《材料力学 第9章 能量法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学 第9章 能量法.ppt（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、Mechanics of Materials 9-1 概述概述9-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算9-3 互等定理互等定理9-4 单位荷载法单位荷载法 莫尔定理莫尔定理9-5 卡氏定理卡氏定理9-6 计算计算莫尔积分的图乘法莫尔积分的图乘法 9-1 概述概述 在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量的能量的能量的能量,称为弹性变形能称为弹性变形能称为弹性变形能称为弹性变形能,简称变形能简称变形能简称变形能简称变形能.一、能量
2、方法一、能量方法一、能量方法一、能量方法三、变形能三、变形能三、变形能三、变形能二、外力功二、外力功二、外力功二、外力功 固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功外力因此而做功外力因此而做功外力因此而做功,则成为外力功则成为外力功则成为外力功则成为外力功.利用功能原理利用功能原理利用功能原理利用功能原理 V V =WW 来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移,变形和内力变形和内
3、力变形和内力变形和内力等的方法等的方法等的方法等的方法.可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功外力和内力均将作功外力和内力均将作功外力和内力均将作功.对对对对于弹性体于弹性体于弹性体于弹性体,不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功外力在相应位移上作的功外力在相应位移上作的功外力在相应位移上作的功,在在在在数值上就等于积蓄在物体内的应变能数值上就等于积蓄在物体内的应变能数值上就等于积蓄在物体内的应变能数值上就等于积蓄在物体内的应变
4、能.V V =WW四、功能原理四、功能原理四、功能原理四、功能原理9-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算 1.1.1.1.轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能 当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时:当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：应变能密度（应变能密度（应变能密度（应变能密度（比能）比能）比能）比能）:2.2.2.2.扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能扭转杆
5、内的变形能或或纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲3.3.3.3.弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能4.4.4.4.组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能组合变形的变形能 截面上存在几种内力截面上存在几种内力截面上存在几种内力截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立力独立作用原理成立力独立作用原理成立力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功各个内
6、力只对其相应的位移做功.二、二、二、二、变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式F F-广义力广义力广义力广义力包括力和力偶包括力和力偶包括力和力偶包括力和力偶-广义位移广义位移广义位移广义位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移B B C C F3BCF2AF1 假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值零增致最后值零增致最后值零增致最后值.对于线性
7、结构对于线性结构对于线性结构对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，位移与荷载之间是线性关系，位移与荷载之间是线性关系，位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移任一广义位移任一广义位移任一广义位移,例如例如例如例如 2 2可表示为可表示为可表示为可表示为F3ABCF1F2B B C C1 1F F1 1,C C2 2F F2 2,C C3 3F F3 3 分别分别分别分别表示力表示力表示力表示力F F1 1,F F2 2,F F3 3 在在在在 C C 点引起的竖向位移点引起的竖向位移点引起的竖向位移点引起的竖向位移.C C1 1,C C2 2,C C3 3 是比例常数是比例常数是比例常数是比例
