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1、第八章第八章 能量法能量法一、杆件的应变能一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理克拉贝隆原理)三、卡氏定理三、卡氏定理四、互等定理四、互等定理五、虚功原理五、虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法六、超静定问题六、超静定问题 力法力法七、冲击应力七、冲击应力1能量法/互等定理上节回顾功的互等定理功的互等定理 结构的第一力系在第二力系所引起的弹性结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。引起的弹性位移上所做的功。2由功的互等定理由功的互等定理 位移互等定理位移互等
2、定理注意：注意：1.上述互等定理对于所有的上述互等定理对于所有的线性结构线性结构都适用。都适用。2.力和位移应理解为力和位移应理解为广义力广义力和和广义位移。广义位移。当当F1=F2=F 时时 （力与位移成线性关系的结构）（力与位移成线性关系的结构）能量法/互等定理上节回顾3能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾1、可能内力,可能位移,虚位移2、虚功原理 在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功4能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾3 3 3 3、单位力法单位力法单位力法单位力法 用途
3、用途用途用途：计算任意点处位移（广义）计算任意点处位移（广义）计算任意点处位移（广义）计算任意点处位移（广义）方法方法方法方法：利用虚功原理利用虚功原理利用虚功原理利用虚功原理 第一步第一步第一步第一步 构造一构造一构造一构造一单位力单位力单位力单位力状态：状态：状态：状态：（1 1）去掉原结构全部载荷（只保留所有杆件）去掉原结构全部载荷（只保留所有杆件）去掉原结构全部载荷（只保留所有杆件）去掉原结构全部载荷（只保留所有杆件 和约束）；和约束）；和约束）；和约束）；（2 2）在所求位移处施加一个对应单位力；）在所求位移处施加一个对应单位力；）在所求位移处施加一个对应单位力；）在所求位移处施加一
4、个对应单位力；（3 3）计算结构只在此单位力作用下各）计算结构只在此单位力作用下各）计算结构只在此单位力作用下各）计算结构只在此单位力作用下各 截面的内力截面的内力截面的内力截面的内力 5能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾 第二步第二步第二步第二步 取原结构的实际位移状态作为单位力取原结构的实际位移状态作为单位力取原结构的实际位移状态作为单位力取原结构的实际位移状态作为单位力 状态的虚位移。状态的虚位移。状态的虚位移。状态的虚位移。原问题原问题实际位移状态作为虚位移实际位移状态作为虚位移K单位力状态单位力状态1K6能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法上节回顾上
5、节回顾n nd(l),d,d 原状态，真实载荷引起原状态，真实载荷引起n n适用：线性、非线性结构。适用：线性、非线性结构。实际位移状态实际位移状态单位力状态单位力状态1K据虚功原理据虚功原理单位力引起的内力单位力引起的内力7能量法/虚功原理 单位力法 图乘法上节回顾4、Mohr积分积分85、图乘法、图乘法 莫尔积分转化为外载荷引莫尔积分转化为外载荷引起的弯矩图的面积和其形心对起的弯矩图的面积和其形心对应的单位载荷弯矩的乘积。应的单位载荷弯矩的乘积。xcxdxoxCxax+b 利用有关图形的乘法运算来计算积分的方法利用有关图形的乘法运算来计算积分的方法,称为称为图乘法图乘法或或图形互乘法图形互
6、乘法。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法上节回顾上节回顾9图乘法注意事项图乘法注意事项:1、图乘法是莫尔积分的简便计算方法、图乘法是莫尔积分的简便计算方法,因此它的适应范围和因此它的适应范围和莫尔积分类似莫尔积分类似。2、图乘法不仅仅适用于弯矩的、图乘法不仅仅适用于弯矩的Mohr积分积分,也同样适用于也同样适用于轴力和扭矩的轴力和扭矩的Mohr积分计算。积分计算。3、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样,图乘法图乘法得到的代数值取负号得到的代数值取负号,反之为正反之为正。4、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则
