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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法内容提要 根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。1第四章根轨迹法知识要点 传递函数的零，极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。2第四章根轨迹法 线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环线性时不
2、变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。整开环增益是改变闭环极点的常用办法。19481948年伊凡思年伊凡思(W.R.Evans)(W.R.Evans)提出了根轨迹法，提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，续变化时，
3、闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益以根据期望的闭环特征根确定开环增益。3第四章根轨迹法目目 录录4.1 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.2 4.2 绘制典型根轨迹绘制典型根轨迹4.3 4.3 特殊根轨迹图特殊根轨迹图4.4 4.4 用用MATLABMATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图4.5 4.5 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析小小 结结4第四章根轨迹法41 根轨迹的基本概念
4、根轨迹的基本概念一、根轨迹的定义一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭如图所示一般闭环系统的闭环传递函数为环传递函数为闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点闭环零点闭环零点G 1(s)中的零点和中的零点和H(s)中的极点，很容易求得中的极点，很容易求得闭环极点由特征方程：闭环极点由特征方程：1+G1(s)H(s)0 求出，很难求得求出，很难求得R(s)G1(S)H(S)C(s)5第四章根轨迹法 根轨迹法的优点：根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法不用求解高阶方程，通过图解的方法找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地实找出闭环极点，
5、并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地实现高阶系统的性能分析和设计。现高阶系统的性能分析和设计。根轨迹的定义：根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从开环传递函数中某一参数从0变变化化时时，闭环闭环极点的极点的变变化化轨轨迹称迹称为为根根轨轨迹。迹。6第四章根轨迹法式中 开环传递函数的零点；开环传递函数的零点；开环传递函数的极点；开环传递函数的极点；系统开环传递函数的零极点表达式为系统开环传递函数的零极点表达式为 K1 根轨迹放大系数。常规根轨迹根轨迹放大系数。常规根轨迹计算机绘根轨迹可使用7第四章根轨迹法确定闭环极点的特征方程为确定闭环极点的特征方程为 若令若令 K1 由由 00连续变化，则连
6、续变化，则 n 个闭环极点都个闭环极点都将将连续变化，在连续变化，在SS平面上将各绘出一条变化平面上将各绘出一条变化轨迹，即共有轨迹，即共有n条特征根的轨迹；这些轨迹就条特征根的轨迹；这些轨迹就是系统的根轨迹。是系统的根轨迹。或者写为或者写为8第四章根轨迹法 二、根轨迹的示例二、根轨迹的示例 设系统如图设系统如图4 42 2 所示，它的所示，它的开环传递函数为开环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为9第四章根轨迹法由此可得系统的特征方程式为由此可得系统的特征方程式为 求解得出两个特征根为求解得出两个特征根为 令参数令参数K1 在在 00范围内变化范围内变化，就可在复平面上得到根轨
7、迹图。，就可在复平面上得到根轨迹图。从图中可看出系统性能随从图中可看出系统性能随K1变化变化而变化的趋势：而变化的趋势：当当K10 0时，系统始终是稳定的时，系统始终是稳定的当当K144时，系统有两个负实根，对应的过渡过程无振荡时，系统有两个负实根，对应的过渡过程无振荡当当K144时，系统有一对共轭复根，系统是衰减振荡的。时，系统有一对共轭复根，系统是衰减振荡的。10第四章根轨迹法 今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的算机绘制根轨迹大多采用
8、直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方求解一次特征方程。让程。让K从零开始等间隔增大，只要从零开始等间隔增大，只要K的取值足的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上平面上绘出根轨迹绘出根轨迹。4.2.2 4.2.2 根轨迹的基本条件根轨迹的基本条件11第四章根轨迹法考察图考察图4-14-1所示的负反馈系统，其闭环传递函数为所示的负反馈系统，其闭环传递函数为:闭环特征方程为：闭环特征方程为：根轨迹上的每一点根轨迹上的每一点S都是闭环特征方程的根，所以，都是闭环特征方程的根，所以，根轨迹上的每一点都应满足：