8、常数.F F3 3/F F2 2在比例加载时在比例加载时在比例加载时在比例加载时也是常数也是常数也是常数也是常数F F1 1/F F2 2和和和和 2 2 与与与与 F F2 2 之间的关系是线性的之间的关系是线性的之间的关系是线性的之间的关系是线性的.同理同理同理同理,1 1 与与与与 F F1 1,3 3 与与与与F F3 3 之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的.在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 iF Fi iF3AB
9、CF1F2B B 克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）F Fi i i三、变形能的应用三、变形能的应用三、变形能的应用三、变形能的应用 1.1.1.1.计算变形能计算变形能计算变形能计算变形能 2.2.2.2.利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形 两力作用点沿力作用方向两力作用点沿力作用方向两力作用点沿力作用方向两力作用点沿力作用方向的位移分别为的位移分别为的位移分别为的位移分别为F F1 1,F F2 2（1 1）设在线弹性结构上作用力）设在线弹性结构上作用力）设在
10、线弹性结构上作用力）设在线弹性结构上作用力 1 1,2 2一、功的互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理9-3 互等定理互等定理 1 2F1F2F1F2 1 2 F F1 1 和和和和 F F2 2 完成的功应为完成的功应为完成的功应为完成的功应为（2 2）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力）在结构上再作用有力F F3 3 ,F F4 4 沿沿沿沿 F F3 3和和和和 F F4 4方向的相应位移为方向的相应位移为方向的相应位移为方向的相应位移为 3 3,4 4F3 3 4F4 F F3 3 和和和和 F F4 4 完成的功应为完成的功应为完成的功应为
11、完成的功应为（3 3）在）在）在）在 F F3 3和和和和 F F4 4的作用下的作用下的作用下的作用下,F F1 1 和和和和F F2 2 的作用点又有位移的作用点又有位移的作用点又有位移的作用点又有位移 F F1 1 和和和和 F F2 2 在在在在 1 1 和和和和 2 2 上上上上完完完完成的功应为成的功应为成的功应为成的功应为F1F2 1 2F3 3 4F4 因此因此因此因此,按先加按先加按先加按先加 F F1 1,F F2 2 后后后后F F3 3,F F4 4 的次序加力的次序加力的次序加力的次序加力,结构的应变能为结构的应变能为结构的应变能为结构的应变能为 1 1 和和和和 2
12、 2 F1F2 1 2 3 4F4F3 若按先加若按先加若按先加若按先加F F3 3,F F4 4 后加后加后加后加F F1 1,F F2 2 的次序加力的次序加力的次序加力的次序加力,又可求得结构的应变又可求得结构的应变又可求得结构的应变又可求得结构的应变能为能为能为能为 由于应变能只决定于力和位移的由于应变能只决定于力和位移的由于应变能只决定于力和位移的由于应变能只决定于力和位移的最终值最终值最终值最终值,与加力的次序无关与加力的次序无关与加力的次序无关与加力的次序无关,故故故故 功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功第一组力在第二组力引起
13、的位移上所作的功第一组力在第二组力引起的位移上所作的功第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理 若第一组力若第一组力若第一组力若第一组力 F F1 1,第二组力只有第二组力只有第二组力只有第二组力只有 F F3 3,则则则则如果如果如果如果 F F1 1=F F3 3 ,则有则有则有则有 位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理：F F1 1作用点沿作用点
14、沿作用点沿作用点沿 F F1 1 方向方向方向方向因作用因作用因作用因作用 F F3 3而而而而引起的位移等于引起的位移等于引起的位移等于引起的位移等于F F3 3 作用点沿作用点沿作用点沿作用点沿 F F3 3 方向方向方向方向因作用因作用因作用因作用 F F1 1而而而而引起的位移引起的位移引起的位移引起的位移.三、注意三、注意三、注意三、注意 （1 1）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的）力和位移都应理解为广义的.（2 2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由）这里是指结构不可能发生刚性位