7、、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。图乘法。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法上节回顾上节回顾10ABCqABC1C1C2+例：如图简支梁受均布载荷作用，求跨中例：如图简支梁受均布载荷作用，求跨中C点的挠度。点的挠度。解：先作出外力弯矩图。解：先作出外力弯矩图。要求跨中要求跨中C点挠度，就在点挠度，就在C点施加横向的单位集中力。点施加横向的单位集中力。然后作出单位集中力的弯矩图。然后作出单位集中力的弯矩图。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单
8、位力法单位力法 图乘法图乘法11C1C2+由于单位力弯矩图是折线，所以应该分段使用图形互乘法。由于单位力弯矩图是折线，所以应该分段使用图形互乘法。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法12ACBFaa1-2FaFa1W W3W W2W W2a5a/33a/22a/3例：求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。例：求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。解：解：使用图乘法：使用图乘法：作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。由于要计算自由端的挠度，应用单位力法，在梁的自由由于要计算自由端的挠度，应用单位力法，在梁的自由端施加横向的单位集中力。端施加横向的单
9、位集中力。作出梁施加单位力时的弯矩图。作出梁施加单位力时的弯矩图。能量法/虚功原理 单位力法 图乘法13ACBFaa1-2FaFa1W W3W W2W W2a5a/33a/22a/3由于是变截面梁，由于是变截面梁，AC段和段和BC段弯曲刚度不一样，要分段应用图段弯曲刚度不一样，要分段应用图乘法。乘法。又因为又因为AC的外力弯矩图为梯形，可以把它分解为三角形和矩形的外力弯矩图为梯形，可以把它分解为三角形和矩形的叠加，分别应用图形互乘法，所以弯矩图分为三部分：的叠加，分别应用图形互乘法，所以弯矩图分为三部分：能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法14根据图乘法，自由端的挠度
10、为：根据图乘法，自由端的挠度为：ACBFaa1-2FaFa1W W3W W2W W2a5a/33a/22a/3能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法15ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2例例 如图所示平面直角刚架，其弯曲刚度如图所示平面直角刚架，其弯曲刚度EI为常数。试求截面为常数。试求截面C的挠度和转角。的挠度和转角。解：应用图形互乘法，首先作出外力弯矩图。解：应用图形互乘法，首先作出外力弯矩图。为求为求C截面转角，在截面转角，在C截面施加单位力偶。作出截面施加单位力偶。作出单位力偶的弯矩图。单位力偶的弯矩图。为求为求C截面挠度，在截面挠度，在C
11、截面施加单位力。作出截面施加单位力。作出单位力偶的弯矩图。单位力偶的弯矩图。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法16ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2形心对应的单位力弯矩分别如图所示。形心对应的单位力弯矩分别如图所示。则有：则有：挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。能量法能量法/虚功原理虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法17第八章第八章 能量法能量法六、超静定问题六、超静定问题 力法力法18能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法1 1、超静定结构、超静定结构 静不定次数静不定次数 静定基静定
