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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 用根轨迹分析系统的性能用根轨迹分析系统的性能4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念一、根轨迹的概念 根轨迹：根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化系统中某个参数从零到无穷变化 时，时，系统闭环特征根在系统闭环特征根在s s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。根根指的是闭环特征根指的是闭环特征根(闭环极点闭环极点)。根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过的关系，通过开
2、环传递函数开环传递函数直接直接分析闭环特征分析闭环特征根及系统性能的图解法根及系统性能的图解法。例例 已知系统开环传递函数，讨论已知系统开环传递函数，讨论0K0K变变化时闭环极点的分布情况化时闭环极点的分布情况特征方程为：特征方程为：特征根为：特征根为：由由 可得闭环极点的变化情况：可得闭环极点的变化情况：K=0 s1=0 s2=-40 K 1 s1 s2为为不等的负实根不等的负实根K=1 s1=-2 s2=-2K=2 s1=-2+2j s2=-2-2j1 K s1 s2 实部均为实部均为-2K=s1=-2+j s2=-2-j K=0 s1=0 s2 2=-40 K 1 s1 s2 2为为不等
3、的负实根不等的负实根K=1 s1=-2 s2 2=-21 K s1 s2 2 实部均为实部均为-2 由根轨迹可知：由根轨迹可知：1）当）当K=0时时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递这两点恰是开环传递函数的极点函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点同时也是闭环特征方程的极点.2）当）当0K 1 时时,s1,2都是负实根都是负实根,随着随着k的增长的增长,s1从从s平面的原点向左移平面的原点向左移,s2从从-1点向右移。点向右移。3)当当K=1时时,s1,2=-2,两根重合在一起两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。此时系统恰好处在临界阻尼状态。4)1 K0都是稳定的。都是稳定的
4、。(2)稳态性能稳态性能:如图有一个开环极点如图有一个开环极点(也是也是闭环极点闭环极点)s=0。说明属于说明属于I型系统，阶跃作型系统，阶跃作用下的稳态误差为用下的稳态误差为0。在。在速度信号速度信号V0 0t作用下作用下,稳态误差为稳态误差为V0 0/K，在加速度信号作用下在加速度信号作用下,稳稳态误差为态误差为。(3)动态性能：动态性能：过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 欠阻尼欠阻尼 K越大，阻尼比越大，阻尼比越小越小,超调量超调量%越大。越大。由此可知：由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析利用根轨迹可以直观的分析K的变化对的变化对系统性能的影响。系统性能的影响。2、根据性能指标的要求可
5、以很快确定出系根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。数的大小，便于对系统进行设计。由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系着密切的联系,但是但是,高阶方程很难求解，高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。是很麻烦的。绘制绘制根轨迹的思路根轨迹的思路：通过一些绘制法则由通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。二、闭环零极点与开环零极点的关系二、闭环零极点
6、与开环零极点的关系 G(S)H(S)-R(s)C(s)开环传递函数开环传递函数 闭环传递函数闭环传递函数一般情况下，前向通路传递函数一般情况下，前向通路传递函数 前向通路根轨迹增益前向通路根轨迹增益前向通路根轨迹增益前向通路根轨迹增益Z Zi i为前向通路的零点为前向通路的零点为前向通路的零点为前向通路的零点;P;Pi i为前向通路的极点为前向通路的极点为前向通路的极点为前向通路的极点反馈通路传递函数反馈通路传递函数反馈通路根轨迹增益反馈通路根轨迹增益Z Zj j为反馈通路的零点为反馈通路的零点为反馈通路的零点为反馈通路的零点;P Pj j为反馈通路的极点为反馈通路的极点为反馈通路的极点为反馈
