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1、绝密 启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若z=1+i，则|z22z|=A0B1C2D22设集合A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=A4B2C2D
2、43埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A5 14B5 12C5 14D5 124已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=A2B3C6D95某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i 1,2,20)得到下面的散点图：由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为
3、发芽率y和温度x的回归方程类型的是Ay a bxCy a bexBy a bx2Dy a blnx436函数f(x)x 2x的图像在点(1，f(1)处的切线方程为Ay 2x 1Cy 2x 3By 2x 1Dy 2x 17设函数f(x)cos(x)在,的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为6A109B76C43D32y2)(x y)5的展开式中x3y3的系数为8(xxA5C15B10D209已知(0,)，且3cos28cos5，则sinA53B2359C13D10已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，AB BC AC OO1，则球O的表面积为A6422
4、B48C36D3211已知M：x y 2x2y 2 0，直线l：2x y 2 0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为A2x y 1 0B2x y 1 0ab12若2 log2a 4 2log4b，则C2x y 1 0D2x y 1 0Aa 2bBa2bCa b2Da b2二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。2x y 2 0,13若x，y满足约束条件x y 1 0,则z=x+7y的最大值为.y 1 0,14设a a,b b为单位向量，且|a a b b|1，
5、则|a a b b|.x2y215已知F为双曲线C:221(a 0,b 0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于abx轴.若AB的斜率为 3，则C的离心率为.16如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，AB AD 3，ABAC，ABAD，CAE=30，则 cosFCB=.（一）必考题：共 60 分。17（12 分）设an是公比不为 1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项（1）求an的公比；（2）若a11，求数列nan的前n项和18（12 分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO 6DO6
6、（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角B PC E的余弦值19.（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.20.（12 分）1，2x2已知A、B分别为椭圆E：2 y21（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG GB
7、 8，P为直线x=6a上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.21（12 分）已知函数f(x)e ax x.（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0 时，f（x）x213x+1，求a的取值范围.2（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x coskt,(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为ky sin t建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0（
8、2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f(x)|3x 1|2|x 1|（1）画出y f(x)的图像；（2）求不等式f(x)f(x 1)的解集20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考理科数学试题参考答案(A 卷)选择题答案选择题答案一、选择题选择题1D5D9A非选择题答案非选择题答案二、填空题填空题131三、解答题三、解答题217解：（1）设an的公比为q，由题设得2a1 a2a3,即2a1 a1q a1q.2B6B10A3C7C11D4C8C12B1431521614所以q q2 0,解
9、得q 1（舍去），q 2.故an的公比为2.n1（2）设Sn为nan的前n项和.由（1）及题设可得，an(2).所以2Sn1 2(2)n(2)n1，(n1)(2)n1 n(2)n.(2)n1 n(2)n2Sn 2 2(2)22可得3Sn1(2)(2)1(2)n1(3n1)(2)nn=n(2).所以Sn.39918解：（1）设DOa，由题设可得PO 63a,AO a,AB a，63PA PB PC 2a.因此PA2 PB2 AB2，从而PA PB.2又PA2 PC2 AC2，从而PA PC.所以PA 平面PBC.（2）以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，|OE|为单位长，建立如图所示的空间直
10、角坐标系O xyz.由题设可得E(0,1,0),A(0,1,0),C(3 12,0),P(0,0,).222所以EC (312,0),EP (0,1,).2222yz 0m mEP 02设m m (x,y,z)是平面PCE的法向量，则，即，3x1y 0m mEC 022可取m m (32,1,2).由（1）知AP (0,1,)是平面PCB的一个法向量，记n n AP，322 5n nm m2 5.所以二面角BPCE的余弦值为.5|n n|m m|5116则cos n n,m m 19解：（1）甲连胜四场的概率为（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛比赛四场结束，共有三种情况
11、：甲连胜四场的概率为11；乙连胜四场的概率为；161611113丙上场后连胜三场的概率为所以需要进行第五场比赛的概率为11616848（3）丙最终获胜，有两种情况：1比赛四场结束且丙最终获胜的概率为8比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为11111117，因此丙最终获胜的概率为1688816881620解：（1）由题设得A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则AG (a,1)，GB=（a，1）.由AG GB=8得a21=8，即a=3.所以E的方程为x2+y2=19（2）设C（x1，y1），D（x2，y2
12、），P（6，t）.若t0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知3n3.tt由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.99tt直线PB的方程为y=（x3），所以y2=（x23）.可得3y1（x23）=y2（x1+3）.332(x 3)(x23)x2221，故y2 2由于 y2，可得27y2y2(x1 3)(x2 3)，9922即(27 m)y1y2 m(n3)(y1 y2)(n3)0.222mnxn92222将xmyn代入y1得(m9)y2mnyn90.所以y1y22，y1y22m9m9932222代入式得(27m)(n9)2m(n3)mn(n3)(m9)0.解得n=3（
13、含去），n=.2故直线CD的方程为x=my33，即直线CD过定点（，0）2233若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.综上，直线CD过定点（，0）.2221解：（1）当a=1 时，f（x）=ex+x2x，则f(x)=ex+2x 1故当x（，0）时，f(x)0 所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）f(x)1311x1等价于(x3ax2x1)ex1.设函数g(x)(x3ax2x1)ex(x0)，则222131g(x)(x3ax2x1x22ax 1)exxx2(2a3)x4a2ex2221x(x2a1)(x2)ex.21（i）若2a+1 0，即a，则当x（0，2）时
14、，g(x)0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g2（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.11（ii）若02a+12，即a，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)17e27e21a时，g(x)1.所以当442113x（iii）若2a+1 2，即a，则g(x)(xx1)e.22当且仅当g(2)=(7 4a)e2 1，即a117e21,)，故由（ii）可得(x3x1)ex 1.故当a时，g(x)1.由于022427e2,).综上，a的取值范围是4xcost,22
15、C:22解：当k=1 时，1消去参数t得xy1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1 的圆ysint,4xcos t,（2）当k=4 时，C1:消去参数t得C1的直角坐标方程为xy14ysin t,C2的直角坐标方程为4x 16y301x 1 1 x y 1,4由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为(,)4 4y 14x 16y 3 041x 3,x ,3123解：（1）由题设知f(x)5x 1,x 1,3x 3,x 1.y f(x)的图像如图所示（2）函数y f(x)的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数y f(x 1)的图像711y f(x)的图像与y f(x 1)的图像的交点坐标为(,)667由图像可知当且仅当x 时，y f(x)的图像在y f(x 1)的图像上方，67故不等式f(x)f(x 1)的解集为(,)6