12、基。一个结构一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定力平衡条件唯一确定,就称为就称为静定结构静定结构。一个结构一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定静力平衡条件唯一确定,就称为就称为超静定结构超静定结构(内力超静定内力超静定,外力超静定外力超静定)。超静定次数超静定次数超静定结构中多余约束的个数。超静定结构中多余约束的个数。静定基静定基去除多余约束后得到的静定结构。去除多余约束后得到的静定结构。192、超静定结构变形的一般求解方法能量法/超静定问题 力法(
13、2)建立静定基的静力建立静定基的静力平衡方程平衡方程；(3)由解除约束处变形协调条件建立由解除约束处变形协调条件建立几何方程几何方程；(3)应用变形与内力之间的物理关系代入应用变形与内力之间的物理关系代入 几何方程，得到几何方程，得到补充方程补充方程；(4)补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知 反力。反力。(1)解除多余约束，得静定基，在解除约束处用解除多余约束，得静定基，在解除约束处用 未知反力代替原约束的作用；未知反力代替原约束的作用；203 3、力法正则方程、力法正则方程 求解思路和前面求解超静定结构变形的方法类似求解思路和前面求解超静定结
14、构变形的方法类似,只是在求解静定基的变形时使用单位力法和图形互乘只是在求解静定基的变形时使用单位力法和图形互乘法。法。求解过程求解过程(1).(1).判定超静定次数判定超静定次数(2).(2).解除多余约束解除多余约束,构造静定基构造静定基(3).(3).由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形(4).(4).补充变形协调方程求解多余约束力补充变形协调方程求解多余约束力能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法21ABFCABFX1ABFX1例例 如图超静定梁如图超静定梁,EI为常数为常数,试求试求B点的约束反力。点的约束反力。解解:(1)(1)判断超静定
15、次数判断超静定次数:一次超静定一次超静定!(2)(2)解除多余约束解除多余约束,构造静定基构造静定基:B.B.解除解除B B点的可动铰支座点的可动铰支座,补充横向集中反力补充横向集中反力A.A.解除解除A A点固定端的转动约束变为固定铰支座点固定端的转动约束变为固定铰支座,补充反力偶作用补充反力偶作用采用方案采用方案B B。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法22ABFX1+-cABFC(3)(3)用单位力法求解静定基的变形用单位力法求解静定基的变形由于要在由于要在B B出建立几何协调方程出建立几何协调方程,所以所以需求需求B B点的横向挠度点的横向挠度,故在故在B B点施加横点施加横
16、向单位力向单位力(假设与支反力方向相同假设与支反力方向相同)外载荷外载荷=力力F+F+支座反力支座反力X X1 1单位力单位力(与支座反力与支座反力X X1 1方向相同方向相同,大小为大小为1)1)图形互乘法图形互乘法作弯矩图作弯矩图:由于单位力和支座反力方向相同由于单位力和支座反力方向相同,同为集中同为集中力力,所以弯矩图相似所以弯矩图相似,仅仅数值相差仅仅数值相差X X1 1倍。倍。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法23ABFX1+-cABFC(4)(4)由图乘法建立变形协调方程由图乘法建立变形协调方程单位力和外力单位力和外力F F互乘的结果互乘的结果单位力和支反力力单位力和支反
17、力力X X1 1互乘的结果互乘的结果由于支反力和单位力的弯矩由于支反力和单位力的弯矩(内力内力)图类似图类似,上式可写为上式可写为:其中其中:是单位力和自身互是单位力和自身互乘的结果乘的结果这种以未知力为对象的求解方法称为这种以未知力为对象的求解方法称为力法力法。上式就称为求解超静定问题的上式就称为求解超静定问题的力法正则方程力法正则方程。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法24ABFX1+-cABFC由图形互乘法由图形互乘法:代入代入:得得:对于多次超静定问题有对于多次超静定问题有:能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法25DABCF231aa例：简支梁例：简支梁AB,AB,其
