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1、2021/8/8 星期日1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理2021/8/8 星期日2 问题问题 1.如图如图,从甲地到乙地从甲地到乙地,可以乘火车可以乘火车,也可以乘汽车也可以乘汽车一天中一天中,火车有火车有3 班班,汽车有汽车有2班，那么一天中乘坐这些交班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析分析:从甲地到乙地有从甲地到乙地有2类方法类方法,第一类方法第一类方法,乘火车，有乘火车，有3种方法种方法;第二类方法第二类方法,乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法.所以所以,从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有3+2=
2、5种方法。种方法。甲甲 乙乙火车火车1火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车22021/8/8 星期日3 2.如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，共有多少村，共有多少种不同的走法种不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 分析分析:从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步,由由A村去村去B村有村有3种方法种方法,第二步第二步,由由B村去村去C村有村有3种方法种方法,所以所以 从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2=6 种不同的方法。种不同的方法。2021/8/8
3、星期日4分类计数原理分类计数原理 做一件事情做一件事情,完成它可以有完成它可以有n类类办法办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第二类办法中有二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事那么完成这件事共有共有 N=m1+m2+m n种不同的方法。种不同的方法。分步计数原理分步计数原理 做一件事情做一件事情,完成它需要分成完成它需要分成n个步骤，做第一步有个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二种不同的方法，做第二步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不种
4、不同的方法同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2mn种不同的方法。种不同的方法。注注:本原理又称本原理又称加法原理加法原理.注注:本原理又称本原理又称乘法原理乘法原理.2021/8/8 星期日5 例例1.某班级三好学生中男生有某班级三好学生中男生有5人人,女生有女生有4人。人。(1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分析分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有共有2类办法类办法,第一类办法第一类办法,从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人,共有共有 m1=5 种不种不同的方
5、法同的方法;第二类办法第二类办法,从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人,共有共有m2=4 种不种不同的方法同的方法;所以所以,根据加法原理根据加法原理,得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有N=5+4=9。(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？例题例题:2021/8/8 星期日6 分析分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事座谈会这件事,需分需分2步完成步完成,第一步第一步,选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1=5 种方法种方法
6、;第二步第二步,选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2=4 种方法种方法;所以所以,根据乘法原理根据乘法原理,得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N=5 4=20 种。种。点评点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成分类完成”,还是还是“分步完成分步完成”。“分类完成分类完成”用用“加法原理加法原理”;“分步完成分步完成”用用“乘法原理乘法原理”。2021/8/8 星期日7 练习练习1.书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同本不同的体
7、育书的体育书.(1)从书架上任取一本书从书架上任取一本书,有多少种不同有多少种不同的取法的取法?分析分析:分类问题分类问题 加法原理加法原理 (2)从书架的第从书架的第1,2,3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种不同的取法不同的取法?分析分析:分步问题分步问题 乘法原理乘法原理2021/8/8 星期日8例例2.一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数十个数字组成字组成,(1)可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允各位上的数字允许重复许重复)？问问:若设置四位、五位、六位、若设置四位、五位、六位、十位等
8、密码、十位等密码,密码数分密码数分别有多少种？别有多少种？解解:它们的密码种数依次是它们的密码种数依次是 104,105,106,1010 种。种。(3)个位数字不为个位数字不为0的密码数是多少？的密码数是多少？(2)个位数字是个位数字是0的密码数又是多少？的密码数又是多少？分析分析:101010=103(种种)个个十十百百解解:N=10 10=102(种种)解解:N=10109=900(种种)2021/8/8 星期日9 9.1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 点评点评:加法原理中的加法原理中的“分类分类”要全面要全面,不能遗漏不能遗漏;但也不但也不能重复、交叉能重复、交叉;“类类”与与
9、“类类”之间是并列的、互斥的、独之间是并列的、互斥的、独立的立的,也就是说也就是说,完成一件事情完成一件事情,每次只能选择其中的一类办每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法类办法,即它们两两即它们两两的交集为空集的交集为空集,n类的并为全集。类的并为全集。乘法原理中的乘法原理中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间之间是连续的是连续的,不间断的不间断的,缺一不可缺一不可;但也不能重复、交叉但也不能重复、交叉;若完成若完成某件事情需某件事情需n步步,则必须且只需依次完成这则必须且只需依次完成这n个步骤后个步骤后