15、移的情况下，只是由）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形引起的位移变形引起的位移变形引起的位移变形引起的位移.9-4 单位荷载法单位荷载法 莫尔定理莫尔定理一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导 求任意点求任意点求任意点求任意点A A的位移的位移的位移的位移w wA A F1F2A A图图图图b b b b 变形能为变形能为变形能为变形能为a aA图图图图F1F2=1F0AF1F2图图图图c c c cwAF F0 0=1=1 （1 1）先在）先在）先在）先在A A点作用单点作用单点作用单点作用单位力位力位力位力F F0 0,再作用再作用再作用再
16、作用F F1 1,F F2 2力力力力（2 2）三个力同时作用时）三个力同时作用时）三个力同时作用时）三个力同时作用时 任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩:变形能变形能变形能变形能:桁架：桁架：桁架：桁架：二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理 注意注意注意注意:上式中上式中上式中上式中 应看成广义位移应看成广义位移应看成广义位移应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相把单位力看成与广义位移相对应的广义力对应的广义力对应的广义力对应的广义力.三、使用莫尔定理的注意事项三、使用
17、莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项 （5 5）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构）莫尔积分必须遍及整个结构.（1 1）MM(x x)：结构在原载荷下的内力结构在原载荷下的内力结构在原载荷下的内力结构在原载荷下的内力;（3 3）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲必须为功的量纲必须为功的量纲必须为功的量纲;（2 2）去掉主动力去掉主动力去掉主动力去掉主动力,在所求在所求在所求在所求 广义位移点广义位移点广义
18、位移点广义位移点,沿所求沿所求沿所求沿所求广义位广义位广义位广义位移的方向加广义单位力时移的方向加广义单位力时移的方向加广义单位力时移的方向加广义单位力时,结构产生的内力结构产生的内力结构产生的内力结构产生的内力;MM （4 4）与与与与MM(x x)的坐标系必须一致的坐标系必须一致的坐标系必须一致的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由每段杆的坐标系可自由每段杆的坐标系可自由每段杆的坐标系可自由建立建立建立建立;MM(x x)2 1 3 设弹性结构在支座的约束下无设弹性结构在支座的约束下无设弹性结构在支座的约束下无设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移任何刚性位移任何刚性位移任何刚性位移.作用
19、有外力作用有外力作用有外力作用有外力:F F1 1,F F2 2,F Fi i ,相应的位移为：相应的位移为：相应的位移为：相应的位移为：1 1,2 2,i i ,9-5 卡氏定理卡氏定理F1F2F3 结构的变形能结构的变形能结构的变形能结构的变形能 只给只给只给只给 F Fi i 一个增量一个增量一个增量一个增量 F Fi i .引起所有力的作用点沿力方向的位移引起所有力的作用点沿力方向的位移引起所有力的作用点沿力方向的位移引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为增量为增量为增量为 2 1 3F1F2F3 在作用在作用在作用在作用 F Fi i 的过程中的过程中的过程中的过程中,F Fi i
20、完成完成完成完成的功为的功为的功为的功为 原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为 结构应变能的增量为结构应变能的增量为结构应变能的增量为结构应变能的增量为 如果把原来的力看作第一组力如果把原来的力看作第一组力如果把原来的力看作第一组力如果把原来的力看作第一组力,而把而把而把而把 F Fi i 看作第二组力看作第二组力看作第二组力看作第二组力.根椐互等定理根椐互等定理根椐互等定理根椐互等定理略去高阶微量略去高阶微量略去高阶微量略去高阶微量或者或者或者或者 当当当当 F Fi i 趋于零趋于零趋于零趋于零时时时时,上式为上式为上式为上式为 这就是卡
