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1、2019年普通高等学校招生全国统一理科数学考前须知：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目 要求的.1 .设集合力=引系-5矛+60,庐才|尸io,那么/n后A. (-8, 1) B. (-2, 1)C. (-3, -1) D. (3, +8).设班-3+2i,那么
2、在复平面内Z对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限.力B二3),二方)，二1,那么力二A. -3 B. -2C. 2 D. 34. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球反面软着陆，我国航天事业取得又一重 大成就，实现月球反面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问4点到月球的距离为根题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，位 于地月连线的延长线上.设地球质量为必，月球质量为，地月距离为兄 据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+产=(五+广)五T3a3 +3a4 +a
3、5 o 35 3a,由于口的值很小，因此在近似计算中设C.D.那么T的近似值为Q + a)23.解：当 a=l 时，F(X)T“1| +|， 2(X1)当 X1 时，f(x) = -2(x -1)2 0 ；当 KN1 时,了之 0所以，不等式F(x)的解集为(一001).(2)因为/(尸,所以QA1.当QN1,大(一/)时，F(x)=( x)x+(2 x)(x a)=2(一x)a l)6,那么A. lnG-b)0B. 3y3C. a3-b30D. |tz|Z?|.设a,夕为两个平面，那么。夕的充要条件是A. a内有无数条直线与用平行B. a内有两条相交直线与夕平行C. a,夕平行于同一条直线C
4、. a,夕平行于同一条直线D. a,夕垂直于同一平面8.8.x2F假设抛物线工2夕x(夕0)的焦点是椭圆3P=1的一个焦点，那么,A. 2B. 3C. 4D. 87in 7i9 .以下函数中，以2为周期且在区间（4, 2）单调递增的是A.八九）=| cos 2x | B.於:尸 | sin 2x |C. Xx）=cos | x |D. fix）= sin | x |7110 . a（0, 2）, 2sin 2=cos 2a+l,那么 sin a 二1A. 5B.造c. 3ii.设尸为双曲线a造52#D.丁/ V2= 1（ 力 0）a b的右焦点,为坐标原点,以。严为直径的圆与圆=2交于R Q两
5、点,假设尸。尸那么。的离心率为C. 212 .设函数FG)的定义域为R,满足F(x+D = 2F(x),且当xe (0,1时,z-I) 那么力的取值范围是假设对任意X (一吟刈，都有9f 9一00,I 4f 9一00,I 4,71rdr 81一 J二二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.13 .我国高铁开展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有 20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点 率的估计值为.14,了是奇函数，且当x。时,/（x）=/（n 2）= 8,那么a=.兀/ 总厂h
6、b = 6,a =15. 的内角儿为。的对边分别为口也？假设3,那么A4BC的面积为.16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.E信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多 边形围成的多面体.半正多面体表达了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶 点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为1.那么该半正多面体共有 个面，其棱长为.（此题第一空2分，第二空3分.）ffil图2三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考
7、 生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分。17. （12 分）如图，长方体ABC。-ABC。的底面ABCD是正方形，点石在棱A4上，BE_LEG.(1)证明：3_L平面E8G；(2)假设AE=AiE,求二面角3-EC-G的正弦值.18. (12 分)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方 获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球 时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.(1)求 P
8、 (X=2)；(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.19. (12 分)数列分和满足0=, 4%+1 = 3%-a+4 , 4&+1=3&-%-4(1)证明：廉+4是等比数列，圆-乩是等差数列；(2)求以和伯的通项公式.20. (12 分)/(x)= In % 一二函数X-1.(1)讨论7U)的单调性，并证明/U)有且仅有两个零点；(2)设荀是./U)的一个零点，证明曲线产In x在点4(x, In x)处的切线也是曲线)=的切线.21. (12 分)1点4(-2,0),双2,0),动点物(工力满足直线却/与8V的斜率之积为-2 .记的轨迹为曲线Q(1)求。的方程，并说明。是什么曲线；(2)过