18、跨中作用有横力其跨中作用有横力F,F,因刚度不足因刚度不足,用三根杆加强。用三根杆加强。已知梁的弯曲刚度为已知梁的弯曲刚度为EI,EI,各杆（各杆（1 1，2 2，3 3）的拉压刚度为）的拉压刚度为EA,EA,且且I=AaI=Aa2 2/10/10，求跨中，求跨中C C截面的挠度。截面的挠度。解解：（：（1 1）判断超静定次数。）判断超静定次数。在静定结构的基础上加入三根杆，多加了三个未知内力，由在静定结构的基础上加入三根杆，多加了三个未知内力，由D D点的平衡可得到两个附加平衡方程，所以本问题是一次超静定点的平衡可得到两个附加平衡方程，所以本问题是一次超静定问题。问题。这类超静定是由多余维持
19、平衡所必需的杆件引起的，称为这类超静定是由多余维持平衡所必需的杆件引起的，称为内力内力超静定问题超静定问题。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法26DABCF231aaABCFX1=1Daa（2 2）解除多余杆件约束（断开杆件），得到静定基。）解除多余杆件约束（断开杆件），得到静定基。比如截开比如截开杆件杆件1 1。截开多余杆件是求解内力超静定问题的一般方法。截开多余杆件是求解内力超静定问题的一般方法。变形协调条件是被截开杆件的两个断面的相对位移为零。变形协调条件是被截开杆件的两个断面的相对位移为零。杆件截开后，在杆件截开后，在两个两个断面分别方向相反的单位力。以此为基础应断面分别方向
20、相反的单位力。以此为基础应用单位力法得到的与之对应的位移是两截面的相对位移。用单位力法得到的与之对应的位移是两截面的相对位移。如图，截开杆一，在被截开的两个断面上分别施加单位轴力。如图，截开杆一，在被截开的两个断面上分别施加单位轴力。思考：为什么只需要施加单位轴力？而不需要施加单位剪力和思考：为什么只需要施加单位轴力？而不需要施加单位剪力和单位弯矩。单位弯矩。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法27DABCF231aaABCFX1=1Daa（3 3）由图形互乘法建立几何协调方程求解杆件内力（力法正则）由图形互乘法建立几何协调方程求解杆件内力（力法正则方程）。方程）。物理意义：两断面轴向
21、相对位移为零。物理意义：两断面轴向相对位移为零。由于变形几何协调条件设计轴向变形，所以要考虑杆件由于变形几何协调条件设计轴向变形，所以要考虑杆件1 1，2 2，3 3轴力的贡献。这儿假设忽略轴力的贡献。这儿假设忽略ABAB杆件的轴向变形。杆件的轴向变形。分别作外力分别作外力F和单位力的弯矩图：和单位力的弯矩图：+-能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法28同时考虑同时考虑1 1，2 2，3 3杆的轴力和杆的轴力和ABAB梁的弯矩有：梁的弯矩有：静定基上仅作用有单位力时有：静定基上仅作用有单位力时有：静定基上仅作用有力静定基上仅作用有力F F时：时：又：又：所以有：所以有：能量法能量法/超
22、静定问题超静定问题 力法力法29+-弯矩图互乘有：弯矩图互乘有：将轴力和弯矩互乘结果代入力法正则方程，有：将轴力和弯矩互乘结果代入力法正则方程，有：这样就求得了杆一的内力。这样就求得了杆一的内力。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法30ABCD1杆杆1 1的内力求出后，梁的内力求出后，梁ABAB上的弯矩是力上的弯矩是力F F引起的弯矩和杆引起的弯矩和杆1 1内力引内力引起的弯矩的叠加。起的弯矩的叠加。+-+=为求为求C C点挠度，在点挠度，在C C点处施加单位力（在静定基上，杆点处施加单位力（在静定基上，杆1 1已经等价已经等价为外力为外力X X1 1），得到弯矩图如下。），得到弯矩图
23、如下。-*￥能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法31+-作用在作用在C C点的单位力不引起杆点的单位力不引起杆1 1，2 2，3 3的轴力，将两弯矩图互乘有：的轴力，将两弯矩图互乘有：能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法32利用结构的对称性判断结构内力。利用结构的对称性判断结构内力。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法332baaFFDABCFSAMAFNAMAFSAFSBMBFNBMBFSBFF图图a a所示的是一平面封闭框架，其弯曲刚度为所示的是一平面封闭框架，其弯曲刚度为EIEI，试作其弯矩图。，试作其弯矩图。解：此结构为内力超静定问题。解：此结构为内力超静定问题