21、氏第二定理这就是卡氏第二定理这就是卡氏第二定理这就是卡氏第二定理（CastiglianosCastiglianos Second Theorem)Second Theorem)（1 1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体）卡氏第二定理只适用于线性弹性体）卡氏第二定理只适用于线性弹性体）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明说明说明说明 ：（2 2）F Fi i 为广义力为广义力为广义力为广义力，i i为相应的位移为相应的位移为相应的位移为相应的位移一个力一个力一个力一个力一个力偶一个力偶一个力偶一个力偶一对力一对力一对力一对力一对力偶一对力偶一对力偶一对力偶一个一个一个一个线位移线位移线位移线位移一个
22、一个一个一个角位移角位移角位移角位移相对线位移相对线位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移相对角位移相对角位移（3 3）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用 （a a）轴向拉、压轴向拉、压轴向拉、压轴向拉、压 （b b）扭转扭转扭转扭转 （c c）弯曲弯曲弯曲弯曲（4 4）平面桁架平面桁架平面桁架平面桁架（5 5）组合变形组合变形组合变形组合变形9-6 计算计算莫尔积分的图乘法莫尔积分的图乘法 在等直杆的情况下在等直杆的情况下在等直杆的情况下在等直杆的情况下,莫尔积莫尔积莫尔积莫尔积分中的分中的分中的分中的EIEI,GIGIP P,EAEA为常量
23、为常量为常量为常量,可提可提可提可提到积分号外面到积分号外面到积分号外面到积分号外面,只需计算只需计算只需计算只需计算:因为因为因为因为 是由单位力或单是由单位力或单是由单位力或单是由单位力或单位力偶引起的弯矩位力偶引起的弯矩位力偶引起的弯矩位力偶引起的弯矩,故沿杆长方故沿杆长方故沿杆长方故沿杆长方向的向的向的向的 图一般是由直线或折图一般是由直线或折图一般是由直线或折图一般是由直线或折线组成线组成线组成线组成.MM(x x)图一般是曲线图一般是曲线图一般是曲线图一般是曲线.MM(x x)MM(x x)ldxxCxCMM(x x)MM(x x)MMC CMMxCCM(x)xxl 设在杆长为设在
24、杆长为设在杆长为设在杆长为 l l 的一段内的一段内的一段内的一段内MM(x x)图是图是图是图是曲线曲线曲线曲线设直线方程是设直线方程是设直线方程是设直线方程是MM(x x)是直线是直线是直线是直线,为为为为 l l 段内图段内图段内图段内图 MM(x x)的面积的面积的面积的面积 M(x)xlxxCCC C 为为为为图图图图MM(x x)的形心的形心的形心的形心,x xC C为其为其为其为其坐标坐标坐标坐标为图为图为图为图MM(x x)对对对对 y y 轴坐标的静矩轴坐标的静矩轴坐标的静矩轴坐标的静矩是和是和是和是和 MM(x x)图的形心对应处的图的形心对应处的图的形心对应处的图的形心对
25、应处的MM(x x)的值的值的值的值.M(x)xlxxcC 对于等直杆有对于等直杆有对于等直杆有对于等直杆有 即积分可用即积分可用即积分可用即积分可用MM(x x)图的面积图的面积图的面积图的面积 和与和与和与和与MM(x x)图形心图形心图形心图形心C C对应的对应的对应的对应的 的乘积来代替的乘积来代替的乘积来代替的乘积来代替MMC C 当当当当MM图为正弯矩时图为正弯矩时图为正弯矩时图为正弯矩时,应代以正号应代以正号应代以正号应代以正号.当当当当MM图为负弯矩时图为负弯矩时图为负弯矩时图为负弯矩时,应代以负号应代以负号应代以负号应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号
26、也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号.MMC Cb几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形三角形三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线二次抛物线二次抛物线lh顶点顶点cN N 次抛物线次抛物线次抛物线次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线二次抛物线二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/4注意注意注意注意 有时有时有时有时MM(x x)图为连续光滑曲线图为连续光滑曲线图为连续光滑曲线图为连续光滑曲线,而而而而 为折线为折线为折线为折线,则应以折线的则应以折线的
27、则应以折线的则应以折线的转折点为界转折点为界转折点为界转折点为界,把积分分成几段把积分分成几段把积分分成几段把积分分成几段,逐段使用图乘法逐段使用图乘法逐段使用图乘法逐段使用图乘法,然后求其和然后求其和然后求其和然后求其和.MM(x x)质点和质点系的虚位移原理质点和质点系的虚位移原理质点和质点系的虚位移原理质点和质点系的虚位移原理:质点和质点系处于平衡状态的质点和质点系处于平衡状态的质点和质点系处于平衡状态的质点和质点系处于平衡状态的充要条件是充要条件是充要条件是充要条件是,作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零作用