7、通路的极点开环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益开环传递函数开环传递函数结论：结论：1.闭环零点由前向通路的零点和反馈通路的极点闭环零点由前向通路的零点和反馈通路的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。点。2.闭环根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益。闭环根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环根轨迹增益。根轨迹增益。3.闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关。增益有关。注意注意开环根轨迹增益与开环增益的区别。开
8、环根轨迹增益与开环增益的区别。三、三、根轨迹方程根轨迹方程 根轨迹方程即为根轨迹方程即为 或或 假设开环传递函数中有假设开环传递函数中有m 个零点和个零点和n个极点个极点,根轨迹方程根轨迹方程可表示为：可表示为：K K*从从0 到无穷大变化到无穷大变化模值方程：模值方程：相角方程相角方程:由于由于s为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某点绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某点对应的对应的K*值则用模值方程。值则用模值方程。4-2 常规常规根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则一、绘制根轨迹的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则1
9、.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点，时对应的根轨迹点称根轨迹的起点，K*=时对应的根轨迹点称根轨迹的终点时对应的根轨迹点称根轨迹的终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开若开环零点数环零点数m小于开环极点数小于开环极点数n,则有则有n-m条根条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。轨迹终于无穷远处（无限零点）。2.根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性 分支数分支数=特征方程阶数；特征方程阶数；根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。3.根轨迹在实轴上的分布情况根轨迹在实轴上的分布情况 实轴上某一区域右边的开环零、极
10、点总数实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。为奇数时，则该区域是根轨迹。因为对实轴根轨迹上的任一点因为对实轴根轨迹上的任一点s1来说来说,其左边的其左边的开环零、极点到开环零、极点到s1点的相角总是点的相角总是0，对相角方程，对相角方程没影响。其右边的开环零、极点到没影响。其右边的开环零、极点到s1点的相角总点的相角总是是，共轭零极点到共轭零极点到s1 1点的相角之和也是零点的相角之和也是零,只有只有s1 1右边右边的开环零、极点到的开环零、极点到s1 1的相角为的相角为,而相角方程而相角方程：因而因而s1 1的右侧只有奇数个开环零、极点才会满足的右侧只有奇数个开环零
11、、极点才会满足相角方程。相角方程。4.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 开环极点数开环极点数n,开环零点数开环零点数m,有有n-m条根轨迹分条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远处。支沿着渐近线趋于无穷远处。nm时才有渐近线时才有渐近线,渐近线的绘制方法渐近线的绘制方法:确定确定渐近线与实轴的交点坐标渐近线与实轴的交点坐标a a 和实轴正方向夹和实轴正方向夹角角 ，渐近线即可绘出。，渐近线即可绘出。（zi i为已知的开环零点，为已知的开环零点，pi i为已知的开环极点）为已知的开环极点）j jj jj jj j 5.根轨迹的分离点根轨迹的分离点 分离点分离点:L条根轨迹分支在条根轨迹分支在s平面上相遇后
12、又立即平面上相遇后又立即分开的点分开的点,称为根轨迹的分离点称为根轨迹的分离点(或会合点或会合点)，用，用d表示。表示。d为特征方程重根的值。为特征方程重根的值。分离点计算公式：分离点计算公式：若系统无开环零点，则若系统无开环零点，则根轨迹的分离点或出现在实轴上根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地或共轭成对地出现在复平面中出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。但以实轴上的分离点最为常见。实轴上的分离点：实轴上的分离点：1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。则这两极点之间至少存在一个分离点。2）若实轴上两个