24、。由于结构和载荷均对称，由于结构和载荷均对称，可将结构沿可将结构沿ABAB截开。截开。一般来说，截面一般来说，截面A A和和B B处均有处均有轴力，剪力和弯矩三个未知轴力，剪力和弯矩三个未知内力，方向如图所示。内力，方向如图所示。由结构和载荷的对称性有：由结构和载荷的对称性有：MA=MBFX1X1F/2F/2结构由三次超静定转化为一次超静定问题。结构由三次超静定转化为一次超静定问题。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法34111Fa/2FX1X1F/2F/2为求为求M MA A，需要建立，需要建立A A点（或者点（或者B B点）处的几何协调方程，点）处的几何协调方程，同样地，由对称性可
25、知，同样地，由对称性可知，A A点或者点或者B B点的转角都为零。在点的转角都为零。在A A，B B两点分别施加单位集中力偶，如图：两点分别施加单位集中力偶，如图：分别作出框架在力分别作出框架在力F F和集中力偶作用下的和集中力偶作用下的弯矩图：弯矩图：单位力偶作用下的弯矩图单位力偶作用下的弯矩图力力F作用下的弯矩图作用下的弯矩图能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法35Fa/2-Fa2/4(a+b)Fa2/4(a+b)111Fa/2根据力法正则方程：根据力法正则方程：M10MF根据图形互乘法：根据图形互乘法：所以有：所以有：则：则：弯矩图如图所示弯矩图如图所示能量法能量法/超静定问题超
26、静定问题 力法力法36A，B两点有无相对水平位移？如何计算？两点有无相对水平位移？如何计算？FX1X1F/2F/2能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法37解：此结构为超静定结构，解：此结构为超静定结构，由结构对称性：由结构对称性：或或无法由静力平衡求得。无法由静力平衡求得。必须借助几何协调方程。必须借助几何协调方程。解除解除C，D两点的铰支座得到静定基。两点的铰支座得到静定基。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法38T-T112a-aa分别作出静定基在外力偶分别作出静定基在外力偶T T和单位力作用下的扭矩图和和单位力作用下的扭矩图和弯矩图。弯矩图。由力法正则方程：由力法正则方程
27、：其余强度计算略。其余强度计算略。由图形互乘法有：由图形互乘法有：代入力法正则方程有：代入力法正则方程有：能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法39qa2/2qa2/2aa1a1解：为两次超静定问题。解除解：为两次超静定问题。解除A A点的约束，点的约束，并作用水平和铅垂的单位集中力。并作用水平和铅垂的单位集中力。在静定基上分别作均布力和两个单位集中在静定基上分别作均布力和两个单位集中力的弯矩图如下图所示。力的弯矩图如下图所示。令水平力为令水平力为第一第一个未知反力，铅垂力为第二个。个未知反力，铅垂力为第二个。能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法40根据图形互乘法有：根据图形互乘
28、法有：代入力法正则方程：代入力法正则方程：有：有：能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法41思考思考:1.该方程有什么物理意义？该方程有什么物理意义？能量法能量法/超静定问题超静定问题 力法力法力法正则方程：力法正则方程：2.为什么有为什么有42第八章第八章 能量法能量法七、冲击应力七、冲击应力43能量法/冲击应力一、冲击载荷 冲击应力 应力波当载荷以极短的时间当载荷以极短的时间(一般在一般在ms级级)作用在结构上时作用在结构上时,这种载荷称为这种载荷称为冲击载荷冲击载荷。结构在冲击载荷下产生的应力叫冲击应力。结构在冲击载荷下产生的应力叫冲击应力。冲击应力一般是以波冲击应力一般是以波的形
29、式由冲击载荷作用点向结构其它点传播。这种波叫的形式由冲击载荷作用点向结构其它点传播。这种波叫应力波应力波。跟结构的静平衡不同的是，结构在冲击载荷作用下的平衡一般要跟结构的静平衡不同的是，结构在冲击载荷作用下的平衡一般要考虑各个质量点的惯性力。考虑各个质量点的惯性力。比如说，用铁锤锤钉子，船身撞击桥墩，传动轴紧急制动等。比如说，用铁锤锤钉子，船身撞击桥墩，传动轴紧急制动等。44二、材料力学分析结构冲击应力的基本假设二、材料力学分析结构冲击应力的基本假设材料力学在对结构进行冲击分析时，一般不考虑应力波的传播等材料力学在对结构进行冲击分析时，一般不考虑应力波的传播等现象，而是基于一些假设对结构的冲击
