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1、第八章第八章 能量法能量法一、杆件的应变能一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)三、卡氏定理三、卡氏定理能量法能量法四、互等定理四、互等定理五、虚功原理五、虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法六、超静定问题六、超静定问题 力法力法七、冲击应力七、冲击应力2022/12/221材料力学求解弹性体系求解弹性体系(如杆件如杆件)的变形可采用的方法：的变形可采用的方法：1 1、分析法分析法/解析法解析法平衡方程平衡方程静力平衡关系静力平衡关系几何方程几何方程变形变形几何关系几何关系物理方程物理方程应力应变关系应力应变关系 利用利用应变能应变能的概念，解
2、决与弹性体系变形有关的问题的的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。方法。在求解在求解组合变形组合变形、曲杆或杆系曲杆或杆系以及以及超静定问题超静定问题时，能量时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。能量法能量法/基本概念基本概念2 2、能量法、能量法2022/12/222材料力学有关的几个基本概念有关的几个基本概念 3 3、能量守恒：、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 在数值上与外力所作的功在数值
3、上与外力所作的功 W 相等相等 UW1 1、外力功、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功在与它相对应的位移上所作的功W。2 2、应变能、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为被储存的能量即为应变能应变能或或变形能变形能 U。能量法能量法/基本概念基本概念2022/12/223材料力学一、杆件产生基本变形时的应变能一、杆件产生基本变形时的应变能1 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩FL LOB LFA能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变
4、能式中式中 轴力，轴力，A 横截面面积横截面面积2022/12/224材料力学由拉压杆件组成的杆系的应变能：由拉压杆件组成的杆系的应变能：F12345 结构中第结构中第i杆的轴力杆的轴力 Li结构中第结构中第i杆的长度，杆的长度，Ai 第第i杆的截面面积杆的截面面积式中式中 n杆系中杆件的总数。杆系中杆件的总数。能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022/12/225材料力学取微段研究取微段研究：微段的应变能微段的应变能：整个杆件的整个杆件的拉压应变能拉压应变能受力复杂杆受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化)的应变能的应变能qLdxdx(dx)x能量法能量法/杆件的应变能杆件的
5、应变能2022/12/226材料力学2 2、圆截面杆的扭转、圆截面杆的扭转mLmOBmA圆截面杆的应变能圆截面杆的应变能式中式中 T 圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022/12/227材料力学受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量)d dxTT整个杆的整个杆的扭转应变能扭转应变能为为可取微段分析：可取微段分析：能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022/12/228材料力学3 3、平面弯曲、平面弯曲纯弯曲梁的应变能：纯弯曲梁的应变能：式中式中 M
6、 梁横截面上的弯矩；梁横截面上的弯矩；I 梁横截面对中性轴的惯性矩梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022/12/229材料力学横力弯曲梁横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能的应变能整梁的整梁的弯曲应变能弯曲应变能按微段分析：按微段分析：和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022/12/2210材料力学4 4、剪切、剪切纯剪切时微段梁的应变能：纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A 由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数
7、由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此因此微段梁的应变能为：微段梁的应变能为：能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022/12/2211材料力学整个梁的整个梁的剪切应变能剪切应变能：式中式中(b为截面的宽度，为截面的宽度，S为截面对中性为截面对中性轴的静矩轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。应变能，通常忽略不计。(1)k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定:矩形截面矩形截面:k=1.2,圆截面圆截面:k=10/9,圆环形截面圆环形截面:k=2能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能2022
8、/12/2212材料力学F例：矩形截面悬臂梁，长例：矩形截面悬臂梁，长L，截，截面高面高h，宽，宽b，k=1.2。细长梁细长梁整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能：得得解：解：2022/12/2213材料力学二、应变能的普遍表达式二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)FOB A基本变形下应变能的一般表达式：基本变形下应变能的一般表达式：式中式中F广义力广义力(力或力偶力或力偶)；广义位移广义位移(线位移或角位移线位移或角位移)且且 F=C (力与
9、位移成线性关系力与位移成线性关系)表明：表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。的最终值，与加载的过程无关。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/12/2214材料力学应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)的导出的导出 设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力，在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为，(i=1,2,n)。则物体的应变能为：则物体的应变能为：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/12/2215材料
10、力学特别注意点特别注意点特别注意点特别注意点：广义力广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，可以是一个力，也可以是一个力偶，或者是一对力，或者是一对力偶或者是一对力，或者是一对力偶。在所有力共同作用下在所有力共同作用下(因因 与全部作用力有关与全部作用力有关)，与广义力与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。相对应的沿着力的方向的广义位移。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/12/2216材料力学F 力：力：F，位移：位移：力：力：m，位移：位移：FFLL+例子例子例子例子力：力：F，位移：位移：力：力：m，位移：位移：mm m 能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/1
