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1、第第5 5章章 均匀平面波在无均匀平面波在无界空间中的传播界空间中的传播波的波的传传播方向播方向等相面等相面平面波平面波指的是指的是电电磁波的等相面是磁波的等相面是与与其其传传播播方向垂直的无限大平面；方向垂直的无限大平面；均均匀匀的含的含义义是在其等相面上，是在其等相面上，E和和H的方向、振幅均不的方向、振幅均不变变，如下，如下图图。（坡坡应应亭亭矢矢量量的的方方向向 就就是是波波的的传传播播方方向向）介质中的传播特点，然后讨论其在无限大的有损耗介质中的传播特点。本章先讨论均匀平面波在无限大的理想 5.1 5.1 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波1.1.理想介质中均匀平面波理想介
2、质中均匀平面波的的传传播特点播特点 讨论无限大理理想想介介质质的无无源源区区域域。理想介质(无耗介质)意味着描述媒质电磁特性的电磁参数满足如下条件：=0,、为实常数；无源意味着无外加场源，即=0，J=0。在无限大理想介质的无源空间中传播的均匀平面波满足的波动方程为亥姆霍兹方程：假定平面波沿+z方向传播，根据均匀平面波的含义，E和H在垂直于z轴的平面内沿固定的方向振动，且振幅不变；令电场E的方向为+x方向，磁场H沿+y方向，则zxy且其振幅Ex只和z坐标有关，与坐标x、y无关，则有则第二个亥姆霍兹方程改写为：该方程的解(A1、A2是待定积分常数)亥姆霍兹方程的解乘以时间因子ejt再取实部就是时谐
3、场的瞬时值：右边第一项：它它代表沿代表沿+z方向方向传传播的一列播的一列简谐简谐行波行波。右边第二项：代表沿-z方向传播的简谐行波，因已经假定平面波沿+z方向传播，故舍去。则沿沿+z方向方向传传播的均播的均匀匀平面波的波解平面波的波解：其中代表波传播单位距离的相位变化，又称为相位常相位常数数，SI单位是rad/m。其等相面等相面：为垂直z轴的无限大平面。其相速度相速度(即等相面的移动速度)：真空中故也有(介介质对电质对电磁波的折射率磁波的折射率)代入,得理想介质中均均匀匀平面波的相速度平面波的相速度（与与波的波的频频率无率无关关）均匀平面波的电场利用复数形式的麦氏方程，可得磁场表达式。故定义介
4、质的波阻抗波阻抗因和媒质参数有关，故又称媒质的本征阻抗或特性阻抗本征阻抗或特性阻抗。特别地，真空中的波阻抗磁磁场场的瞬的瞬时值时值表表达达？则对对于非于非铁铁磁材料磁材料=0/n 1/称为称为特征特征导纳导纳表明表明:(1)理想介理想介质质中均中均匀匀平面波的平面波的电场电场E、磁、磁场场H与传与传播方向播方向ez之之间间彼此垂直，且彼此垂直，且构构成右手螺旋成右手螺旋关关系，如系，如图图传播方向TEM波波(Transverse Electro-Magnetic Wave,横电横电磁波磁波)(2)电场电场E、磁、磁场场H同相位同相位（理想介质的为实数）。即理想介即理想介质质中，均中，均匀匀平面
5、波的平面波的电电能密度等于磁能密度能密度等于磁能密度。上式取绝对值即即电场电场振幅和磁振幅和磁场场振幅之比振幅之比为为波阻抗波阻抗理想介理想介质质中均中均匀匀平面波的平面波的传传播特点播特点归纳为归纳为：电场电场E、磁、磁场场H与传与传播方向播方向ez之之间间彼此垂直，且彼此垂直，且构构成成右手螺旋右手螺旋关关系，是系，是TEM波。波。波阻抗波阻抗为实数为实数，故，故电场电场E、磁、磁场场H同相位。同相位。波的相速波的相速与与波的波的频频率无率无关关，是非色散波，是非色散波。电场电场振幅和磁振幅和磁场场振幅之比振幅之比为为波阻抗。波阻抗。电电能密度等于磁能密度能密度等于磁能密度。.沿任意方向传
