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1、10.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理与分步计数原理 设置情境设置情境先看下面的问题：先看下面的问题：2002年夏季在韩国与日本举行的第年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛届世界杯足球赛共有共有32个队参赛它们先分成个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出个小组进行循环赛，决出16强，这强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？赛？要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识排列、要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识排列、组合
2、是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理探索研究探索研究从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有火车有3班，汽车有班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从班那么一天中，乘坐这些交通工具从
3、甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：一般地，有如下原理：分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的种不同的方法，在第方法，在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办类办法中有法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法问题问题2 2 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有从丙地乘汽车到
4、乙地一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班那班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的种不同的方法，做第方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同种不同的方法，那么完成这件事共有：的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不分类计数原理与分
5、步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，各种方法有关，各种方法相互独立相互独立，用用其中任何一种方法都可以完成这件事；其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤有关，各个步骤相互依存相互依存，只只有各个步骤都完成了，这件事才算完成有各个步骤都完成了，这件事才算完成例例1书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书（1）
6、从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多少种不同的取本书，有多少种不同的取法？法？（3）从书架上任取）从书架上任取2种不同类型的书各种不同类型的书各1本，本，有多少种不同的取有多少种不同的取法？法？解解:(1)4+3+2=9(2)43224(3)43423226例例2一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从个拨号盘，每个拨号盘上有从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？解：解：1010101010000注意
7、：有些较复杂的问题往往不是单纯的注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类”“分步分步”可以解决的，而要将可以解决的，而要将“分类分类”“分步分步”结合起来运用一般结合起来运用一般是先是先“分类分类”，然后再在每一类中，然后再在每一类中“分步分步”，综合应用分类，综合应用分类计数原理和分步计数原理计数原理和分步计数原理例例3要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？小结：小结：分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分
8、类解决，它不仅是将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意解决本章应用问题的始终要注意“类类”间互相独立，间互相独立，“步步”间互相联系间互相联系1有不同的中文书有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同的日文书本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同本，问有多少种不同的取法？的取法？2集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4从从A,B中各取中各取1个元素作个元素作为
9、点为点P(x,y)的坐标的坐标（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？）这些点中，位于第一象限的有几个？3某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共楼共有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？4.集合集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,从从A到到B的映射有多少个？的映射有多少个？讲讲练练讲讲练练97957514334432422228333381例例1在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？少个？分析与解：分析个位数字，可
10、分以下几类分析与解：分析个位数字，可分以下几类个位是个位是9，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故有中的一个，故有8个；个；个位是个位是8，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，7中的一个，故有中的一个，故有7个；个；与上同样：与上同样：个位是个位是7的有的有6个；个；个位是个位是6的有的有5个；个；个位是个位是2的只有的只有1个个由分类计数原理知，满足条件的两位数有由分类计数原理知，满足条件的两位数有说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对对“做一件事，完成之可以有做一件事，完成之可以有n类办法类办法”的理解，所谓的理
11、解，所谓“做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法类办法”，这里是指对完，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类分类时，首先要根成这件事情的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足只有满足这些条件，才可以用分类计数
12、原理这些条件，才可以用分类计数原理例2（1993年全国高考题）同室年全国高考题）同室4人各写人各写1张贺年卡，先集中张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡张贺年卡不同的分配方式有（不同的分配方式有（）A6种种B9种种C11种种D23种种例3某艺术组有某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中其中7人会钢琴，人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，人，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术组9人中
13、，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6212种，故共有20种不同的选法例例4.现要安排一份现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有天值班表，每天有一个人值班。共有5个个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法
14、？一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？解：分解：分5步进行：步进行：第一步：先排第一天，可排第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有人中的任一个，有5种排法；种排法；第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法种排法;第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法种排法;第四步：同前第四步：同前第五步：同前第五步：同前由分步计数原理可得不同排法有由分步计数原理可得不同排法有544441280种种例例5.用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位号码；位号码；用用0，1，2，9可
15、以组成多少个可以组成多少个8位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的可以组成多少个有重复数字的4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位奇数；位奇数；用用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的可以组成多少个有两个重复数字的4位整位整数等等数等等101010101010101010891010101010101091079987453691010109000先定个位，再定千位，最后定百、十位先定个位，再定千位，最后定百、十位58872
16、240整数个数有0无0 987330重复9860不重复3398例例6.自然数自然数2520有多少个约数？有多少个约数？解：解：2520233257分四步完成：分四步完成：第一步：取第一步：取20，21，22，23，24有有4种种;第二步：取第二步：取30，31，32有有3种；种；第三步：取第三步：取50，51有有2种；种；第四步：取第四步：取70，71有有2种。种。由分步计数原理，共有由分步计数原理，共有432248种种练习：练习：5张张1元币，元币，4张张1角币，角币，1张张5分币，分币，2张张2分币，可组成分币，可组成多少种不同的币值？（多少种不同的币值？（1张不取，即张不取，即0元元0分分0角不计在内）角不计在内）元：元：0，1，2，3，4，5角：角：0，1，2，3，4分：分：0，2，4，5，7，96561179