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1、第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理数学是锻炼思想的体操。数学是锻炼思想的体操。加里宁加里宁2021/8/11 星期三1第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理思考下面的问题思考下面的问题:2006 2006年德国世界杯开幕式将于年德国世界杯开幕式将于6 6月月7 7日日在慕尼黑市的阿利安兹竞技场举行；决赛于在慕尼黑市的阿利安兹竞技场举行；决赛于7 7月月7 7日在德国首都柏林奥林匹亚体育场举行。日在德国首都柏林奥林匹亚体育场举行。现有现有3232只队伍参赛只队伍参赛,它们先分成它们先分成8 8个小组进个小组进行循环赛，决出行循环赛，决出1616强，按确定的程序
2、进行淘强，按确定的程序进行淘汰赛产生汰赛产生8 8强后，仍进行淘汰赛产生强后，仍进行淘汰赛产生4 4强，最强，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名。后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名。问一共安排了多少场比赛？问一共安排了多少场比赛？2021/8/11 星期三210.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理 随着科学技术的进步、社会的发随着科学技术的进步、社会的发展，使得许多问题的解决呈多样化。展，使得许多问题的解决呈多样化。排列和组合就是讨论完成一件事情有排列和组合就是讨论完成一件事情有多少种不同方法的计数问题，而排
3、列、多少种不同方法的计数问题，而排列、组合的基础是两个基本原理，今天我组合的基础是两个基本原理，今天我们就来学习这两个基本原理：分类计们就来学习这两个基本原理：分类计数原理与分步计数原理。数原理与分步计数原理。2021/8/11 星期三310.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮船。一天中，火车有船。一天中，火车有3班，轮船有班，轮船有2班。那么一天班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同
4、的走法？不同的走法？提问提问1：2021/8/11 星期三410.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理 现现有有高高中中一一年年级级的的学学生生3 3名名，高高中中二二年年级级的的学学生生5 5名名，高高中中三三年年级级的的学学生生4 4名名。从从中中任任选选1 1人人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？提问提问2 2：提问提问3 3（一般化）：（一般化）：若完成一件事，有若完成一件事，有 类办法。在第类办法。在第1类办法中有类办法中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类
5、办法中有类办法中有 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 类办法中有类办法中有 种不同的方法，每一类中的种不同的方法，每一类中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事共有多每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事共有多少种不同方法？少种不同方法？2021/8/11 星期三510.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地选乘汽车到乙地。一天地，再于次日从丙地选乘汽车到乙地。一天中，火车有中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班，那么
6、两天中，班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同走法？从甲地到乙地共有多少种不同走法？提问提问4 4：2021/8/11 星期三610.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理 现现有有高高中中一一年年级级的的学学生生3 3名名，高高中中二二年年级级的的学学生生5 5名名，高高中中三三年年级级的的学学生生4 4名名。分分别别从从这这3 3个个年年级级中中各各选选1 1人人参参加加接接待待外外宾宾的的活活动动，有有多多少少种种不同的选法？不同的选法？提问提问6 6（一般化）：（一般化）：提问提问5 5：若完成一件事，需要分成
7、若完成一件事，需要分成 个步骤。做第个步骤。做第1 1步有步有 种不种不同的方法，做第同的方法，做第2 2步有步有 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第 步有步有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？2021/8/11 星期三7分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理有什么不同？分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，有关，各种方法各种方
8、法相互相互相互相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，有关，各个步骤各个步骤相互相互相互相互依存依存依存依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成只有各个步骤都完成了，这件事才算完成只有各个步骤都完成了，这件事才算完成只有各个步骤都完成了，这件事才算完成2021/8/11 星期三8材料1：请看下面的请看下面的分析分析是否正确：是否正确：步行从步行从A A村到村到B B村的北路需要村的北路需要8 8时，中路需要时，中路需
9、要4 4时，南路需要时，南路需要6 6时，时，B B村到村到C C村的北路需要村的北路需要5 5时，时，南路需要南路需要3 3时，要求步行从时，要求步行从A A村到村到C C村的总时数不村的总时数不超过超过1212时，共有多少种不同的走法？时，共有多少种不同的走法？分析：第一步从分析：第一步从A A村到村到B B村有村有3 3种走法，第二步从种走法，第二步从B B村到村到C C村有村有2 2种走法，共有种走法，共有6 6种不同的走法。种不同的走法。10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理2021/8/11 星期三9第十