6、播的均匀平面波沿任意方向传播的均匀平面波xyz等相面传传播方向播方向 考虑沿任意方向传播的平面波。引入波矢量波矢量 来描述传播方向：“其方向其方向为为波的波的传传播方向，播方向，大小大小为为相位常相位常数数k。”沿+z方向传播的平面波是一个特例，其波矢量为则沿+z方向传播的平面波的电场改写为：该式可以推广到任意传播方向k：相应的磁场矢量：因此，因此，对时谐场对时谐场 -j k中正弦均匀平面电磁波的频率f=108 Hz，电场强度 试求：(1)均匀平面电磁波的相速度vp、波长、相位常数k和波阻抗；(2)电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；(3)与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。例：例：
7、已知无界理想媒质(=90,=0，=0)解解：(1)(2)(3)与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率即平均Poynting矢量的大小：聚乙烯中传播，设材料无损耗，相对介电常数r=2.26，磁场的振幅7 mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的振幅。课课堂堂练习练习：频率为9.4GHz的均匀平面波在解：解：5.2 5.2 电磁波的极化电磁波的极化极极化的分化的分类类：极极化的描述：化的描述：用电场强度矢量 终端端点在空间形成的轨迹表示。1.1.极化极化(Polarization)的概念与分类的概念与分类极极化的定化的定义义：指空间某固定位置处电场强度矢量 随时间变化的特性。线极线极化化
8、：E的终端端点描绘出的轨迹是直线 圆极圆极化：化：E的终端端点描绘出的轨迹是园 椭圆极椭圆极化：化：E的终端端点描绘出的轨迹是椭园下面分析各种极化形式所必需的条件。设平面波沿+z方向传播，在垂直于传播方向的平面内，电场强度矢量的方向和大小可以不固定，其两个正交分量为：其合成矢量 的终端随时间描绘出的轨迹形状给出极化的具体形式。为了简单，取z=0的平面来讨论E的时间变化特性，此时其正交分量简化为：2.2.直线极化波直线极化波 若若Ex和和Ey分量的分量的相位相同或相差相位相同或相差为为，则两则两者的合成矢者的合成矢量量E的的终终端端轨轨迹迹为为直直线线 -线极线极化化以 为例，(1)、(2)两式
9、合成波电场强度的大小合成波电场与x轴的夹角可见合成波电场的大小虽然随时间变化，但其矢端轨迹与x轴的夹角始终不变，如图，故为直线极化波。2.2.园极化波园极化波 若若Ex和和Ey分量的分量的振幅相同且相差振幅相同且相差为为/2，则两则两者的合成者的合成矢量矢量E的的终终端端轨轨迹迹为园为园 -园极园极化化取 ，(1)、(2)两式简化为：合成波电场强度的大小合成波电场与x轴的夹角方向随时间变化，其矢端点作圆周运动，如图，故为圆极化波。可见合成波电场的大小不随时间变化，但其xy(a)左旋圆极化xy(b)右旋圆极化合成波电场E矢量的转动角速度：讨论：讨论：当 时；即Ey分量的相位比分量的相位比Ex超前