28、在其上的力对于虚位移所作的总功为零.9-7 虚功原理虚功原理 一、虚功原理一、虚功原理一、虚功原理一、虚功原理 作用在杆件上的力分为外力和内力作用在杆件上的力分为外力和内力作用在杆件上的力分为外力和内力作用在杆件上的力分为外力和内力 外力外力外力外力:荷载和支座反力荷载和支座反力荷载和支座反力荷载和支座反力 内力内力内力内力:截面上各部分间的相互作用力截面上各部分间的相互作用力截面上各部分间的相互作用力截面上各部分间的相互作用力 对于处于平衡状态的杆件对于处于平衡状态的杆件对于处于平衡状态的杆件对于处于平衡状态的杆件,其外力和内力对任意给定的虚位其外力和内力对任意给定的虚位其外力和内力对任意给
29、定的虚位其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零移所作的总虚功等于零移所作的总虚功等于零移所作的总虚功等于零.外力虚功外力虚功外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功内力虚功内力虚功 杆件的约束条件杆件的约束条件杆件的约束条件杆件的约束条件:（1 1）支座支座支座支座约束条件约束条件约束条件约束条件 （2 2）各单元体变形的几何相容各单元体变形的几何相容各单元体变形的几何相容各单元体变形的几何相容条件条件条件条件 杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满
30、足上述两类约束条件,且为微小量且为微小量且为微小量且为微小量,即符合虚位移的基本要求即符合虚位移的基本要求即符合虚位移的基本要求即符合虚位移的基本要求.所以所以所以所以,可以把杆件由荷载可以把杆件由荷载可以把杆件由荷载可以把杆件由荷载作用产生的微小实位移当作虚位移作用产生的微小实位移当作虚位移作用产生的微小实位移当作虚位移作用产生的微小实位移当作虚位移.梁上荷载梁上荷载梁上荷载梁上荷载:F F1 1,F F2 2,F F3 3,F F4 4,R RA A,R RB B 给梁任一虚位移给梁任一虚位移给梁任一虚位移给梁任一虚位移,荷载作用荷载作用荷载作用荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移点沿其作用
31、方向的相应虚位移点沿其作用方向的相应虚位移点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为（支座处没有虚位移）为（支座处没有虚位移）为（支座处没有虚位移）为 1 1,2 2,3 3,4 4（1 1）梁的外力虚功梁的外力虚功梁的外力虚功梁的外力虚功 1 2 3 4AlBF4F1F2F3RARB 外力虚功为外力虚功为外力虚功为外力虚功为（2 2）梁的内力虚功梁的内力虚功梁的内力虚功梁的内力虚功 弯矩虚功弯矩虚功弯矩虚功弯矩虚功dx（受拉）（受拉）（受拉）（受拉）MM+dMF4F1F2F3RAAlRBBdxFSMFS+dFSM+dMdxdx剪力虚功剪力虚功剪力虚功剪力虚功F4F1F2F3RAAlRB
32、BdxdxFSMFS+dFSM+dM（1 1）该微段的外力虚功该微段的外力虚功该微段的外力虚功该微段的外力虚功 MM,F FS S应看作该微段的外力应看作该微段的外力应看作该微段的外力应看作该微段的外力该微段的外力虚功为（略去二阶小量）该微段的外力虚功为（略去二阶小量）该微段的外力虚功为（略去二阶小量）该微段的外力虚功为（略去二阶小量）（2 2）该微段的内力虚功）该微段的内力虚功）该微段的内力虚功）该微段的内力虚功 d dWWi i由该微段的虚位移原理由该微段的虚位移原理由该微段的虚位移原理由该微段的虚位移原理（3 3）梁的梁的梁的梁的内力虚功内力虚功内力虚功内力虚功梁的虚位移原理为梁的虚位移
33、原理为梁的虚位移原理为梁的虚位移原理为 若横截面上不仅有弯矩若横截面上不仅有弯矩若横截面上不仅有弯矩若横截面上不仅有弯矩 MM 和剪力和剪力和剪力和剪力F FS S,还有轴力还有轴力还有轴力还有轴力F FN N和扭矩和扭矩和扭矩和扭矩T T,则则则则杆的虚位移原理为杆的虚位移原理为杆的虚位移原理为杆的虚位移原理为 （a a）i i 为为为为 F Fi i 力作用点沿力作用点沿力作用点沿力作用点沿F Fi i方向的相应虚位移方向的相应虚位移方向的相应虚位移方向的相应虚位移,d d ,d,d ,d,d ,d d 分别为与弯矩分别为与弯矩分别为与弯矩分别为与弯矩MM,剪力剪力剪力剪力F FS S,轴力轴力轴力轴力F FN N 和扭矩和扭矩和扭矩和扭矩T T相对相对相对相对应虚位移；应虚位移；应虚位移；应虚位移；（b b）虚位移原理既不限定于线性问题虚位移原理既不限定于线性问题虚位移原理既不限定于线性问题虚位移原理既不限定于线性问题,也不限定于弹性问题也不限定于弹性问题也不限定于弹性问题也不限定于弹性问题.