9、根轨迹上的每一点都应满足：12第四章根轨迹法上式可分为上式可分为幅值条件幅值条件:和相角条件：和相角条件：在在S平面上，给定了幅值和相角，就对应一个平面上，给定了幅值和相角，就对应一个固定的点，所以既满足幅值条件又满足相角条件固定的点，所以既满足幅值条件又满足相角条件的的S值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极点。点。13第四章根轨迹法 根轨迹法研究系统的一个可调参数对闭环极根轨迹法研究系统的一个可调参数对闭环极点的影响，最常见的可调参数是开环增益点的影响，最常见的可调参数是开环增益K。令。令G(s s)=)=KG0(s)，显然，显然，K的变动只影响幅
10、值条件的变动只影响幅值条件不影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点不影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，满足同一个相角条件，K变动相角条件是不变的。变动相角条件是不变的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在S平面平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的迹上任一点的K值。值。14第四章根轨迹法 这里讨论的是以开环增益这里讨论的是以开环增益K为参变量的根轨为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的根
11、轨迹，为了区别，迹，它是最基本、最常用的根轨迹，为了区别，我们称之为我们称之为典型根轨迹或常规根轨迹典型根轨迹或常规根轨迹。仍然。仍然针对图针对图4-14-1所示负反馈系统，设系统开环传递函数所示负反馈系统，设系统开环传递函数可以表示为：可以表示为：4.2.1 4.2.1 开环零极点与相角条件开环零极点与相角条件 4.2 4.2 绘制典型根轨迹绘制典型根轨迹15第四章根轨迹法 式中式中p1,p2,pn，为开环极点，为开环极点，z1,z2,zm 为开为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：以以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方为参变量的
12、根轨迹上的每一点都必须满足该方程，相应地，我们称之为程，相应地，我们称之为典型根轨迹方程典型根轨迹方程。上。上式也可以写成：式也可以写成：16第四章根轨迹法这时，这时，幅值条件具体化为：幅值条件具体化为：相角条件具体化为：相角条件具体化为：17第四章根轨迹法 按相角条件绘制根轨迹图的依据。具体方法按相角条件绘制根轨迹图的依据。具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上
13、的试验点连接就得到根轨迹图。以将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。以下列下列4 4阶系统为例：阶系统为例：18第四章根轨迹法 先在复平面上标出开环极点先在复平面上标出开环极点p1,p2,p3,p4 和开环和开环零点零点z z1 1如图如图4-34-3。对试验点。对试验点S，如果它在根轨迹上，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件就应当满足相角条件 ：量出或计算出量出或计算出5 5个角度，就知道试验点个角度，就知道试验点s s是否在是否在根轨迹上。判别了一个试验点，再判别其它试验根轨迹上。判别了一个试验点，再判别其它试验点。点。19第四章根轨迹法绘制根轨迹绘制根轨迹依据的是开环零极点分布，遵依
14、据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹轨迹。图图4-3 4-3 相角条件的图示相角条件的图示 20第四章根轨迹法 纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。概括起来，准。概括起来，以开环增益以开环增益K为参变量的根轨迹图为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则：主要有下列基本规则：4.2.2 4.2.2 基本规则基
15、本规则21第四章根轨迹法规则一：根轨迹的起点和终点规则一：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。因为根轨迹是闭环特征方程的根，当因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0=0时方时方程的根就是它的程的根就是它的n个开环极点，当个开环极点，当K时方程的时方程的根就是它的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终点是个开环零点。根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。根轨迹的特殊点。当当n=m时，开始于时，开始于n个开环极点个开环极点的的n支根轨迹，正好终止于支根轨迹，正好终止于m个开环零点。个开环零点。22第四章根轨迹法 当当nm时，起始于时，起始于