10、超前/2时时；转动角速度即矢量E以角速度顺时针方向转动，转动方向和波的传播方向(+z方向)构成左手螺旋。-左旋左旋园极园极化化xy(a)左旋圆极化讨论：讨论：当 时；即Ey分量的相位比Ex落后/2时；转动角速度即矢量E以角速度逆时针方向转动，转动方向和波的传播方向(+z方向)构成右手螺旋。-右旋右旋园极园极化化xy(b)右旋圆极化3.3.椭圆极化波椭圆极化波 一般地：若若Ex和和Ey分量的振幅和相位均不相等，分量的振幅和相位均不相等，则构则构成成椭圆极椭圆极化化。为简单计，在(1)式和(2)式中取 有消去时间t，得到为椭圆方程，表明合成波电场E矢端轨迹是椭圆-椭圆极化波xy合成波电场与x轴的夹
11、角满足：合成波电场E矢端的转动角速度：讨论：讨论：当 时；即Ey分量的相位超前Ex时；转动角速度转动方向与波的传播方向(+z方向)构成左手螺旋。-左旋椭圆极化；E矢量顺时针旋转，xy（左旋椭圆极化）讨论：讨论：当 时；即Ey分量的相位落后Ex时；转动角速度转动方向与波的传播方向(+z方向)构成右手螺旋。-右旋椭圆极化；E矢量逆时针旋转，xy（右旋椭圆极化）讨论：讨论：当 时；即Ey、Ex分量的相位相等时；由上式此时椭圆极化过渡到线极化。此时椭圆极化过渡到圆极化。当 时；上式成为线极化和圆极化只是椭圆极化的特例。例：例：判断下列平面电磁波的极化形式：解：解：(1)波波的的传传播播方方向向？Ex、
12、Ey分量的相位差，故为线极化波，又因此是二、四象限的线极化波。(2)Ex、Ey分量均沿分量均沿+z方向方向传传播，播，两两者的振幅相等，且者的振幅相等，且Ey分量分量的相位的相位超前超前/2，故，故为为左旋左旋圆极圆极化。化。(3)Ex、Ey分量均沿分量均沿+z方向方向传传播，播，两两者的振幅相等，且者的振幅相等，且Ey分量分量的相位的相位落后落后/2，故，故为为右旋右旋圆极圆极化化。将(2)、(3)两式相加：令代表沿z方向传播的线极化波,则有结论结论：任一任一线极线极化波化波(其其E矢量的方向矢量的方向总总可以取可以取为为x方向方向)总总可以分解可以分解为两个为两个振幅相等、且旋向相反的振幅
13、相等、且旋向相反的圆极圆极化波的化波的叠叠加。加。5.3 5.3 导电介质中的均匀平面波导电介质中的均匀平面波1.1.导电介质中均匀平面波导电介质中均匀平面波的的传传播特点播特点 导电介质中，电导率 0，存在传导电流J=E，因此介质是有损耗的。为了简单起见，讨论线极化波在均均匀匀、无源无源损损耗介耗介质质中的传播。均匀介质 、是实常数无源(无外加场源)=0,J=0(外部电流)损耗介质 0(欧姆损耗)由麦氏方程注意：此处的电流J是在介质内部因导电性引起的漏电流，非指介质外部的场源。令(1)称为介质的等效等效复复介介电电常常数数，其实部为介质的介电常数，虚部和电导率相关，故虚部能反映介质的欧姆损耗
14、E2。则对比无源理想介质中的麦氏方程：-引入复介电常数的优越之处根据无源理想介质中平面波的亥姆霍兹方程可直接写出无源导电介质中平面波的亥姆霍兹方程：复数kc为导电介质中的波数。定义复传复传播常播常数数(2)另一方面，由于是复数，有(3)(2)、(3)两式解出、：假设电磁波是沿+z方向传播的均匀平面波，其电场只有Ex分量，则(5)式简化成：（2）式代入亥姆霍兹方程，得到(4)(5)方程的解（舍去-z方向传播的解）再由方程可得导电介质中的磁场强度：这里c为:称为导电导电介介质质的本征阻抗的本征阻抗，它是一复数。导电媒质本征阻抗的模小于理想介质的本征阻抗，幅角在0/4之间变化或者表明：导电导电介介质
