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1、3.3.33.3.3点到直线的距离点到直线的距离制作：何晓远制作：何晓远点到直线距离意义点到直线距离意义问题问题2：这两种距离有什么区别与联：这两种距离有什么区别与联系？系？问题问题1：什么是点到直线的距离？：什么是点到直线的距离？你能在图形表示出来吗？你能在图形表示出来吗？如何求点到直线距离？如何求点到直线距离？问题问题3 3：你能否求一点到一条直线的距离：你能否求一点到一条直线的距离?请一试：请一试：求点求点P(2P(2，1)1)到直线到直线L L：x-y+1=0 x-y+1=0的距离的距离 你想到哪些方法？你想到哪些方法？方法方法1 1：由定义求出垂足，转化为两：由定义求出垂足，转化为两
2、点间距离求解。点间距离求解。1.1.先求垂线先求垂线:x+y-3=0:x+y-3=0；2.2.再求垂足：再求垂足：Q Q（2 2，1 1）；）；3.3.两点间距离公式。两点间距离公式。设设M(xM(x，y)y)是是l l：x-y+1=0 x-y+1=0上任意一点，则上任意一点，则|PQ|PQ|2 2=当当x=1x=1时时|PQ|PQ|2 2有最小值，有最小值，|PQ|PQ|这个值就是这个值就是点点P P到直线到直线l l的距离的距离你想到哪些方法？你想到哪些方法？方法方法2 2：利用最值结论，求两点距离最小：利用最值结论，求两点距离最小值。值。你想到哪些方法？你想到哪些方法？方法方法3 3：利
3、用倾斜角解直角三角形。：利用倾斜角解直角三角形。由直线由直线x-y+1=0 x-y+1=0的方程可知倾角为的方程可知倾角为4545，可，可转化为直角三角形内角。转化为直角三角形内角。在在RtAPBRtAPB中，中，|PQ|=|AP|sin45|PQ|=|AP|sin45=你想到哪些方法？你想到哪些方法？方法方法4 4：在上面图形基础上，也可利：在上面图形基础上，也可利用三角形等面积公式求斜边上的高。用三角形等面积公式求斜边上的高。|AP|AP|PB|=|AB|PB|=|AB|PQ|PQ|，能否上升到公式高度？能否上升到公式高度？问题问题4 4：在：在一般情形一般情形下下，若对，若对点点P(xP
4、(x0 0，y y0 0)和直线和直线l l：Ax+By+CAx+By+C=0=0，你能否推导点到直，你能否推导点到直线的距离公式？线的距离公式？xyP0(x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|x0y0y1x1先考虑特殊情形：字母系数先考虑特殊情形：字母系数POyxlQP（x0，y0）l:Ax+By+C=0方法一：思路简单，操作方法一：思路简单，操作繁琐。繁琐。1.1.先求垂线；先求垂线；2.2.再求垂足；再求垂足；3.3.两点间距离公式。两点间距离公式。xyP0(x0,y0)OSRQd方法二：等面积公式求高方法二：等面积公式求高公式推导：公式推导：xyP0(x0,y0)OSRQdOyxlP
5、QMP(x0,y0),l:Ax+By+C=0,AB0,倾斜角设为倾斜角设为 1 1=OyxlPQM 1 1=-方法之三：解直角三角形方法之三：解直角三角形怎样用怎样用|PM|表示表示|PQ|？|PQ|=|PMcos 1|cos 1=|cos|PQ|=|PMcos|OyxlPQ 1 M已知已知P(x0,y0),设设M(x1,y1)将将M(x0,y1)代入代入l的方程得的方程得方法之三：求解过程方法之三：求解过程方法之四：最值方法方法之四：最值方法知道一点：有举趣的同学可思考用柯西不等式，这是步骤最简单的方法。Oyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)点到直线距离公式：点到直线距离公式：思考：这
6、是由思考：这是由AB0AB0条件下推导得到的条件下推导得到的公式，公式，A=0A=0或或B=0B=0时公式是否仍然成立？时公式是否仍然成立？1.1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.2.此公式是在此公式是在A A、B0B0的前提下推导的；的前提下推导的；3.3.如果如果A=0A=0或或B=0B=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；但不用此公式更加方便；但不用此公式更加方便；4.4.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。公式理解：例例1 1 求点求点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线22x+yx+y-10=0-10=0；3 3x
7、=x=2 2的距离。的距离。典例分析典例分析xyC(-1,0)O1 12 22 23 33 31 1B(3,1)A(1,3)例例2 2己知点己知点A A（1 1，3 3），），B B（3 3，1 1），），C C（-1-1，0 0）求）求ABCABC的面积。的面积。典例分析典例分析xyC(-1,0)O-1-11 12 22 23 33 31 1B(3,1)A(1,3)典例分析典例分析例例3.3.求平行线求平行线2 2x x-7y+8=0-7y+8=0与与2 2x x-7y-6=0-7y-6=0的距离。的距离。O Oy yx xl l2 2:2:2x x-7y-6=0-7y-6=0l l1 1:
8、2:2x x-7y+8=0-7y+8=0 P P(3,0)(3,0)两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等思考：能否也上升到公式高度？思考：能否也上升到公式高度？典例分析典例分析Oyxl2l1PQM 1任意两条平行直线都任意两条平行直线都可以写成如下形式：可以写成如下形式：l l1 1:Ax+By+Ax+By+C C1 1=0 0l l2 2:Ax+By+Ax+By+C C2 2=0 0两平行线之间的距离公式：两平行线之间的距离公式：小结小结n1.1.点到直线距离公式点到直线距离公式n2.2.特殊情况：仍然适用。特殊情况：仍然适用。注意：注意：应用前要把应用前要把直线方程直线方程化为化为一般一般式式作业：作业本A：3.3.4作业布置：作业布置：