限，有了绝对误差(ju du w ch)(ju

17、 du w ch)限限就可以知道就可以知道(zh do)(zh do)的范围为的范围为即即 落在落在 内。内。在应用上，常常采用下列写法来刻划在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。的精度。第33页/共62页第三十三页，共62页。2、相对误差(xin du w ch)与相对误差(xin du w ch)限定义(dngy)：设 是准确值，是近似值，是近似值的误差，通常(tngchng)取为近似值 的相对误差相对误差，记作 ，称 一般情况下是不知道一般情况下是不知道 的，怎么办？的，怎么办？第34页/共62页第三十四页，共62页。事实上，当 较小时(xiosh)是 的二次方项级,故可忽略不计.相

18、应(xingyng)地，若正数满足(mnz)则称 为 的相对误差限。第35页/共62页第三十五页，共62页。3、有效数字(yu xio sh z)定义(dngy)：如果则说 近似表示(biosh)准确到小数后第 位，并从这由上述定义第 位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数有效位数。第36页/共62页第三十六页，共62页。定义:也即，若有 位有效数字。则称则称其中，是1到9中的一个数字；是0到9中一个数字；为整数，且 若近似值 的误差限是某一位的半个单位,该位到 的左边第一位非零数字共有 位,就说 有 位有效数字。第37页/共62页第三十七

19、页，共62页。取 作 的近似值，就有三位有效数字；取 作 的近似值，就有五位有效数字。例如例如(lr)(lr)：注：注：若一近似数是由原真值经四舍五入若一近似数是由原真值经四舍五入(s sh w r)(s sh w r)得到，得到，则必为有效数则必为有效数.第38页/共62页第三十八页，共62页。4、误差(wch)限与有效数字的关系 则 至少具有(jyu)位有效数字。Th1.1：对于用 式表示的近似数 ，若 具有(jyu)位有效数字，则其相对误差限为反之，若 的相对误差限为第39页/共62页第三十九页，共62页。Th1.2：设反之,若 的相对误差的绝对值大于 ，其中 为整数,为正整数,。有 位

20、有效数字。则 至多若 至多有 位有效数字,即 是有效数字,而 不是有效数字,则 的相对误差的绝对值必大于 ;第40页/共62页第四十页，共62页。证明(zhngmng)：不是(b shi)有效数字 反之(fnzh),若 则 不是有效数字，即 至多有 位有效数字.第41页/共62页第四十一页，共62页。4 数值(shz)运算的误差估计一、四则运算一、四则运算(s z yn sun)(s z yn sun)两个近似数两个近似数 与与 ,其误差限分别为其误差限分别为 及及 ,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为第42页/共62页第四十二页，共62页。二、函数误

21、差二、函数误差(wch)(wch)估计估计当自变量有误差时，计算函数(hnsh)值也会产生误差，其误差限可利用函数(hnsh)的Taylor展开式进行估计。设 是一元函数，的近似(jn s)值为 ,以 近似(jn s)，其误差限记作 ，可用Taylor展开 介于介于之间之间.取绝对值得取绝对值得第43页/共62页第四十三页，共62页。假定 与 的比值不太大,可忽略 的高阶项,于是可得计算(j sun)函数的误差限为 当 为多元(du yun)函数时计算 ,如果的近似(jn s)值为 ,则 的近似(jn s)为于是函数值 的误差 由Taylor展开,得：得：第44页/共62页第四十四页，共62页

22、。于是于是(ysh)(ysh)误差限为误差限为而而 的相对误差的相对误差(xin du w ch)(xin du w ch)限为限为(1.3.1)(1.3.1)(1.3.2)(1.3.2)第45页/共62页第四十五页，共62页。例例:已测得某场地长已测得某场地长 的值为的值为 ,宽宽 的值为的值为 ,已知已知 ,.,.试求试求面积面积(min j)(min j)的绝对误差限与相对误差限的绝对误差限与相对误差限.解解:因因 其中其中(qz(qzhnghng)由式由式(1.3.1)(1.3.1)得得第46页/共62页第四十六页，共62页。而而于是于是(ysh)(ysh)绝对误差限为绝对误差限为相对

23、误差相对误差(xin du w ch)(xin du w ch)限为限为第47页/共62页第四十七页，共62页。5 数值计算中应该(ynggi)注意的一些原则1.要使用(shyng)数值稳定的算法例：求的值的值.解：由于(yuy)初值第48页/共62页第四十八页，共62页。递推公式(gngsh)按公式(gngsh)就可以逐步算出注意此公式精确(jngqu)成立What happened?!不稳定的算法！这就是误差传播所引起的危害这就是误差传播所引起的危害 !第49页/共62页第四十九页，共62页。由题设中的递推公式可看出，的误差扩大了5倍后传给 ，因而初值 的误差对以后各步这就造成 的计算结果

24、严重失真。计算结果的影响，随着 的增大愈来愈严重。要怎么要怎么(zn me)(zn me)做才能解决这做才能解决这个问题呢个问题呢?第50页/共62页第五十页，共62页。可求得I9 0.017，按改写后的公式(gngsh)可逐次求得不妨设I9 I10，于是由将公式变为第51页/共62页第五十一页，共62页。I8 0.019 I7 0.021I6 0.024 I8 0.028I4 0.034 I3 0.043I2 0.058 I1 0.088I0 0.182 稳定(wndng)的算法！在我们今后(jnhu)的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。第52页/共62页第五十二页

25、，共62页。2.要避免(bmin)两个相近的数相减在数值计算中，两个相近(xin jn)的数作减法时有效数字会损失。例:求的值。当x=1000，y 的准确(zhnqu)值为0.01580(1)、直接相减第53页/共62页第五十三页，共62页。类似(li s)地(2)将原式改写(gixi)为则 y=0.01581 第54页/共62页第五十四页，共62页。3.尽量避免绝对值太小的数作分母(fnm)例：如分母(fnm)变为0.0011，也即分母(fnm)只有0.0001的变化时结果相差结果相差(xin(xin ch)ch)这么大这么大!第55页/共62页第五十五页，共62页。4.避免(bmin)大数

26、吃小数精确(jngqu)解为 算法1：利用求根公式例：用单精度计算例：用单精度计算(j sun)(j sun)的根。的根。第56页/共62页第五十六页，共62页。在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法(jif)时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1=0.0000000001 1010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010第57页/共62页第五十七页，共62页。算法(sun f)2：先解出再利用(lyng)注：求和注：求和(qi h)(

27、qi h)时从小到大相加，可使和的时从小到大相加，可使和的误差减小。误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+40+109第58页/共62页第五十八页，共62页。5.简化计算步骤(bzhu)，避免误差积累。一般来说，计算机处理(chl)下列运算的速度为例：多项式求值：给定(i dn)的x 求下列n 次多项式的值。解：1.用一般算法，即直接求和法；2.逐项求和法；3.秦九韶方法；第59页/共62页第五十九页，共62页。算法(sun f)的递推性计算机上使用的算法(sun f)常采用递推化的形式，递推化的基本(jbn)思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的优点是简化结构和节省计算量。第60页/共62页第六十页，共62页。例：用秦九韶方法(fngf)求多项式解：Ka5-KvK00.008330.00833v0=a510.041670.04v1=v0 x+a420.166670.15867v2=v1x+a330.50.46827v3=v2x+a2410.90635v4=v3x+a1510.81873v5=v4x+a0第61页/共62页第六十一页，共62页。感谢您的观看(gunkn)！第62页/共62页第六十二页，共62页。