30、应力进行整体评估，得到现象，而是基于一些假设对结构的冲击应力进行整体评估，得到比较实用的结果。比较实用的结果。1 1、将撞击物视为刚体，忽略被撞结构的重量，撞击后两者连成、将撞击物视为刚体，忽略被撞结构的重量，撞击后两者连成一体；一体；2 2、撞击的应力立即传到结构各个部分，即应力波的速度无穷大；、撞击的应力立即传到结构各个部分，即应力波的速度无穷大；3 3、撞击时动能完全转化为势能，不考虑能量的耗散。、撞击时动能完全转化为势能，不考虑能量的耗散。三、材料力学分析结构冲击应力的基本方法三、材料力学分析结构冲击应力的基本方法能量法能量法:考虑撞击物的动能考虑撞击物的动能,并认为它完全转化为被撞结
31、构的并认为它完全转化为被撞结构的弹性能。弹性能。能量法/冲击应力45图图a,ba,b分别表示不同支撑方式的钢梁，有重量均为分别表示不同支撑方式的钢梁，有重量均为P P的物体自高的物体自高度度H H自由落下至梁自由落下至梁ABAB的跨中的跨中C C点，支撑弹簧的刚度系数点，支撑弹簧的刚度系数k=100N/m,k=100N/m,l=3m,H=50mm,P=1kN,l=3m,H=50mm,P=1kN,钢梁的惯性矩钢梁的惯性矩I=3.40*10I=3.40*107 7mmmm4 4,截面系数截面系数（模量）（模量）W=3.09W=3.0910105 5mmmm3 3,弹性模量弹性模量E=200Gpa,
32、E=200Gpa,试求两种情况下试求两种情况下钢梁的冲击应力。钢梁的冲击应力。PABC（a)HPABC（b)H能量法/冲击应力46PABC（a)a)H解：对于图（解：对于图（a a），假设重物与梁撞击后两者连成一体，梁的变），假设重物与梁撞击后两者连成一体，梁的变形保持为线弹性，当梁的挠度达到最大值时，撞击物的重力势能形保持为线弹性，当梁的挠度达到最大值时，撞击物的重力势能全部转化为梁的弹性能。相应的冲击载荷和动位移分别为：全部转化为梁的弹性能。相应的冲击载荷和动位移分别为：则根据能量守恒有：则根据能量守恒有：设冲击载荷与动位移之间满足静力设冲击载荷与动位移之间满足静力平衡关系。则根据简支梁跨
33、中受横向集中力平衡关系。则根据简支梁跨中受横向集中力时的挠度求解公式有：时的挠度求解公式有：所以：所以：代入上式有：代入上式有：即：即：能量法能量法/冲击应力冲击应力47简支梁受集中力简支梁受集中力P P作用时的静挠度作用时的静挠度(仅考虑重物的重量仅考虑重物的重量)为为:则代入则代入中有中有:所以所以:称为称为动载系数动载系数。冲击载荷和冲击应力可写为：冲击载荷和冲击应力可写为：将本题已知数值代入将本题已知数值代入,则则C截面的静挠度和动载荷系数分别为截面的静挠度和动载荷系数分别为:能量法能量法/冲击应力冲击应力48静载荷作用下梁的最大弯曲正应力为静载荷作用下梁的最大弯曲正应力为:则最大冲击
34、应力为则最大冲击应力为:当当H=0H=0时时,即把重物突然放在梁上时即把重物突然放在梁上时,有有:能量法能量法/冲击应力冲击应力49对于图对于图(b)(b)所示的情况所示的情况,截面截面C C的静挠度应该包括弹簧的静变形的静挠度应该包括弹簧的静变形,其值和动载系数分别为其值和动载系数分别为:PABC（b)b)H所以采用弹簧支座是减小冲击所以采用弹簧支座是减小冲击应力的有效方法。应力的有效方法。能量法能量法/冲击应力冲击应力50对于自由落体的物体撞击线弹性体时，前面的公式均适用。对于自由落体的物体撞击线弹性体时，前面的公式均适用。能量法能量法/冲击应力冲击应力51当重物当重物P P以速度以速度v
35、水平撞击弹性体时，有：水平撞击弹性体时，有：能量法能量法/冲击应力冲击应力推导过程略。推导过程略。52解：用解：用1010秒制动时有：秒制动时有：飞轮角加速度为飞轮角加速度为:飞轮转动惯量为飞轮转动惯量为:所以扭矩为所以扭矩为:mNsradNmsJT.61.3/257.187.222=*=w w能量法能量法/冲击应力冲击应力53则轴内最大切应力为则轴内最大切应力为:()MPammNWTp147.005.0.61.3163max=p pt t当飞轮紧急制动时有当飞轮紧急制动时有,飞轮的动能全部飞轮的动能全部转化为轴的应变能转化为轴的应变能:两种制动方式轴内的最大切应力可以相差两种制动方式轴内的最
36、大切应力可以相差1000倍以上倍以上!能量法能量法/冲击应力冲击应力54本章小结本章小结一、杆件的应变能一、杆件的应变能 克拉贝隆原理克拉贝隆原理应变能的求法应变能的求法:1 1、外力功、外力功线弹性结构线弹性结构(载荷载荷-位移成线性关系位移成线性关系):):上式是针对单一的广义力和广义位移的上式是针对单一的广义力和广义位移的,如果线弹性体上作用如果线弹性体上作用有多个广义力和广义位移有多个广义力和广义位移,则外力功和弹性体储存的内能可以则外力功和弹性体储存的内能可以写为写为:这就是这就是克拉贝隆原理克拉贝隆原理,适用于线弹性结构适用于线弹性结构。55本章小结本章小结2 2、应变能的内力功求