16、n个开环极点的个开环极点的n n支根轨迹，支根轨迹，有有m支终止于开环零点，有支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。支终止于无穷远处。用式（用式（4-94-9）可以解释这一规则：终点就是）可以解释这一规则：终点就是KK的点，要的点，要K K只有两种情况，一是只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,m)，二是，二是s。这时，无穷远处也。这时，无穷远处也称为称为无穷远零点无穷远零点。当当nm时时，终终止止于于m个个开开环环零零点点m支支根根轨轨迹迹，有有n 支支来来自自个个开开环环极极点点，有有m-n支支来来自自无无穷穷远远处处。必必需需指指出出，实实际际系系统统极极少少有有nm时，根轨迹一
17、定有时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；支趋向无穷远；当当n0）：）：这时特征方程变成：这时特征方程变成：对应的相角条件变成：对应的相角条件变成：4.3 4.3 正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）45第四章根轨迹法 这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊这种情况主要发生在系统闭环为正反馈等特殊情况，比如有的多环控制系统将某个内环设计为正情况，比如有的多环控制系统将某个内环设计为正反馈。由于相角条件的改变，导致基本规则的反馈。由于相角条件的改变，导致基本规则的3)3)、4)4)和和7)7)必须修改为如下的必须修改为如下的3P)3P)、4P)4P)和和7P)7P)：3
18、P)3P)渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的夹角为 4P)4P)实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。46第四章根轨迹法7P)7P)根轨迹的出射角和入射角公式中的根轨迹的出射角和入射角公式中的1801800 0均改为均改为3603600 0。例例 考虑图考虑图4-14-1所示系统所示系统,设其中设其中 用用MatlabMatlab绘绘出出根根轨轨迹迹如如图图4-94-9，它它印印证证了了上上述述三三点点改动。改动。47第四章根轨迹法 图图4-9 正反馈系统的
19、根轨迹正反馈系统的根轨迹48第四章根轨迹法 根轨迹图是设计和分析线性时不变控制系统的根轨迹图是设计和分析线性时不变控制系统的有力帮手，它揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动有力帮手，它揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动态性能，用根轨迹图分析控制系统主要有以下方面：态性能，用根轨迹图分析控制系统主要有以下方面：4.4 4.4 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析49第四章根轨迹法4.4.1 4.4.1 根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性 用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点要深刻得多。比如，当一组闭环极点要深刻得多。比如，当K在在（0，）间间取
20、值时，如果取值时，如果n支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管味着不管K取任何值闭环系统都是稳定的。反之，根取任何值闭环系统都是稳定的。反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管K取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如果开环零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要果开环零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要使系统稳定就必须人为增加开环零、极点（参见使系统稳定就必须人为增加开环零、极点（参见2 2），），这就是通常讲的要改变系统的结构，而不仅仅是改变这就
21、是通常讲的要改变系统的结构，而不仅仅是改变系统的参数。系统的参数。50第四章根轨迹法 根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，知道了根轨迹与虚轴交点的的稳定是有条件的，知道了根轨迹与虚轴交点的K值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的K值。值。初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画初学者容易把开环极点和闭环极点混淆，因为画根轨迹图时首先标在图上的是开环零、极点，根轨迹根轨迹图时首先标在图上的是开环零、极点，根轨迹的起点是开环极点，有读者就误认为根轨迹上的点都的起点是开环极点，有读者就误认为根轨迹上
22、的点都是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了起点和终是开环极点，这是不对的。根轨迹图上除了起点和终点，其它都是闭环极点的可能取值。点，其它都是闭环极点的可能取值。51第四章根轨迹法 对于图对于图4-14-1所描述的系统，影响系统稳定性有三所描述的系统，影响系统稳定性有三大因素：开环增益、开环极点、开环零点。开环增大因素：开环增益、开环极点、开环零点。开环增益的影响上面已经讨论，现在讨论开环零、极点的益的影响上面已经讨论，现在讨论开环零、极点的影响，请看图影响，请看图4-134-13所示的例子所示的例子。4.4.2 4.4.2 开环零极点对系统的影响开环零极点对系统的影响图图4-13a,b 4-