11、2/2217材料力学关于应变能计算的讨论关于应变能计算的讨论关于应变能计算的讨论关于应变能计算的讨论1适用线弹性材料在小变形下的应变能的计算适用线弹性材料在小变形下的应变能的计算2应变能可以通过应变能可以通过外力功外力功计算，也可以通过计算，也可以通过计算计算杆件杆件微段上的微段上的内力功，内力功，然后积分求得然后积分求得3 故叠加原理故叠加原理 在应变能计算中不能使用在应变能计算中不能使用。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/12/2218材料力学4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理M(x)只产
12、生弯曲转角FN(x)只产生轴向线位移T(x)只产生扭转角不计FS 产生的应变能2022/12/2219材料力学例例1 1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的的 竖直位移。已知竖直位移。已知E=200=200GPa,F=57.6=57.6kN。斜杆斜杆AB由两根由两根 50 50 5mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆，横杆AC由两根由两根No.10No.10槽槽钢组成，每根槽钢钢组成，每根槽钢的横截面面积的横截面面积 。设各杆自重可以不计。设各杆自重可以不计。F30ACB2m能量法能量法/克拉贝隆原理
13、克拉贝隆原理2022/12/2220材料力学解解:FA由节点由节点A的平衡条件求得的平衡条件求得AB杆的内力：杆的内力：AC杆的内力为：杆的内力为：杆系的应变能：杆系的应变能：设节点设节点A的竖直位移为的竖直位移为 ，则由，则由 得：得：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/12/2221材料力学例例2 2 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力已知。在自由端受集中力F 和集和集中力偶中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响种不同的加载次序，略去剪力的影响
14、。解解：(1)(1)集中力集中力F和集中力偶和集中力偶m同时由同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。零开始按比例逐渐增加至最终值。梁自由端的转角为：梁自由端的转角为：(方向与方向与m一致一致)F mL自由端的垂直位移为：自由端的垂直位移为：梁的应变能梁的应变能能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理2022/12/2222材料力学(2)(2)先作用先作用F,加载时做功为加载时做功为：再加力偶矩再加力偶矩m，外力所作的功为外力所作的功为：梁的总应变能：梁的总应变能：从这两种不同的加载次序来看，从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。态和
15、终态有关，而与加载次序无关。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL2022/12/2223材料力学(3)(3)AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入应变能的内力表达式：代入应变能的内力表达式：弯矩方程：弯矩方程：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL2022/12/2224材料力学从结果中可以看到：第一、三项分别为从结果中可以看到：第一、三项分别为F和和m单独作用时的单独作用时的应变能，应变能，故故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和载荷单独作用时所引起的应
16、变能之和。其原因是这两个载。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表移上做了功（结果中的第二项即代表F和和m共同作用时在相共同作用时在相互影响下所做的功）。互影响下所做的功）。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL2022/12/2225材料力学三、卡氏定理三、卡氏定理下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力,在支承约束在支承约束(i=1,2,n)。可以证明：可以证明：能量法能量法/卡氏定理卡氏定理卡氏第二定理
17、卡氏第二定理2022/12/2226材料力学证明：证明：再加增量再加增量 ，则应变能，则应变能U的增量的增量dU为为梁的总应变能为梁的总应变能为：(a)考虑两种不同的加载次序。考虑两种不同的加载次序。(1)先加先加 ，此时，此时弹性体的应变能为弹性体的应变能为U：能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2227材料力学(a)在相应的位移在相应的位移 上所作的功上所作的功(2)先加先加 ，然后再加，然后再加 ，此时弹性体的应变能，此时弹性体的应变能 由三部分组成：由三部分组成：梁的总应变能为梁的总应变能为：(b)(b)在相应位移在相应位移 上所作的功：上所作的功：(c)原先作用在梁上的原先
18、作用在梁上的 对位移对位移 所作的功所作的功能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2228材料力学根据弹性体的应变能只决定于外力的最终值，而与加载的次序根据弹性体的应变能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关无关。(a)、(b)两式相等：两式相等：略去二阶微量，化简后得：略去二阶微量，化简后得：注意：注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用性关系时，才能应用卡氏第二定理卡氏第二定理。应用卡氏定理求出应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与其相应的广义为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示
19、方向相反。力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2229材料力学另有：另有：卡氏第一定理卡氏第一定理：卡氏第一定理卡氏第一定理适用于任意可变形固体，证明略。适用于任意可变形固体，证明略。表明：线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。卡氏第二定理卡氏第二定理表明：结构的应变能，对于结构上与某一广义外力相应的广义位移的变化率，等于该广义外力的值。2022/12/2230材料力学卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)(1)横力弯曲的梁：横力弯曲的梁：对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影