10、,这件事这件事情才算完成。情才算完成。在运用在运用“加法原理、乘法原理加法原理、乘法原理”处理具体应用题时处理具体应用题时,除要弄除要弄清是清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准。在的具体标准。在“分类分类”或或“分步分步”过程中过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。才能保证不重复、不遗漏。2021/8/8 星期日109.1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理练习练习:1.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同种不同颜色中的某一种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允
11、许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须但相邻区域必须涂不同的颜色涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域四个区域依次分四步完成依次分四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂得到不同的涂色方案种数共有色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日122021/8/8 星期日132021/8/8 星期日142021/8/8 星期日152021/8/8 星
12、期日162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18 2.如图如图,该电路该电路,从从A到到B共有多少共有多少条不同的线路可条不同的线路可通电？通电？AB2021/8/8 星期日192021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/8/8 星期日222021/8/8 星期日232021/8/8 星期日242021/8/8 星期日252021/8/8 星期日262021/8/8 星期日272021/8/8 星期日282021/8/8 星期日292021/8/8 星期日302021/8/8 星期日312021/8/8 星期日322021/8/8 星期日332021/8/
13、8 星期日342021/8/8 星期日352021/8/8 星期日362021/8/8 星期日379.1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类,m1=3 条条 第二类第二类,m2=1 条条 第三类第三类,m3=22=4,条条 所以所以,根据加法原理根据加法原理,从从A到到B共有共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。当然当然,也可以把并联的也可以把并联的4个看成一类个看成一类,这样也可分这样也可分2类求解。类求解。2021/8/8 星期日38.ABABm1m1m2m2mnmn点评点
14、评:我们可以把加我们可以把加法原理看成法原理看成“并联电并联电路路”;乘法原理看成乘法原理看成“串联电路串联电路”。如图。如图:2021/8/8 星期日399.1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 3.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条路条路可通可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通,从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地甲地乙地乙地丙地丙地丁地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙由甲到丙有两类不同的走法有两类不同的走法,第一类第一
15、类,由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步,所以所以 m1=23=6 种不同的走法种不同的走法;第二类第二类,由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步,所以所以 m2=42=8 种不同的走法种不同的走法;所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的种不同的走法。走法。2021/8/8 星期日409.1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？答答:加法原理和乘法原理。加法原理和乘法原理。2.加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同加法原理和乘法原理的共同点是什
16、么？不同点什么？点什么？答答:共同点是共同点是,它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情,共有多少共有多少种不同的方法。种不同的方法。不同点是不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同它们研究完成一件事情的方式不同,加加法原理是法原理是“分类完成分类完成”,即任何一类办法中的任何一个即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成分步完成”,即这即这些方法需要分步些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一步都完成且每一步都完成了了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。才能完成这件事情。这也是本节课的重点。2021/8/8 星
17、期日419.1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:3.何时用加法原理、乘法原理里呢何时用加法原理、乘法原理里呢?答答:完成一件事情有完成一件事情有n类方法类方法,若每一类方法中的若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。计算完成这件事情的方法总数用加法原理。完成一件事情有完成一件事情有n个步骤个步骤,若每一步的任何一种若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需并且必须且只需完成互相独立的这完成互相独立的这n步后步后,才能完成这件事才能完成这件事,则计则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。算完成这件事的方法总数用乘法原理。2021/8/8 星期日42 结束语结束语:两大原理妙无穷两大原理妙无穷,茫茫数理此中求茫茫数理此中求;万万千千说不尽万万千千说不尽,运用解题任驰骋运用解题任驰骋。2021/8/8 星期日43作业作业:p.83习题习题:1.P.845.2021/8/8 星期日442021/8/8 星期日452021/8/8 星期日46