10、章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理材料2：某班级有男学生某班级有男学生5人，女学生人，女学生4人。人。(1)从从中中任任选选一一人人去去领领奖奖,有有多多少少种种不不同同的的选选法法？(2)从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏分步时要做到不缺步分步时要做到不缺步2021/8/11 星期三10材料3：一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十十个数字
11、组成个数字组成,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数各位上的数字允许重复字允许重复)？变形变形1：首位数字不为首位数字不为0的密码数是多少种？的密码数是多少种？变形变形2：首位数字是首位数字是0的密码数又是多少种？的密码数又是多少种？变变形形3 3：由由数数字字0，1，2，3，4可可以以组组成成多多少少个个三位数三位数(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)？一般的，一般的，完成一件事有完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法个步骤，每一步骤的方法数相同，都数相同，都是是m,则完成这件事共有则完成这件事共有 种不同方法。种不同方法。（牢记：（牢记：步骤数步骤数n是指
12、数！是指数！）mn第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理2021/8/11 星期三11第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理材料材料4：要要从从甲甲、乙乙、丙丙3 3名名工工人人中中选选出出2 2名名分分别别上上日班和晚班，有多少种不同的选法？日班和晚班，有多少种不同的选法？解解：从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，可名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选以看成是经过先选1名上日班，再选名上日班，再选1名上晚班这名上晚班这两
13、个步骤完成。先选两个步骤完成。先选1名上日班，共有名上日班，共有3种选法；种选法；上日班的工人选定后上日班的工人选定后再再选选1名上晚班，上晚班的名上晚班，上晚班的工人有工人有2种选法，根据分步计数原理种选法，根据分步计数原理,所求的不同所求的不同的选法数是的选法数是 答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。2021/8/11 星期三12 日班日班 晚班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法相应的排法不同排法如下图所示不同排法如下图所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙 日班日班 晚班晚班2021/8/11 星期三13第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式
14、定理10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理小结：小结：分类计数原理与分步计数原理体分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类类”间互相独立，间互相独立，“步步”间互相联系间互相联系 2021/8/11 星期三14练习练习练习练习:1.1.如图如图如图如图,要给地图要给地图要给地图要给地
15、图A A、B B、C C、D D四个区域四个区域四个区域四个区域分别涂上分别涂上分别涂上分别涂上3 3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一允许同一允许同一允许同一种颜色使用多次种颜色使用多次种颜色使用多次种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的但相邻区域必须涂不同的但相邻区域必须涂不同的但相邻区域必须涂不同的颜色颜色颜色颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A A、B B、C C、D D四个区域依次分四个区域依次分四步完成四步完成,第一步第一步,m,m1 1=3
16、 =3 种种,第二步第二步,m,m2 2=2 =2 种种,第三步第三步,m,m3 3=1 =1 种种,第四步第四步,m,m4 4=1 =1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案种数共有种数共有 N=3 2 11=6N=3 2 11=6种。种。10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理2021/8/11 星期三1510.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理2021/8/11 星期三163.用用0，1，2，9可以
17、组成多少个可以组成多少个8位号码；位号码；用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位奇数；位奇数；用用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的可以组成多少个有两个重复数字的4位整位整数等等数等等101010101010101010891010101010101091079987453691010109000先定个位，再定千位，最后定百、十位先定个
18、位，再定千位，最后定百、十位58872240整数个数有0无0 987330重复9860不重复33982021/8/11 星期三17 卡斯帕罗夫：卡斯帕罗夫：俄罗斯人，国际象棋棋手，世界顶尖俄罗斯人，国际象棋棋手，世界顶尖高手，纵横国际棋坛二十余年，无人能敌。高手，纵横国际棋坛二十余年，无人能敌。但但19971997年年5 5月月1111日，日，卡斯帕罗夫卡斯帕罗夫在美国纽约与在美国纽约与“深蓝深蓝”（IBM IBM 公司公司超级计算机超级计算机）之间的）之间的“最后决战最后决战”中以中以2.52.5比比3.53.5的总的总比分比分告负告负！2021/8/11 星期三18马马炮炮炮炮卒卒图1图2
19、探究：探究：1、图、图1中中,“红马红马”在最少在最少步数内吃到步数内吃到“兰炮兰炮”的的不同方法数有几种不同方法数有几种?2、图、图2中中“兰炮兰炮”在兰色在兰色区域内且在区域内且在4步之内吃到步之内吃到“红马红马”的不同方法数有的不同方法数有几种？几种？马马2021/8/11 星期三19第十章第十章 排列、排列、组合和二合和二项式定理式定理10.1 分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 两大原理妙无穷两大原理妙无穷,茫茫数理此中求茫茫数理此中求;万万千千说不尽万万千千说不尽,运用解题任驰骋运用解题任驰骋。结束语结束语:2021/8/11 星期三202021/8/11 星期三21