15、质中，均中，均匀匀平面波的平面波的电场电场E、磁、磁场场H与传与传播方向播方向ez之之间间仍然彼此正交，且仍然彼此正交，且构构成右手螺旋成右手螺旋关关系，如下系，如下图图。传播方向TEM波波(Transverse Electro-Magnetic Wave,横电横电磁波磁波)电场电场E和磁和磁场场H两两者相位不同，者相位不同，电场电场E的相位超前的相位超前。电场电场E和磁和磁场场H的振幅比的振幅比为为介介质质本征阻抗的模本征阻抗的模电场E和磁场H的瞬时值：可见，电场电场和磁和磁场场的振幅以因子的振幅以因子e-z（衰（衰减减因子）因子）随传随传播距播距离离z的增加而衰的增加而衰减减，故称：衰衰减
16、减常常数数 单位 Np/m代表每代表每单单位位长长度，度，电电磁波的衰磁波的衰减减程度。程度。相位常相位常数数 单位 rad/m代表每代表每单单位位长长度，度，电电磁波磁波传传播的相位。播的相位。导电导电介介质质中，中，电电磁波的相速度磁波的相速度表明：表明：导电导电介介质质中均中均匀匀平面波的相速比理想介平面波的相速比理想介质质中的要中的要慢，而且慢，而且 越大，相速越慢。越大，相速越慢。相速和相速和电电磁波的磁波的频频率有率有关关，同一，同一种种介介质质中，不同中，不同频频率的波，率的波，相速不同，相速不同，这称为这称为色散效色散效应应。t脉冲展宽（畸变）脉冲重叠、信号失真色散效色散效应对
17、应对通信系通信系统统的影的影响响t(脉冲信号)导电媒质中平均电能密度和平均磁能密度分别如下：导电导电介介质质中，平均磁能密度中，平均磁能密度平均平均电电能密度。能密度。小小结结：导电导电介介质质中均中均匀匀平面波的平面波的传传播特点播特点 导电导电介介质质中，均中，均匀匀平面波的平面波的电场电场E、磁、磁场场H与传与传播方向播方向ez之之间间仍然彼此正交，且仍然彼此正交，且构构成右手螺旋成右手螺旋关关系，是系，是TEM波波。电场电场E和磁和磁场场H两两者相位不同，者相位不同，电场电场E的相位超前的相位超前 (是本征阻抗的是本征阻抗的辐辐角角，在在0/4之之间间）。电场电场E和磁和磁场场H的振幅
18、比仍然的振幅比仍然为为介介质质的本征阻抗。的本征阻抗。电场电场和磁和磁场场的振幅呈指的振幅呈指数数衰衰减减。电电磁波的相速和磁波的相速和频频率有率有关关，是色散波，是色散波，导电导电介介质质是色是色散介散介质质。导电导电介介质质中，平均磁能密度中，平均磁能密度平均平均电电能密度。能密度。下面讨论两类特殊的导电介质。弱导电介质条件：在弱导条件下，传播常数 近似为故衰减常数和相位常数近似为本征阻抗近似为 在弱在弱导电导电介介质质中，相位常中，相位常数数和波阻抗近似和波阻抗近似与与理想介理想介质质相相同，而衰同，而衰减减常常数数也很小且也很小且与频与频率无率无关关。因此，均。因此，均匀匀平面波平面波
19、在弱在弱导电导电介介质质中的中的传传播特性，播特性，除了由于微弱的除了由于微弱的损损耗引起的耗引起的振幅衰振幅衰减减外，外，与与理想介理想介质质中的中的传传播特性基本一播特性基本一样样。即良导体，条件：强导电介质在良导体中，传播常数 近似为其中利用了则有（f 是电磁波频率）（1）媒媒质质是良是良导导体体还还是弱是弱导导体，体，与电与电磁磁波波频频率有率有关关，是，是个个相相对概对概念。念。良导体的本征阻抗近似为（2）讨论：讨论：由公式(1)，当高频电磁波传入良导体后，因良导体的电导率在107s/m的量级，所以高频电磁波在良导体中衰减极快(衰减常数很大)，一般在微米量级的距离内就衰减的几乎为0了
