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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.2。4 点到直线的距离 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题(重点)2 会求两条平行直线的距离（重点)3点到直线的距离公式的推导（难点）1。通过点到直线的距离公式的推导,培养逻辑推理的数学核心素养 2借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养。1点到直线的距离(1)概念 过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离（2)公式 点P(x0，y0）到直线l：AxByC0 的距离d错误!.2两平行线间的距离公式（1)概念 学必求其心得，业必贵于专精 -2-夹在两条平
2、行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离（2）求法 两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离(3)公式 两条平行直线l1：AxByC10 与l2：AxByC20 之间的距离d错误!。1原点到直线x2y50 的距离是(）A错误!B错误!C2 D。错误!D 由点到直线的距离公式得 d错误!错误!。2两平行直线xy20 与xy30 的距离等于（)A52错误!B错误!C52 D错误!A 由两平行线间的距离公式可得 d错误!错误!错误!.3已知点（3，m）到直线x错误!y40 的距离等于 1，则m学必求其心得，业必贵于专精 -3-等于(）A3 B3 C错误!D错误!或错误!D 由点到直线的距离公
3、式得错误!1，解得m错误!或错误!。4两直线 3x4y20 和 6x8y50 的距离等于（)A3 B7 C错误!D错误!C 直线 6x8y50 化为 3x4y520.故两直线平行,且两直线间的距离为：d错误!错误!错误!。点到直线的距离 【例 1】求过点A（1，2），且与原点的 距 离 等 于22的直线方程 解 因为所求直线过点A（1,2)，且斜率存在，所以设直学必求其心得，业必贵于专精 -4-线方程为y2k(x1），即kxyk20，又因为原点到直线的距离等于错误!，所以错误!错误!,解得k7 或k1。故直线方程为xy10 或 7xy50。点到直线的距离的求解方法 1求点到直线的距离时，只需把
4、直线方程化为一般式方 程,直接应用点到直线的距离公式求解即可 2对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb,求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成dx0a|或d|y0b.3若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可 1求点P(3,2）到下列直线的距离：(1）y错误!x错误!;(2)y6；（3）x4。解（1)直线y错误!x错误!化为一般式为 3x4y10，由点到直线的距离公式可得 学必求其心得，业必贵于专精 -5-d错误!错误!.(2)因为直线y6 与y轴垂直，所以点P到它的距离d|268.（3)因为直线x4 与x轴垂直，所以点P到它的距离
5、d|34|1。两条平行线间的距离 【例 2】直线l1过点A(0，1），l2过点B(5，0），如果l1l2，且l1与l2的距离为 5，求直线l1与l2的方程 思路探究 先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解,但注意直线斜率的讨论 解 当l1，l2的斜率不存在，即l1：x0，l2：x5 时，满足条件 当l1、l2的斜率存在时，设l1：ykx1，即kxy10，l2：yk（x5）,即kxy5k0,由两条平行直线间的距离公式得错误!5，解得k错误!。此时l1：12x5y50，l2：12x5y600.综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x0，l2:x5 或l1:12x学必求其心得，业
6、必贵于专精 -6-5y50,l2：12x5y600。求两平行线间距离一般有两种方法 1转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等，以便于运算 2公式法:直接用公式d错误!，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同 2与直线 2xy10 的距离等于错误!的直线方程为()A2xy0 B2xy20 C2xy0 或 2xy20 D2xy0 或 2xy20 D 根据题意可设所求直线方程为 2xyc0，因为两直线间的距离等于错误!，所以d错误!错误!，解得c0 或c2.故所求直线方程为 2x
7、y0 或 2xy20.学必求其心得，业必贵于专精 -7-距离公式的综合应用 探究问题 1两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（3，1）,并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d。你能求出d的取值范围吗?提示 如图，显然有 0dAB.而|AB|6322123错误!.故所求的d的变化范围为（0，3错误!2上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程 提示 由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直 而kAB2163错误!，所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为 y23（x6)和y13（x3），学必求其心得，业必贵于专精 -8-即 3xy200 和 3xy100。【例 3
8、】在直线l：3xy10 上求一点P,使得P到A（4，1）和B（0,4)的距离之差最大 思路探究 点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题 解 如图所示，设点B关于直线l的对称点B的坐标为（a，b)，则kBBkl1，即 3错误!1。所以a3b120。又由于线段BB的中点坐标为错误!,且在直线l上，所以3错误!b4210。即 3ab60,解得a3，b3，所以B(3，3)于是AB的方程为错误!错误!,即 2xy90.所以由错误!解得错误!即直线l与AB的交点坐标为（2，5)学必求其心得，业必贵于专精 -9-所以点P（2,5)为所求 在本例中,求到A(4，1)和C(3，4）的距离之和最小的P
9、点的坐标?解 如图所示，设点C关于直线l的对称点为C，求出点C的坐标为错误!.所以AC所在直线的方程为 19x17y930，AC和l的交点坐标为错误!。故P点坐标为错误!为所求 求最值问题的处理思路 1利用对称转化为两点之间的距离问题 2利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离 3利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题 学必求其心得，业必贵于专精 -10-1本节课的重点是掌握点到直线的距离公式,能用公式求点到直线的距离,会求两条平行直线间的距离难点是能用公式求点到直线的距离 2本节课要重点掌握的规律方法(1）点到直线的距离的求解方法，（2)求两平行直线间的距离有两种思路，（3）待定系数法求
10、解有关距离问题的方法 3本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式 1判断（正确的打“”，错误的打“”）(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用（)（2)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线yb(b0）的距离dy0b。（）(3）两直线xym与xy2n的距离为错误!.（）答案(1）（2)（3）提示（1）正确（2）应是dy0b.(3）正确 学必求其心得，业必贵于专精 -11-2点（1，1)到直线xy10 的距离是()A错误!B错误!C错误!D错误!A d错误!错误!.3分别过点A(2，1）和点B（3,5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_ 5 d|3（2）5。4求与直线l：5x12y60 平行且与直线l距离为 3 的直线方程 解 与l平行的直线方程为 5x12yb0,根据两平行直线间的距离公式得错误!3,解得b45 或b33。所求直线方程为：5x12y450 或 5x12y330.