13、相邻开环零点之间是根轨迹，）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。零点可以是无限零点）。注意：注意：由分离点公式求出由分离点公式求出d后，一定要进行检查，后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点应舍弃不在根轨迹上的点d。分离点处根轨迹分支间的夹角分离点处根轨迹分支间的夹角:离开离开分离点的根轨迹分支和分离点的根轨迹分支和进入进入分离点的根轨分离点的根轨迹分支迹分支切线切线夹角称为夹角称为分离角分离角,用用 表示表示,则则 列分离点方程列分离点方程整理得整理得解得解得显然显然d2 2不在根
14、轨迹上，应舍弃。不在根轨迹上，应舍弃。开环传递函数：开环传递函数：d1 法则法则:仅由两个极点仅由两个极点(实数或复数实数或复数)和一个有限和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当两个实数极点之间。当k*从从0到无穷变化时到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。一部分。6.根轨迹的起始角与终止根轨迹的起始角与终止角角(针对有开环复数极针对有开环复数极点或开环复数零点情况点或开环复数零点情
15、况)起于开环复极点的根轨迹起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与在起点处的切线与正实轴的夹角正实轴的夹角 ,称为根轨迹的称为根轨迹的起始角起始角。终终止于开环复零点的根轨迹止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与在终点处的切线与正实轴的夹角正实轴的夹角 叫叫终止角终止角。7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹方程根轨迹方程1+G(s)=0 令令s=jw代入根轨迹方程得代入根轨迹方程得1+G(jw)=0,然后然后分别令分别令1+G(jw)的实部和虚部都等于的实部和虚部都等于0,即可即可求得根轨迹与虚轴的交点求得根轨迹与虚轴的交点,及此时的及此时的K*。8.根之和根之和 闭环特征方程闭
16、环特征方程 记为记为 当当n-m2时，有时，有 故系统特征根之和故系统特征根之和 可用来可用来判断根轨迹的走向判断根轨迹的走向。绘制根轨迹的步骤绘制根轨迹的步骤(1)把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形 式式(P138式式4-8)，画出开环零极点分布图；，画出开环零极点分布图；(2)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(3)求渐近线与实轴的夹角和交点求渐近线与实轴的夹角和交点(4)求起始角和终止角（一般不会遇到）求起始角和终止角（一般不会遇到）(5)求出分离点求出分离点注：注：实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标 出；渐近线、分离点一定要求；
17、渐近线出；渐近线、分离点一定要求；渐近线 虚线，根轨迹要标箭头。虚线，根轨迹要标箭头。例例:已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数为为:试绘制试绘制 K*从从0到到时系统的根轨迹时系统的根轨迹.解解:(1):(1)有有4 4个开环极点个开环极点,P,P1 1 1 1=0,P=0,P2 2 2 2=-3,P=-3,P3,43,43,43,4=-1=-1j.j.n=4 n=4，没有开环零点没有开环零点,m=0,m=0；分支数分支数=开环极点的个数开环极点的个数=特征方程特征方程阶数阶数 有有4 4个根轨迹分支个根轨迹分支 （2 2）实轴上根轨迹为）实轴上根轨迹为0,-30,-
18、3区间区间 ；（3 3）渐近线条数渐近线条数n-m=4n-m=4条，条，4 4个根轨迹分个根轨迹分 支沿着支沿着渐近线都趋于无穷远处渐近线都趋于无穷远处 ；渐近线与实轴正渐近线与实轴正方向的夹角方向的夹角：与实轴的交点：与实轴的交点：(4)分离点坐标分离点坐标:用试探法求得用试探法求得d=-2.3分离角分离角(5)(5)求起始角求起始角 其中其中其中其中 m=0 n=4m=0 n=4 由根轨迹的对称性可知由根轨迹的对称性可知(6)(6)根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程为系统的特征方程为令令s=s=jwjw 代代入实部和虚部都为入实部和虚部都为0得得:系统根轨迹为下图：系统根轨
19、迹为下图：二、闭环极点的确定二、闭环极点的确定 每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值方程确定。值方程确定。较简便的方法：对于特定较简便的方法：对于特定K*值的闭环极点，值的闭环极点，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。确定其余的闭环极点。4-3 广义根轨迹广义根轨迹 绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统中的任何
