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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题
2、5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x|x2-5x+60，B=x|x-10，则 AB=A(-，1)B(-2，1)C(-3，-1)D(3，+)2设 z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A-3 B-2 C2 D3 zAB AC BC AB BC 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料4 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探
3、测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行 点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R，点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：.设，由于 的值很小，因此在近似计算中，则 r 的近似值为 A B C D 5演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A中位数 B平均数 C方差 D极差 6若 ab，则 Aln(ab)0
4、 B3a0 Dab 7设，为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B内有两条相交直线与 平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 2L2L2L1 2 12 2 3()()M M MR rR r r R rR 3 4 5323 33(1)21MRM212MRM2313MRM2313MRM关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料8若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=A2 B3 C4 D8 9下列函数中，以 为周期且在区间(，)单调递增的是 Af(x)=cos 2x Bf(x)=sin 2x Cf(x)=cosx Df(x)=sinx 10已知(0
5、，)，2sin 2=cos 2+1，则 sin=A B C D 11设 F 为双曲线 C：的右焦点，为坐标原点，以 为直径的圆与圆交于 P，Q 两点.若，则 C 的离心率为 A B C2 D 12设函数 的定义域为 R，满足，且当 时，.若对任意，都有，则 m 的取值范围是 A B C D 2 231x yp p 2422155533 2552 22 21(0,0)x ya ba b O OF2 2 2x y a PQ OF 2 35()f x(1)2()f x f x(0,1 x()(1)f x x x(,x m 8()9f x 9,4 7,3 5,2 8,3 关注公众号”一个高中僧“获取更
6、多高中资料二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.14已知 是奇函数，且当 时，.若，则 _.15 的内角 的对边分别为.若，则 的面积为_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多
7、面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.()f x0 x()eaxf x(ln 2)8 f a ABC,A B C,a b c6,2
8、,3b a c B ABC 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值.18（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19（12 分）已知数列an和bn满足 a1=1，
9、b1=0，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.20（12 分）已知函数.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 的切线.14 3 4n n na a b 14 3 4n n nb b a 11lnxf x xx exy 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料21（12 分）已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM与 BM的斜率之积为.记 M 的轨迹为曲线 C.（1）求 C 的方程，并说
10、明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交C 于点 G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求 面积的最大值.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l过点 且与垂直，垂足为 P.（1）当 时，求 及 l的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知（1）当 时，
11、求不等式 的解集；（2）若 时，求 的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 1A 2C 3C 4D 5A 12PQG PQG 0 0 0(,)(0)M:4sin C(4,0)AOM0=30()|2|().f x x a x x x a 1 a()0 f x(,1 x()0 f x a关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料6C 7B 8D 9A 10B 11A 12B 130.98 143 156 1626；17解：（1）由已知得，平面，平面，故 又，所以 平面（2）由（1）知 由题设知，所以，故，以 为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间
12、直角坐标系D-xyz，则 C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 3 2 1 1 1B C 1 1ABB A BE 1 1ABB A1 1B C BE1BE EC BE 1 1EB C190 BEB 1 1Rt Rt ABE A B E 45 AEB AE AB 12 AA AB D DA|DA 1C(1,1,1)CE 1(0,0,2)CC 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料即 所以可取n=.设平面 的法向量为m=（x，y，z），则 即 所以可取m=（1，1，0）于是 所以，二面角 的正弦值为 18解：（1）X=
13、2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X=2）=0.50.4+（10.5）（104）=05（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.1 19解：（1）由题设得，即 又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列 由题设得，即 0,0,CBCE nn0,0,xx y z(0,1,1)1ECC1 0,0,CCCE mm2 0,0.zx y z 1cos,|2 n
14、mn mn m1B EC C 321 14()2()n n n na b a b 1 11()2n n n na b a b n na b 121 14()4()8n n n na b a b 1 12n n n na b a b 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料又因为a1b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，20解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增 因为 f（e）=，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点 x1，即 f（x1）=0 又，故 f（x）在（0，1）有唯一零点 综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，故点 B（lnx0，
15、）在曲线 y=ex上 由题设知，即，故直线 AB的斜率 曲线 y=ex在点 处切线的斜率是，曲线 在点 处切线的斜率也是，n na b 112n n na b 2 1n na b n 1 1 1()()2 2 2n n n n n na a b a b n 1 1 1()()2 2 2n n n n n nb a b a b n e 11 0e 1 2 222 2e 1 e 3(e)2 0e 1 e 1f 110 1x 11 11 11 1()ln()01xf x f xx x 11x0ln01exx01x0()0 f x 0001ln1xxx000 0 000 0 0001 1 1ln1 1
16、1ln1xxx x xkxx x xxx 001(ln,)B xx01xln y x 0 0(,ln)A x x01x关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料所以曲线 在点 处的切线也是曲线 y=ex的切线 21解：（1）由题设得，化简得，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 由 得 记，则 于是直线 的斜率为，方程为 由 得 设，则 和 是方程的解，故，由此得 从而直线 的斜率为 所以，即 是直角三角形（ii）由（i）得，ln y x 0 0(,ln)A x x12 2 2y yx x 2 21(|2)4 2x yx
17、(0)y kx k 2 214 2y kxx y 221 2xk 221 2uk(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u QG2k()2ky x u 2 2(),214 2ky x ux y 2 2 2 2 2(2)2 8 0 k x uk x k u(,)G GG x y u Gx22(3 2)2Gu kxk322GukykPG322212(3 2)2ukukku k kuk PQ PG PQG 2|2 1 PQ u k 222 1|2uk kPGk关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料所以PQG 的面积 设 t=k+，则由 k0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号 因
18、为 在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 因此，PQG 面积的最大值为 22解：（1）因为 在C上，当 时，.由已知得.设 为l上除P的任意一点.在 中，经检验，点 在曲线 上.所以，l的极坐标方程为.（2）设，在 中，即.因为P在线段OM上，且，故 的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为.23解：（1）当 a=1时，.当 时，；当 时，.22 2218()1 8(1)|12(1 2)(2)1 2()kk kkS PQ PGk kkk 1k281 2tSt169169 0 0,M 0304sin 2 33|cos 23OP OA(,)Q Rt OPQ cos|23OP(2,)3Pcos 23 cos 23(,)P Rt OAP|cos 4cos,OP OA 4cos AP OM,4 2 4cos,4 2()=|1|+|2|(1)f x x x x x 1 x 2()2(1)0 f x x 1 x()0 f x 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料所以，不等式 的解集为.（2）因为，所以.当，时，所以，的取值范围是.()0 f x(,1)()=0 f a 1 a 1 a(,1)x()=()+(2)()=2()(1)0 f x a x x x x a a x x a 1,)关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料