37、法。、应变能的内力功求法。优点：不用计算外力作用点的位移。优点：不用计算外力作用点的位移。缺点：一般只适用于线弹性结构。缺点：一般只适用于线弹性结构。上式只适用于线弹性结构！上式只适用于线弹性结构！上式用到了叠加法，一般情况下求能量时不能运用叠加法！上式用到了叠加法，一般情况下求能量时不能运用叠加法！因为有交叉项！因为有交叉项！例例 求能量的各种方法！求能量的各种方法！56二、卡氏定理二、卡氏定理 互等定理互等定理本章小结本章小结对于对于线弹性结构线弹性结构，其应变能对于任一，其应变能对于任一独立独立广义外力的偏导数，广义外力的偏导数，等于该力的相应（广义）位移。即：等于该力的相应（广义）位移
38、。即：卡氏第二定理卡氏第二定理重点，如何应用卡氏第二定理来求结构任意一点的位移。重点，如何应用卡氏第二定理来求结构任意一点的位移。卡氏第一定理卡氏第一定理对于对于任意可变形固体任意可变形固体，其应变能是独立广义位移的函数，即：，其应变能是独立广义位移的函数，即：应变能对某一广义力对应的广义位应变能对某一广义力对应的广义位移的偏导数，就等于该力。移的偏导数，就等于该力。57本章小结功互等定理功互等定理：结构的第一力系在结构第二力系所引起的弹性位：结构的第一力系在结构第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起弹性位移上所移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起弹性位移上所做
39、的功。做的功。位移互等定理位移互等定理：单位广义力一所引起的与单位广义力二相对应：单位广义力一所引起的与单位广义力二相对应的广义位移，在数值上等于单位广义力二引起的与单位广义力的广义位移，在数值上等于单位广义力二引起的与单位广义力一相对应的广义位移。一相对应的广义位移。互等定理的适用范围：线弹性结构！互等定理的适用范围：线弹性结构！58二、虚功原理二、虚功原理 单位力法单位力法 图乘法图乘法本章小结本章小结1、可能内力、可能内力 可能位移可能位移可能内力可能内力 能与外力保持平衡的内力能与外力保持平衡的内力,称为可能内力。称为可能内力。对于静定结构对于静定结构,可能内力就是真实内力。对于超静定
40、结构可能内力就是真实内力。对于超静定结构,可能可能内力有无限多种内力有无限多种,只有同时满足变形协调条件的力才是真实内只有同时满足变形协调条件的力才是真实内力。力。可能位移可能位移 满足位移边界条件和变形连续性条件的位移满足位移边界条件和变形连续性条件的位移称为可能位移称为可能位移。虚位移虚位移就是微小的可能位移。就是微小的可能位移。59本章小结本章小结2 2、虚功原理虚功原理：在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。外
41、力虚功全部转化为结构的虚应变能。适用于一般变形固体，外力虚功全部转化为结构的虚应变能。适用于一般变形固体，不要求线弹性条件。不要求线弹性条件。603 3、单位力法，莫尔积分单位力法，莫尔积分：本章小结本章小结一般公式一般公式线弹性结构线弹性结构614 4、图乘法图乘法：本章小结本章小结A、图乘法是莫尔积分的简便计算方法、图乘法是莫尔积分的简便计算方法,因此它的适应范围和因此它的适应范围和莫尔积分类似，即线弹性结构莫尔积分类似，即线弹性结构。B、图乘法不仅仅适用于弯矩的莫尔积分、图乘法不仅仅适用于弯矩的莫尔积分,也同样适用于也同样适用于轴力和扭矩的计算。轴力和扭矩的计算。C、如果单位力和外载荷引
42、起的弯矩符号不一样、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样,图乘法图乘法得到的代数值取负号得到的代数值取负号,反之为正反之为正。D、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。用图乘法。62三、超静定问题三、超静定问题 力法正则方程力法正则方程本章小结本章小结1.1.判定超静定次数判定超静定次数2.2.解除多余约束解除多余约束,构造静定基构造静定基3.3.由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形4.4.补充变形协调方程求解多余约束力补充变形协调方程求解多余约束力63本章小结本章小结四、冲击应力四、冲击应力当重物当重物P P以速度以速度v水平撞击弹性体时，有：水平撞击弹性体时，有：当重物当重物P P自由落体撞击结构时，有：自由落体撞击结构时，有：64