20、响，则也可应对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应用上式计算变形用上式计算变形。(2)(2)小曲率的平面曲杆小曲率的平面曲杆式中式中s 沿曲杆轴线的曲线长度沿曲杆轴线的曲线长度。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2231材料力学(3)(3)桁架桁架(4)(4)产生拉产生拉(压压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆问题：问题：上述定理适用于求力上述定理适用于求力 作用点处的位移，若要求弹性作用点处的位移，若要求弹性体上任一点（无体上任一点（无Fi力作用在其上）的位移时，怎么做？力作用在其上）的位移时，怎么做？能量法能量法/卡氏定理卡氏
21、定理2022/12/2232材料力学 在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力 或集中力偶或集中力偶 ；或一对力或一对力偶，此时应变能为：；或一对力或一对力偶，此时应变能为：或或若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，则表示与虚加力的方向相反。则表示与虚加力的方向相反。附加载荷法附加载荷法由卡氏定理得：由卡氏定理得：能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2233材料力学例例3 3 图示水平放置的直角折杆，各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定
22、理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。解：解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为lCBAFlxxzyO（0 x l），（0y l），BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为2022/12/2234材料力学lCBAFlx 故A 端的铅垂位移为（）2022/12/2235材料力学例例3 3 等截面杆等截面杆ABC,由直径为由直径为D的半圆曲杆的半圆曲杆AB与长度为与长度为L的竖直的竖直 杆杆BC组成。在组成。在A端受到一个竖直向下的力端受到一个竖直向下的力F作用。设曲杆作用。设曲杆 与直杆的抗弯刚度均为与直杆的抗弯刚度均为EI，不计剪力和轴力对变形的影响不计剪力和轴力对变形的
23、影响.试用卡氏定理求试用卡氏定理求A端的竖直位移端的竖直位移 、水平位移、水平位移 及截及截 面面A的角位移的角位移 。解解：在：在A A端虚加集中力端虚加集中力 和集中力和集中力 偶偶 。利用卡氏定理求解。利用卡氏定理求解。LFD d d x 分两段积分。在曲杆部分取角度分两段积分。在曲杆部分取角度 作为自变量，直杆部分取位置坐标作为自变量，直杆部分取位置坐标x作为自变量。列出作为自变量。列出AB段和段和BC段的弯段的弯矩方程：矩方程：ABC能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2236材料力学AB段段BC段段于是于是LFD d d xABC能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/1
24、2/2237材料力学将以上各式代入卡氏定理，得：将以上各式代入卡氏定理，得：(正值，与正值，与F力方向一致力方向一致)A点的垂直位移点的垂直位移：A点的水平位移点的水平位移：能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2238材料力学截面截面A的转角的转角：（负值，与虚加力方向相反负值，与虚加力方向相反）LFD d d xABC能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2239材料力学例例5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求为常量，不计轴力和剪力影响，求 B、D。解：解：1.求求 B(1)列弯矩方程，并求导列弯矩方程，并求导 DC段：段：CB段：段：BA段：段：能量
25、法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2240材料力学(2)求求 B例例5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响为常量，不计轴力和剪力影响，求求 B、D。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2241材料力学例例5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求为常量，不计轴力和剪力影响，求 B、D。(3)求求 D能量法能量法/卡氏定理卡氏定理2022/12/2242材料力学在在Fj作用下引起的作用下引起的Fi方向上的位移方向上的位移四、功的互等定理四、功的互等定理 位移互等定理位移互等定理 功的互等定理功的互等定理 位移互等定理位移互等定理是材料力学中的普遍
26、定理，是材料力学中的普遍定理，它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件下，作用在杆件上它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件下，作用在杆件上的不同点的力和位移间相互关系。的不同点的力和位移间相互关系。以图示梁为例证明如下：以图示梁为例证明如下：能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2243材料力学1.先在先在1点作用点作用F1 再在再在2点作用点作用F2 外力功：外力功：外力功：外力功：应变能：应变能：能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2244材料力学2.先在先在2点作用点作用F2 再在再在1点作用点作用F1 外力功：外力功：外力功：外力功：应变能：应变能：能量法能量法/互等
27、定理互等定理2022/12/2245材料力学变形能只取决于力与位移的最终值，变形能只取决于力与位移的最终值，与加载次序无关与加载次序无关 即：即：功的互等定理功的互等定理能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2246材料力学功的互等定理功的互等定理 结构的第一力系在第二力系所引起的弹性结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。引起的弹性位移上所做的功。能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2247材料力学由功的互等定理由功的互等定理 位移互等定理位移互等定理注意：注意：1.上述互
28、等定理对于所有的上述互等定理对于所有的线性结构线性结构都适用。都适用。2.力和位移应理解为力和位移应理解为广义力广义力和和广义位移。广义位移。当当F1=F2=F 时时 （力与位移成线性关系的结构）（力与位移成线性关系的结构）能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2248材料力学例例10 试求图示梁在试求图示梁在Me的跨中挠度的跨中挠度 yC 解：解：1.当当Me作用时作用时(第一力系第一力系)设想在设想在C点作用点作用F(第二力系第二力系)2.由功的互等定理由功的互等定理3.查表查表(附录附录C)能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2249材料力学例例11 已已知知简简支支梁梁在在均均布布载载荷荷 q 作作用用下下，梁梁的的中中点点挠挠度度 。求求梁梁在在中中点点集集中中力力P作作用用下下(见见图图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积。能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2250材料力学解：由功的互等定理解：由功的互等定理能量法能量法/互等定理互等定理2022/12/2251材料力学