23、13a,b 开环零、极点对系统的影响开环零、极点对系统的影响52第四章根轨迹法图图4-13c,d,e,f 4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响开环零、极点对系统的影响53第四章根轨迹法 我我们们以以图图（a a）所所示示系系统统为为参参照照，在在它它基基础础上上增增加加开开环环零零、极极点点，研研究究它它们们对对系系统统的的影影响响。当当K0 0时时，图图（a a），（b b）代代表表的的系系统统始始终终是是稳稳定定的的，但但图图（b b）代代表表的的系系统统可可以以选选择择到到一一对对比比图图（a a）离离虚虚轴轴更更远远的的闭闭环环极极点点，这这说说明明增增加加合合适适的的位位
24、于于虚虚轴轴左左侧侧的的开开环环零零点点，既既可可以以增增加加稳稳定定裕裕度度又又可可以以提提高高快快速速性。性。图（图（c c）增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，）增加的是位于虚轴右侧的零点，显然，这时系统只有在这时系统只有在K0.67时才是稳定的时才是稳定的,这说明增加这说明增加位于虚轴右侧的开环零点，一般使稳定性下降。如位于虚轴右侧的开环零点，一般使稳定性下降。如果系统具有位于虚轴右侧的零点（不管是固有的还果系统具有位于虚轴右侧的零点（不管是固有的还是加入的），就称之为非最小相角系统，从本例可是加入的），就称之为非最小相角系统，从本例可以看出：非最小相角系统的动态性能需要认真对付。以看出
25、：非最小相角系统的动态性能需要认真对付。54第四章根轨迹法 图图（d）增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，增加的是位于虚轴左侧的极点，显然，这时系统只有在这时系统只有在K60时才是稳定的时才是稳定的,与图与图（a）相比）相比说明：给开环系统增加位于虚轴左侧的极点，一般也说明：给开环系统增加位于虚轴左侧的极点，一般也会使稳定性下降。会使稳定性下降。图（图（e e）是在图（）是在图（d d）基础上再增加一个位于虚轴）基础上再增加一个位于虚轴左侧的零点，闭环系统的稳定性又大大提高了。左侧的零点，闭环系统的稳定性又大大提高了。图（图（f f）是在图（）是在图（a a）基础上增加位于虚轴右侧的）基础上增加
26、位于虚轴右侧的极点，这时从该极点出发的一支根轨迹全部位于虚轴极点，这时从该极点出发的一支根轨迹全部位于虚轴的右边，这意味着不管的右边，这意味着不管K取何值，闭环系统都不可能取何值，闭环系统都不可能稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可取的。但稳定，所以增加位于虚轴右侧的极点是不可取的。但是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系是如果再增加一个合适的位于虚轴左侧的零点，该系统会变成条件稳定。统会变成条件稳定。55第四章根轨迹法 系系统统的的动动态态性性能能最最终终体体现现在在时时间间响响应应，影影响响时时间间响响应应的的因因素素有有两两个个：闭闭环环传传递递函函数数和和输输入入函函数数。在
27、在第第三三章章中中已已经经分分析析：时时间间响响应应的的暂暂态态分分量量主主要要取取决决于于闭闭环环零零、极极点点，时时间间响响应应的的稳稳态态分分量量主主要要取取决决于于输输入入函函数。数。4.4.3 4.4.3 闭环零极点与时间响应闭环零极点与时间响应 如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极点。每一个闭环极点点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子对应时间响应中的一个因子exp(exp(sit)称为系统的一个模态（称为系统的一个模态（ModeMod
28、e），），si在在S平平面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。56第四章根轨迹法 图图4-154-15表示了表示了si分布于分布于S平面上不同位置所对应平面上不同位置所对应的暂态分量，其规律可以总结为：的暂态分量，其规律可以总结为：1)左右分布决定终值。左右分布决定终值。具体讲就是：具体讲就是：si位位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，si 位于虚位于虚轴右边时暂态分量一定发散，轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于虚轴正好位于虚轴（除原点）时暂态分量为等幅振荡。（除原点）时暂态分量为等幅振荡。57第四章根轨迹
29、法 2)2)虚实分布决定振型。虚实分布决定振型。具体讲就是：具体讲就是：si位于实轴上时暂态分量为非周期运动，位于实轴上时暂态分量为非周期运动，si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。位于虚轴上时暂态分量为周期运动。58第四章根轨迹法 3)3)远近分布决定快慢。具体讲就是：远近分布决定快慢。具体讲就是：si位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰位于虚轴左边时离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点主宰主宰系统响应的时间最长，被称为系统响应的时间最长，被称为主导极点。主导极点。59第四章根轨迹法图图4-15 4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式闭环极
