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1、1.1 1.1 计算方法概论计算方法概论第一章第一章:绪论绪论计算方法数值算法：计算方法数值算法：利用计算机求解数学问题近似解的方法。利用计算机求解数学问题近似解的方法。步骤：步骤：实际问题建立数学模型提供计算方法实际问题建立数学模型提供计算方法设计程序上机计算获取近似结果设计程序上机计算获取近似结果第1页/共44页数值分析数值分析 能够做什么？第2页/共44页 研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用第3页/
2、共44页应用问题举例第4页/共44页1、一个两千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。分斗之三。-九章算术九章算术第5页/共44页1、一个两千年前的例子第6页/共44
3、页本课程第三章的内容：线性方程组的数值方法！第7页/共44页2、天体力学中的Kepler方程x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数本课程第二章的内容：非线性方程的数值解法第8页/共44页全球定位系统：在地球的任何一个位置，至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号 3、全球定位系统（Global Positioning System,GPS)第9页/共44页 表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为 ，则得到下列非线性方程组第10页/共44页 非线性方程组的数值方法记为其中第11页/共44页4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）466 741 950 1422 1634水
4、温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温本课程第四章的内容：插值法第12页/共44页5、人口预测 下面给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743第13页/共44页本课程第四章的内容：曲线拟合第14页/共44页6、铝制波纹瓦的长度问题 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4 4英尺,每个波纹的高度(
5、从中心线)为1 1英寸,且每个波纹以近似2 2英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.L.第15页/共44页 这个问题就是要求由函数f f(x x)=)=sin xsin x给定的曲线从给定的曲线从x x=0=0到到x x=48=48英寸间的英寸间的弧长弧长L L.由微积分学我们知道由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.本课程第五章的内容：数值积分第16页/共44页7、生物化学反应的例子 A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：第17页/共44页我们通过建模可以得到如下方程组 A：B：C：本课程第六章的内容：常微分方
6、程的数值方法第18页/共44页用计算机解决实际问题的步骤建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算结果步骤：步骤：实际问题建立数学模型提供计算方法实际问题建立数学模型提供计算方法设计程序上机计算获取近似结果设计程序上机计算获取近似结果第19页/共44页数值分析的特点1、方法是近似的；2、与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言或Fortran语言，会用一种数学软件：Matlab或Mathematica，Maple）第20页/共44页数值算法的数值算法的要求要求:1.仿真性：模型尽可能仿真实际问题仿真性：模型尽可能仿真实际问题;操作性差的例子：操作性差的例子：求解求解2020阶线性方
7、程组，用阶线性方程组，用CramerCramer法则要用法则要用 次乘法运算次乘法运算,用每秒用每秒1 1亿次的计算机计算亿次的计算机计算,大约需算大约需算3030多万年多万年;但用消元法只须但用消元法只须30003000次乘法运算，只要几秒钟。次乘法运算，只要几秒钟。2.可操作性：程序简单、计算时间较少、计算机容易实现可操作性：程序简单、计算时间较少、计算机容易实现;3.实用性：近似解满足精度要求。实用性：近似解满足精度要求。第21页/共44页公式一：(不实用的例子)：计算记为则初始误差?!第22页/共44页考察第n n步的误差造成这种情况的是不稳定的算法。公式二：方法：先估计一个IN,再反
8、推要求的In(nN)。可取迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动第23页/共44页取取我们仅仅是幸运吗?第24页/共44页考察反推一步的误差：考察反推一步的误差：以此类推，对以此类推，对nN有有：误差逐步递减误差逐步递减,这样的算法称为这样的算法称为稳定的算法稳定的算法。第25页/共44页1.2向量和矩阵范数Rn 空间的向量范数|对任意 满足下列条件：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)常用向量范数(设1 p 0使得，则称|A 和|B 等价。定理1.2.1Rn上一切范数都等价。可以理解为对任何向量范数都成立。第27页/共44页二.矩阵范数Rm n空间的矩阵范数|对任意 满足：（正定性)