9、坐标原点的直线交。于R。两点，点在第一象限，电工x轴，垂足为其 连结 团并延长交。于点G.（i）证明：aeog是直角三角形; di）求AEOG面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分.22 .选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 在极坐标系中，0为极点，点（0）（夕 ）在曲线C：二 4sme上，直线/过点月（4,0）且与0M垂直，垂足为6=-（1）当 3时，求外及/的极坐标方程；（2）当在。上运动且，在线段加上时，求点轨迹的极坐标方程.23 .选修4-5：不等式选讲（10分）/(x)=| x-ax+x-2x-a).（1）当0
10、二1时，求不等式 的解集；假设=（一时，x）,求。的取值范围.答案2019年普通高等学校招生全国统一理科数学答案一、选择题1. A 2. C3. C 4. D 5. A6. C7. B 8. D 9. A 10. B11. A 12. B二、填空题13. 0.9814. -316. 26；I7.解：（1）由得，与q平面力瓦片,故 3Q1 1 BE.又BE EC1,所以BE 1平面EBiG .（2）由知/，砧1 = 90.由题设知Rt，“三RtE马巴所以N4SB=45, 故幺E =4 = 2月3.以D为坐标原点，D1的方向为x轴正方向，1以I为单位长，建立如下图的空间直角坐标系。-xyz,CT=
11、(1-1,1)那么 C(0, 1, 0), B (1, 1, 0), 01 (0, 1, 2), E (1, 0, 1), 元二(0,0,2) *设平面E5c的法向量为=(x, y, x),那么 0n |x-y+z = 0.即L /cos =于是tintMil 加 I所以可取加二(1, 1, 0).亚所以，二面角qi的正弦值为2 .18 .解：(1) X=2就是10： 10平后，两人又打了 2个球该局比赛结束，那么这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因止匕 P (X=2) =0.5x0.4+ (1-0.5) x (1-04) =05.(2)X=4且甲获胜，就是10： 10平后，两人又打了 4个
12、球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5x (1-0.4) + (1-0.5) x0.4x0.5x0.4=0.1.4s +方)二2心+方1弓+1=彳(q+以).解：(1)由题设得“(+a%+4人即21又因为的+。产L所以%+是首项为1,公比为2的等比数列.由题设得 4(%+1 一 ”+1) 4(% 一 &) + 8,即 %+i -&+1 = 一年 + 2 .fa -b 又因为所以t w汽是首项为i,公差为2的等差数列.14 + 月。月-a - b - 2 外1由知，2，%气 .所以4=3+&)+&一编=/+一3=；(/ +a)_4
13、_4)=一+；20.解：(l)/(x)的定义域为(0, 1), (1, +8)单调递增.1 e+1 2、。e?+l e2 - 310因为/(e)= e-l ,e -1 e -1所以/(x)在(1, +8)有唯一零点X,即/(X) =0.0 )在(0, 1)有唯一零点“1.综上，/(x)有且仅有两个零点.(2)因为飞，故点8 (-InAb, 3 )在曲线产e,上.由题设知,心)=ln% = % T即1 -In x0而1 Xg + 1和七一1 1故直线43的斜率故直线43的斜率-In x0 - x0七+1-7-0 七一15(-lnx0,)5(-lnx0,)曲线尸e”在点1x0处切线的斜率是才，曲线
14、y=111 乂在点4演,1n为)处切线的斜率所以曲线丁二必乂在点力处的切线也是曲线尸e”的切线.所以曲线丁二必乂在点力处的切线也是曲线尸e”的切线.2 n-=_+ =l(|x|/ 2)21 .解：(1)由题设得x + 2 X 22 ,化简得42原点，焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.所以c为中心在坐标设直线PQ的斜率为匕那么其方程为？=区6 )220二 + 匕=1 % = 丁=142 得J1 +2M2u = ，记 J1+2*, 那么 P(u,uk-ukE(u,Q)于是直线0。的斜率为2,方程为于是直线0。的斜率为2,方程为? = *一) =，(%一),22x y += 1142(2 + 方 *
15、 x + 方%2 8 = 0 _ u(3k2 + 2)_ uk3设(Xg)G),那么T和玉？是方程的解，故G 2 + 2,由此得G 2 + M .uk3亍一欣2 + 7_（ii）由得，。仁+ M 2 +/乂 （3/ + 2）_ 从而直线网的斜率为2 +左 ei;ri PQ _L PG niI PQG 曰吉布一名甲 所以，即是直角二角形.C - 1 I DZ-lll DZ-I-阳 1 + M)_ 8(1+方)S 二一 尸。II PG =厂=2(1+2/)(2 + /)1+2(工 +曾 2k16设夕A+X,那么由於0得方三2,当且仅当公1时取等号.s=/因为1+2/在2, +8）单调递减，所以当占
16、2,即公1时，S取得最大值，最大值为16由0 =4sin = 2y/3由0 =4sin = 2y/3因此，%后面积的最大值为922.解:（1）因为（日。闻在c上,当，时,TT OP=OAcos- = 2由得3设033）为/上除尸的任意一点,在RQ8Q中/ cos 0- - =| OP |= 23 J尸（衅）经检验，点 3在曲线/cos 0- = 23 J上.夕cos 0- - 2所以，/的极坐标方程为所以，/的极坐标方程为3 J设尸（夕，夕），在RtZ3?中，I。刊二|Q4|cos9 = 4cos仇即夕= 4cos。因为p在线段0M上，且4口,如故e的取值范围是夕= 4cos 2所以，尸点轨迹的极坐标方程为