20、，这样高频电磁波就只能存在于良导体表面的一个薄层里，这种现象称为趋肤效应趋肤效应（Skin Effect）。例如：假设电磁波在良导体中传播了5m，则电场振幅衰减为即振幅衰减为表面处的1.4%。工程上常用趋肤趋肤深度深度 (或穿透深度或穿透深度)来表征电磁波的趋肤程度。趋肤深度定义为：当电当电磁波的振幅衰磁波的振幅衰减为减为表面表面值值的的1/e时电时电磁波所磁波所传传播的距离。播的距离。根据定义可见，介质的导电性能越好，工作频率越高，则趋肤深度越小，趋肤效应越显著。例如银的电导率=6.15 107 S/m，磁导率0=410-7 H/m 公式(2)表明，在良导体中，磁场的相位滞后于电场45o。按
21、照该式，本征阻抗可以改写为讨论：讨论：式中Rs代表单位长度、单位宽度而厚度为的导体块的直流电阻，也即厚度为的导体每平方米的直流电阻，称为导体的表面电阻表面电阻，如下图示。yxzH方向E方向波传播方向o11平面良平面良导导体体电磁波Rs：厚度为的导体每平方米的直流电阻导体内部z处的电流密度：这里是导体的表面电流密度，E0是导体表面电场。则导体内单位宽度上(如上图y方向单位宽度上)流过的电流：由于电磁波在良导体内衰减极快，因此Is近似为流过表面电阻Rs的电流，称表面电流，是个含时的复数。从电路的观点看，表面电流Is通过表面电阻Rs时的平均功率损耗为：代入其中E0是表面电场，Plav其实也就是良导体
22、表面上每单位面积的吸收的平均电磁波功率，即 。有已知 海水的电磁参数是r=81,r=1,=4 S/m，在z=0处的电场例例1：一线极化波在海水中沿+z方向传播，求：(1)衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、海水中的波长及趋肤深度；(2)电场和磁场的瞬时值；(3)平均功率流密度。解：（1）海水可视为良导体，故衰减常数相位常数本征阻抗相速海水中的波长趋肤深度（2）电场和磁场的瞬时值问题问题：某水下作某水下作业业者的作者的作业业深度是深度是50m，若要保持，若要保持和地面指和地面指挥挥中心的通信中心的通信联联系，必系，必须须采取何采取何种种措施？措施？(3)平均功率流密度即平均Poynting矢量在
23、海水表面另一方面表面处(a)收音机中周变压器铝（）屏蔽罩的厚度。设中周的频率为465kHz。(b)电源变压器铁（）屏蔽罩的厚度。蔽材料中的一个波长作为屏蔽层的厚度。求：例例题题2：为了进行有效的电磁屏蔽，常以屏1.求屏蔽罩的厚度即求屏蔽罩材料中的波长；2.因为 ，所以可以解题；3.若 ，则可视为良导体，。分析：分析：解解：两种材料在所使用频率下均满足 ，视为良导体。(a)铝屏蔽罩的厚度 其中f=465KHz是中周频率。(b)铁屏蔽罩的厚度 其中f=50Hz是电源变压器中的频率。5.4 5.4 色散与群速色散与群速1.1.群速（群速（Group Velocity）概念的引入）概念的引入 在损耗介
24、质中，电磁波的相速(i.e.等相位点的推进速度)可表示为相位常数一般是波频率的非线性函数，故相速也是频率的非线性函数，即不同频率的电磁波，在介质中的相速度不同，产生色散效应。单一频率的正弦行波不能携带任何信息，在工程上，信号是通过调制作用搭载到电磁波上的，因此能够传递信号的电磁波（i.e.信号波）实际上是一列调制波，其频率不再故，群速度群速度=调调制波的制波的传传播速度播速度=信信号号的的传递传递速度速度。色散效应，每种频率成分(各次谐波)传播的相速度各不相同，而信号的传递速度是唯一的，所以谐波的相速度不能描述信号传播速度。显然，调制波的传播速度才是信号的传递速度，考虑到调调制波制波实际实际上
