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1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4
2、考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 M = x -4 x 2，N = x x2 - x - 6 0，则 M I N=13Ax -4 x 3Bx -4 x -2Cx -2 x 2Dx 2 x 32设复数 z 满足 z - i =1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A (x+1)2 + y2 = 1B (x -1)2 + y2 = 1C x2 + ( y -1)2 = 1D x2 + ( y+1)2 = 123已知 a = log 0.2，b
3、 = 20.2，c = 0.20.3，则A a b cB a c bC c a bD b c 16已知双曲线 C： a2b21(a0, b0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线uuuruuuruuur uu ur分别交于 A，B 两点若 F1 A = AB， F1B F2 B = 0，则 C 的离心率为 （一）必考题：共 60 分。17(12 分)ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin B - sin C)2 = sin2 A - sin B sin C（1）求 A；（2）若2a + b = 2c，求 sinC18（12 分）如图，直
4、四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值19（12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P2（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；uuuruuur（2）若 AP = 3PB，求|AB|20（12 分）已知函数 f (x) = sin x - ln(1+ x)， f (x)为 f (x)的导数证明：（1） f (x)在区间(-p存在唯一极大值点；1
5、, )2（2） f (x)有且仅有 2 个零点21（12 分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得
6、0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求 X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i = 0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率， 则 p0 = 0， p8 = 1， pi = api-1 + bpi + cpi+1 (i = 1, 2,L, 7)， 其中a = P( X = -1)， b = P( X = 0)， c = P( X = 1)假设a= 0.5， b= 0.8(i)证明： pi+1 - pi (i = 0,1, 2,L, 7)为等比数列；(ii)求 p4，并根据 p4的值解释
7、这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考Th在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）1- t 2x =，1+ t 2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y =4t 1+ t 2（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2rcosq+ 3rsinq+11 = 0（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1） 1 + 1 +
8、 1 a2 + b2 + c2；abc（2） (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 242019 年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题12113y=3x14150.181623三、解答题17解：（1）由已知得sin2 B + sin2 C - sin2 A = sin B sin C，故由正弦定理得b2 + c2 - a2 = bcb2 + c2 - a21由余弦定理得cos A =2bc2因为0 A 180，所以 A = 60（2）由（1）知 B = 120 - C，由题设及正弦定理得2 sin A
9、+ sin (120 - C )= 2 sin C，即6 +3 cos C + 1 sin C = 2 sin C，可得cos (C + 60 )= -222222由于0 C 0, g( 2 ) x a, 2p 则当 x( 1, ) 时 ， g(x)0；当时， g(x)0.所以 g(x)在(-1,a)单调递增，在a, p 单调递减，故 g(x)在 -1, p 存在唯一极大值点，2 2 即 f (x)在 -1, p 存在唯一极大值点.2 （2） f (x)的定义域为(-1, +).（i）当 x (-1, 0时，由（1）知， f (x)在( -1,0)单调递增，而 f (0) = 0，所以当 x
10、(-1, 0)时， f (x) 0，故 f (x)在( -1,0)单调递减，又 f (0)=0，从而 x = 0是 f (x)在(-1, 0的唯一 零点.（ ii ） 当 x 0, p 时， 由（ 1 ） 知， f (x)在 (0,a)单调递增， 在 a, p 单调递减， 而2 2 f (0)=0f p 0；当 x b, p 时， f (x) 0， 所以当 x 0, p 时，f (x) 0. 从而，f (x)在 2 2 2 0, p 没有零点.2 （iii）当 x p , p时， f (x) 0， f (p) 1，所以 f (x)0，从而 f (x)在(p, +)没有零点.综上， f (x)有
11、且仅有2个零点.21解：X 的所有可能取值为-1,0,1.P( X = -1) = (1-a)b，P( X = 0) =ab+ (1-a)(1- b)，P( X = 1) =a(1- b)，所以 X的分布列为（2）（i）由（1）得 a = 0.4,b = 0.5,c = 0.1.因此 pi =0.4pi-1 +0.5 pi +0.1pi+1，故0.1( pi+1 - pi ) = 0.4 ( pi - pi-1 )，即pi+1 - pi = 4 ( pi - pi-1 ).又因为 p1 - p0 = p1 0，所以pi+1 - pi (i = 0,1, 2,L, 7)为公比为 4，首项为 p1
12、的等比数列（ii）由（i）可得p8 = p8 - p7 + p7 - p6 +L + p1 - p0 + p0= ( p8 - p7 ) + ( p7 - p6 ) +L + ( p1 - p0 ) =48 -1p.31由于 p =1，故 p =3，所以8148 -144 -11p4 = ( p4 - p3 ) + ( p3 - p2 ) + ( p2 - p1 ) + ( p1 - p0 ) =p1 =.3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 =1257 0.0039，此时得出错误结论的概率
13、非常小，说明这种试验方案合理.1- t 2 y 2 1- t 2 24t 222解：（1）因为 -1 1，且 x2 + = + = 1，所以C的直角坐标方程为+= -2y2x1(x1).41+ t 2 2 1+ t 2 (1+ t 2 )2l的直角坐标方程为2x +3y +11 = 0.x = cosa,（2）由（1）可设C的参数方程为（a为参数， - a ）. y = 2 sina| 2 cosa+ 2 3 sina+11|74 cos a- +113 7C上的点到l的距离为= .7当a= - 2时， 4 cos a- +11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.33 23解：（1）因
14、为 a2 + b2 2ab, b2 + c2 2bc, c2 + a2 2ac，又 abc = 1，故有a2 + b2 + c2 ab + bc + ca = ab + bc + ca = 1 + 1 + 1.abcabc所以 1 + 1 + 1 a2 + b2 + c2.abc（2）因为 a, b, c为正数且 abc = 1，故有(a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 33 (a + b)3 (b + c)3 (a + c)3=3(a+b)(b+c)(a+c) 3 (2ab ) (2bc ) (2ac )=24.所以(a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 24.