9、对任意(齐次性)（三角不等式)(4)*|AB|A|B|（相容 当m=n时)定义1.2.4第28页/共44页常用矩阵范数：Frobenius范数向量|2的直接推广 对方阵以及有算子范数 由向量范数|p 导出关于矩阵A Rn n的p 范数:则特别有：（行和范数）（列和范数）（谱范数）矩阵矩阵 A AT TA A 的最大的最大特征值特征值,又叫又叫A AT TA A的谱半径的谱半径(设1 p 0,存在算子范数|使得|A|(A)+)+。设：AAkk=lim是指ijkijkaa=)(lim对所有1 i,j n成立。定义1.2.5 Ak 0 0 (A)1)1定理1.2.5设：AAkk=lim是指ijkij
10、kaa=)(lim对所有1 i,j n成立。第31页/共44页证明：若不然，则有非零解，即存在非零向量使得 若矩阵B对某个算子范数满足|B|1，则必有可逆；定理1.2.6第32页/共44页1.3 1.3 误差基础知识误差基础知识右端是截断误差右端是截断误差!一一 .误差来源（分类）误差来源（分类）1.1.模型误差。模型误差。2.2.观测误差。观测误差。3.3.截断误差，如截断误差，如第33页/共44页舍入误差很小，本课程将研究它舍入误差很小，本课程将研究它在在运算过程中是否能被有效控制。运算过程中是否能被有效控制。4.4.舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，舍入误差。计算机字长有限
11、，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。于是产生舍入误差。例如：在例如：在1010位十进制数限制下：位十进制数限制下：第34页/共44页1 1绝对误差绝对误差。设。设x为为准确值，准确值，为为近似值。则称近似值。则称 e=x-x*为为x*的绝对误差。如果的绝对误差。如果 则称则称 为为x*的绝对误差限。的绝对误差限。二误差基本概念二误差基本概念2 2相对误差相对误差。称。称 为为 的相对误差。的相对误差。实用中，常用实用中，常用 表示表示 的相对误差。的相对误差。如果如果 则称则称 为为 的相对误差限。的相对误差限。第35页/共44页3 3定义定义1.3.1(1.3.1(有效数字有效数字)则
12、说则说 具有具有n位有效数字，分别是位有效数字，分别是若若 ，则称，则称 为有效数。为有效数。或称或称 准确到准确到 位位,第36页/共44页例例1.3.11.3.1 设设x*=0.0270=0.0270是某数是某数 x 经经“四舍五入四舍五入”所得，则所得，则 误差误差 e 不超过不超过 x*末位的半个单位，即：末位的半个单位，即：又又x*=0.270 x10=0.270 x10-1-1,故该不等式又可写为故该不等式又可写为由有效数字定义可知由有效数字定义可知,x*有有3 3位有效数字，位有效数字，分别是分别是2,72,7，0 0。第37页/共44页例例1.3.21.3.2 设设x=32.9
13、3,=32.93,x*=32.89=32.89。则则 x*=0.3289x10=0.3289x102 2,故故x*有有3 3位有效数字，分别是位有效数字，分别是3 3，2 2，8 8。由于由于x*中的数字中的数字9 9不是有效数字，故不是有效数字，故x*不是有效数。不是有效数。第38页/共44页三、有效数位与误差的关系三、有效数位与误差的关系1.1.有效数位有效数位n越多越多,则绝对误差则绝对误差e越小越小(由定义由定义1.3.1)1.3.1)2.2.定理定理1.3.11.3.1 若近似数若近似数x*具有具有n位有效数字，则位有效数字，则 (1.2)(1.2)反之，反之，若若 则则x*至少有至
14、少有n位有效数字。位有效数字。第39页/共44页 两边除以两边除以 得得 (1.4)(1.4)1.1.一元函数情形一元函数情形 设设 则则 ，由，由TaylorTaylor展开公式展开公式 （1.3）四、数值运算的误差估计四、数值运算的误差估计(1.3)(1.3)和（和（1.41.4）给出了由自变量的误差引起的函）给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（数值的误差的近似式（误差传播误差传播）。）。第40页/共44页 2.2.多元函数情形多元函数情形设设 ，,则则由多元函数的由多元函数的TaylorTaylor展开公式类似可得展开公式类似可得 （1.51.5）（1.61.6）在（在（1.
15、61.6）式中，分别取）式中，分别取,可得可得（1.71.7）（1.81.8）（1.91.9）第41页/共44页例例1.3.3 1.3.3 测得某桌面的长测得某桌面的长a的近似值的近似值a*=120cm,=120cm,宽宽b的近似值的近似值b*=60cm=60cm。若已知。若已知|e(a*)|0.2cm,|)|0.2cm,|e(b*)|0.1cm)|0.1cm。试试求近似面积求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。的绝对误差限与相对误差限。解解:面积面积s=ab,在公式（在公式（1.51.5）中）中,将将 换为换为 s=ab,则则相对误差限为相对误差限为第42页/共44页1.4 1.4 选用算法应遵循的原则选用算法应遵循的原则1.1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数。2.2.防止大数防止大数“吃掉吃掉”小数小数3.3.尽量避免相近数相减尽量避免相近数相减4.4.避免绝对值很小的数做分母避免绝对值很小的数做分母5.5.选用数值稳定性好的算法选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差增长，以控制舍入误差增长第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页