25、是各次上是各次谐谐波的一波的一个个“集群集群(Group)”，调制波的传播其实就是这个“集群”的传播，因此引入群速度的概念来描述一列调制波的传播速度。单一，而是包含了许多种频率成分，由于2.2.群速的数学定义群速的数学定义 考虑一种最简单的情形：假定信号波（调制波）只包含两种频率差别极小的成份，即假定信号波由两个振动方向相同、振幅相同、频率分别为+和-（）且沿+z方向传播的正弦行波叠加而成：+和-分别为两行波的相位常数。合成波载波频率其中为调制波的振幅载波振幅写成（1）信号频率(1)式代表载波振幅受到信号调制的调制波，是调幅波。由于极小，因此在某时刻t，调制波的振幅Am也随传播距离z缓慢变化，
26、构成波的包络(如下图)，故调制波振幅也称包包络络波波，调制波搭载的信息就包含在包络波中。z载载波，速度波，速度vp 包包络络波，速度波，速度vg Am2Em 群速度就定群速度就定义为义为包包络络波的等相位面上任意点的推波的等相位面上任意点的推进进速速度。度。由于信息包含于包络波中，所以群速度就是信息的传递速度。由定义，知群速度为（群速度的定义式）代入该式给出信号波群速和载波相速之间的关系。，即相速和频率无关时，vg=vp，称为无色散无色散；，即频率越高，相速越小，vgvp，称为反常色散反常色散；例如，导电介质中的相速对于良导体，/1，故良导体中的色散是反常色散。思考：调制波在真空或空气中传播时
27、，群速和相速的关系？相速度相速度 波速波速 群速度群速度l 波的波的传传播速度就是波能量的播速度就是波能量的传传播速度；播速度；l 相速度是指相速度是指电电磁波等相位面（几何面）的移磁波等相位面（几何面）的移动动速度；速度；对对于于单单色平面波（色平面波（实际实际上不存在）上不存在），其等相面是空，其等相面是空间间和和时间时间上无限展延的平面。上无限展延的平面。l 对对于任何于任何实际实际的的电电磁波磁波(例如各例如各种种信信号号脉冲脉冲)，都包含多，都包含多种频种频率成分，在色散介率成分，在色散介质质中，各中，各单单色分量色分量将将以不同的相速以不同的相速度度传传播，因此要确定信播，因此要确
28、定信号号在色散介在色散介质质中的中的传传播速度就播速度就发发生生困困难难，为为此引入群速（此引入群速（Group Velocity）的）的概概念，用念，用它它描描述述波的能量波的能量传传播速度播速度。l 对对于于单单色平面波色平面波而言，相速度而言，相速度=波的波的传传播播速度（各向同性介速度（各向同性介质质）；）；l 群速度定群速度定义为电义为电磁波的包磁波的包络络(波波)传传播的速度。播的速度。实际实际上就上就是是电电磁波前磁波前进进的速度；或者的速度；或者说说信信号号的的传传播速度播速度。似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度相速度”，虽然很快，但是电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度群速度”。如果墙壁很硬，你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为“0”，但是你从电钻的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。打个比喻，拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时l 相速度只代表相位相速度只代表相位变变化的快慢，化的快慢，并并不代表不代表电电磁波能量的磁波能量的真真正正传传播速度播速度，它它可以超越光速可以超越光速c c；而；而群速群速则总则总小于光速小于光速c c。例如，电离层中因折射率n1，所以无线电波的相速度大于光速c，这一结论和相对论的理论并不矛盾。