20、一个参数统中的任何一个参数,如某开环零点、开环极如某开环零点、开环极点。以非开环根轨迹增益为可变参数绘制的点。以非开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫根轨迹叫广义根轨迹广义根轨迹。负反馈系统中以开环。负反馈系统中以开环根轨迹增益根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹称为为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹常规根轨迹。广义根轨迹分为广义根轨迹分为参数根轨迹参数根轨迹和和零度根轨迹零度根轨迹。这里只介绍参数根轨迹。这里只介绍参数根轨迹。引入引入等效开环传递函数等效开环传递函数的概念的概念,参数轨迹参数轨迹 的绘制方法与常规根轨迹完全相同。的绘制方法与常规根轨迹完全相同。1.开环零点变化时的根轨迹开
21、环零点变化时的根轨迹 例例1、设系统结构图如图所示、设系统结构图如图所示,试绘制试绘制Kt t由由0 到到变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。C(s)1+Kts-R(s)解解:系统开环传递函数为系统开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环传递函数为：整理整理:令令构造一个新系统构造一个新系统,与原系统具有相同的闭环与原系统具有相同的闭环特征方程。特征方程。为等效的开环传递函数。为等效的开环传递函数。闭环特征方程为闭环特征方程为:新系统的结构图新系统的结构图新系统的闭环传递函数：新系统的闭环传递函数：与与原系统具有相同的分母，分子不同。原系统具有相同的分母，分子不同。-C(s)R(s)根轨迹为：根轨迹为
22、：利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对系统稳定能确定控制系统的闭环极点，对系统稳定性进行分析。若要求根轨迹某点处系统的性进行分析。若要求根轨迹某点处系统的稳态误差和动态性能，必须用原系统的结稳态误差和动态性能，必须用原系统的结构。即：构。即：等效只是与原系统闭环特征方程等效只是与原系统闭环特征方程等效，等效系统的闭环极点与原系统相等，等效，等效系统的闭环极点与原系统相等，要对原系统进行分析，零点仍要用原系统要对原系统进行分析，零点仍要用原系统的零点。的零点。2.开环极点变化时的根轨迹开环极点变化时的根轨迹 例：已知单位反馈系统的开
23、环传递函数例：已知单位反馈系统的开环传递函数试绘制试绘制从零变到无穷时的根轨迹从零变到无穷时的根轨迹.解解:系统的特征方程系统的特征方程1+G(S)=0 即即 整理得整理得 令令则原式则原式=1+G1 1(S)=0为等效开环传递函数为等效开环传递函数解方程解方程而三个有限开环零点为而三个有限开环零点为Z1 1=Z2 2=0,Z3 3=-1m=3,n=2,mn则分支数不是则分支数不是n,而是而是m=3。法则法则7:由由1+G1 1(jw)=0解得根轨迹与虚轴的交解得根轨迹与虚轴的交点点w并确定此点处并确定此点处 的值。的值。解得：解得：则则由由0变化到无穷时的根轨迹如图。变化到无穷时的根轨迹如图
24、。4-4 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能一、闭环零极点分布与阶跃响应的一、闭环零极点分布与阶跃响应的 定性分析定性分析系统闭环传递函数系统闭环传递函数单位阶跃响应单位阶跃响应（1）系统稳定：）系统稳定：所有闭环极点位于左半所有闭环极点位于左半S平面平面（2）快速性好：）快速性好：闭环极点远离虚轴闭环极点远离虚轴（3）超调量小，调节时间短：）超调量小，调节时间短：离虚轴最近的共离虚轴最近的共轭复数极点位于轭复数极点位于S平面中与复实轴成平面中与复实轴成450的夹角的夹角线附近线附近（4）动态过程尽快消失：）动态过程尽快消失：各项系数要小各项系数要小 根据以上分析，由系统根轨迹可
25、对系统进行近根据以上分析，由系统根轨迹可对系统进行近似设计似设计二、主导极点和偶极子二、主导极点和偶极子 主导极点：主导极点：在闭环极点中离虚轴最近，附近在闭环极点中离虚轴最近，附近又无零点的极点。又无零点的极点。主导极点对系统的动态性能影响最大。其它主导极点对系统的动态性能影响最大。其它极点的实部比主导极点的实部大极点的实部比主导极点的实部大5倍以上时，倍以上时，这些极点对系统动态性能的影响可以忽略。这些极点对系统动态性能的影响可以忽略。偶极子：偶极子：一对靠的很近的闭环零点和极点。一对靠的很近的闭环零点和极点。它们对系统动态性能的影响可忽略它们对系统动态性能的影响可忽略当闭环系统的零极点分布满足主导极点和偶极当闭环系统的零极点分布满足主导极点和偶极子的条件时，可将高阶系统简化成低阶系统近子的条件时，可将高阶系统简化成低阶系统近似分析似分析例：系统开环传递函数为例：系统开环传递函数为