30、点分布与暂态分量的运动形式j闭环极点位置的共轭60第四章根轨迹法 设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置根据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导非主导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与虚轴距离的极点与虚轴距离的2 25 5倍，这样系统的时间响应就倍，这样系统的时间响应就主要取决于一对主导极点。主要取决于一对主导极点。主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于虚轴左边虚轴左边6060o o扇形区内，且离虚轴有一定的距
31、离，其扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：理由在于：1 1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快态性能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应速度。的反应速度。61第四章根轨迹法 3 3）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因为数学模型的参数不会绝对准确为数学模型的参数不会绝对准确也就
32、是说实际也就是说实际的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不主导主导，设计的根基就动摇了。，设计的根基就动摇了。2 2）阻尼系数太大太小都不合适，）阻尼系数太大太小都不合适，6060o o扇形区意味扇形区意味着阻尼系数不小于着阻尼系数不小于cos60=0.5cos60=0.5，一般认为最佳阻
33、，一般认为最佳阻尼系数是尼系数是0.7070.707。62第四章根轨迹法例：设单位反馈系统的开环传递函数例：设单位反馈系统的开环传递函数（1）画出系统）画出系统K变化的根轨迹；变化的根轨迹；（2）系统稳定）系统稳定K的取值范围，并求引起持续振的取值范围，并求引起持续振荡时荡时K值及振荡频率；值及振荡频率；（3）有根轨迹图求使系统具有调节时间为）有根轨迹图求使系统具有调节时间为4时时的的K值及对应的根。值及对应的根。63第四章根轨迹法解：绘制根轨迹图解：绘制根轨迹图(以（以（-1，j0)为圆心，为圆心，1.414为半径的圆为半径的圆d=0.414d=-2.214K=1,W=10.875wd64第
34、四章根轨迹法临界稳定临界稳定K=1相应振荡频率相应振荡频率W=1；由调节时间由调节时间ts=4时，时，65第四章根轨迹法例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为1）试画出系统的根轨迹；）试画出系统的根轨迹；2）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的K值及值及性能指标；性能指标；3）若要求系统的阻尼比为）若要求系统的阻尼比为0.866时，求闭环极点；时，求闭环极点；4）若求）若求K=1时的闭环极点。时的闭环极点。66第四章根轨迹法d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28K2=11.7967第四章根轨迹法过原点作
35、圆的切线，得最小阻尼比线，等过原点作圆的切线，得最小阻尼比线，等腰直角三角形，腰直角三角形，68第四章根轨迹法根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应的闭环极点的闭环极点求求K=1时的闭环极点，可采用试探法。时的闭环极点，可采用试探法。69第四章根轨迹法 根轨迹是系统的某个参数连续变化时，闭环特根轨迹是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。绘制根轨迹可以总结征根在复平面上画出的轨迹。绘制根轨迹可以总结为三句话：依据的是开环零极点分布，遵循的是不为三句话：依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。读者应变的
36、相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。读者应重点掌握如何用基本规则，绘制概略图和用重点掌握如何用基本规则，绘制概略图和用MatlabMatlab软件绘制精确图。借助于软件绘制精确图。借助于MatlabMatlab，控制系统的根轨，控制系统的根轨迹分析变得更加灵活、透彻、高效。迹分析变得更加灵活、透彻、高效。小小 结结 70第四章根轨迹法 对于特殊根轨迹，可以将闭环特征方程进行变对于特殊根轨迹，可以将闭环特征方程进行变形，得到一个与典型根轨迹方程相似的形式，然后形，得到一个与典型根轨迹方程相似的形式，然后套用典型根轨迹的方法来绘图。含有延迟环节的系套用典型根轨迹的方法来绘图。含有延迟环节的系统，根轨迹有无穷多组，最重要的是坐标原点附近统，根轨迹有无穷多组，最重要的是坐标原点附近的一组。的一组。根轨迹图揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动根轨迹图揭示了稳定性、阻尼系数、振型等动态性能与系统参数的关系，用根轨迹图设计控制系态性能与系统参数的关系，用根轨迹图设计控制系统的关键是配置合适的闭环主导极点。要使理论设统的关键是配置合适的闭环主导极点。要使理论设计符合工程实际，必须注意控制系统的鲁棒性。计符合工程实际，必须注意控制系统的鲁棒性。71第四章根轨迹法