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1、频率特性法频率特性法第五章第五章1、问题的提出、问题的提出 对对于于一一阶阶、二二阶阶系系统统,控控制制系系统统的的时时域域分分析析法法可可以以快快速速、直直接接地地求求出出输输出出的的时时域域表表达达式式、绘绘制制出出响响应应曲曲线线，从从而而利利用用时时域域指指标标直直接接评评价价系系统统的的性性能能。因因此此，时域法具有直观、准确的优点。时域法具有直观、准确的优点。然然而而，工工程程实实际际中中有有大大量量的的高高阶阶系系统统，要要通通过过时时域域法法求求解解高高阶阶系系统统在在外外输输入入信信号号作作用用下下的的输输出出表表达达式式是是相相当当困困难难的的。此此外外，在在需需要要改改善
2、善系系统统性性能能时时，采采用用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。2、问题的解决、问题的解决 在工程实践中在工程实践中,往往并不需要准确地计算系统往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特
3、性法。细介绍控制系统的频率特性法。控制系统的频率特性分析法控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（是利用系统的频率特性（元件或元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。容。4、本章主要研究内容、本章主要研究内容5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 幅相频率特性及其绘制幅相频率
4、特性及其绘制 5.3 对数频率特性及其绘制对数频率特性及其绘制5.4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.15.1Tuesday,December 20,20226 考考察察一一个个系系统统的的好好坏坏，通通常常用用阶阶跃跃输输入入下下系系统统的的阶阶跃跃响响应应来分析系统的动态性能和稳态性能。来分析系统的动态性能和稳态性能。有有时时也也用用正正弦弦波波输输入入时时系系统统的的响响应应来来分分析析，但但这这种种响响应应并并不不是是单单看看某某一一个个频频率率正正弦弦波波输输入入时时的的瞬瞬态态响响应应，而而是是
5、考考察察频频率率由由低低到到高高无无数数个个正正弦弦波波输输入入下下所所对对应应的的每每个个输输出出的的稳稳态态响响应应。因此，这种响应也叫频率响应。因此，这种响应也叫频率响应。频频率率响响应应尽尽管管不不如如阶阶跃跃响响应应那那样样直直观观，但但同同样样间间接接地地表表示示了了系系统统的的特特性性。频频率率响响应应法法是是分分析析和和设设计计系系统统的的一一个个既既方方便便又又有效的工具。有效的工具。系系统统的的频频率率特特性性定定义义为为系系统统在在正正弦弦作作用用下下稳稳态态响响应应的的振振幅幅、相位与所加正弦作用的相位与所加正弦作用的频频率之率之间间的依的依赖赖关系。关系。对对于于一一
6、般般的的线线性性定定常常系系统统，系系统统的的输输入入和和输输出出分分别别为为r(t)和和c(t)，系系统统的传递函数为的传递函数为G(s)。式中，式中，为极点。为极点。若：若：则：则：5.1.1 频率响应的定义频率响应的定义拉氏反变换为：拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在若系统稳定，则极点都在s左半平面。当左半平面。当 ，即稳态时：，即稳态时：式中，式中，分别为：分别为：而而式中：式中：Rm、Cm分别为输入输出信号的幅值。分别为输入输出信号的幅值。上上述述分分析析表表明明，对对于于稳稳定定的的线线性性定定常常系系统统，加加入入一一个个正正弦弦信信号号，它它的的稳稳态态响响应应是是一一个个与
7、与输输入入同同频频率率的的正正弦弦信信号号，稳稳态态响响应应与与输输入入不不同同之之处处仅仅在在于于幅幅值值和和相相位位。其其幅幅值值放放大大了了 倍倍，相相位位移移动动了了 。和和 都都是频率的函数。是频率的函数。一一个个稳稳定定的的线线性性定定常常系系统统，在在正正弦弦信信号号的的作作用用下下，稳稳态态时时输输出出仍仍是是一一个个与与输输入入同同频频率率的的正正弦弦信信号号，且且稳稳态态输输出出的的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。频率响应频率响应:线性系统对正弦输入信号的稳态响应。线性系统对正弦输入信号的稳态响应。线性定常系统线性定常系统G(s)tr
8、（t）Css（t）线性系统及频率响应示意图线性系统及频率响应示意图频率响应的特点频率响应的特点（1）频率响应是和输入正弦信号同频率的正弦量；频率响应是和输入正弦信号同频率的正弦量；（2）频率响应的振幅与输入信号振幅的关系是）频率响应的振幅与输入信号振幅的关系是A()；（3）频率响应与输入信号的相位差是）频率响应与输入信号的相位差是()。5.1.2 频率特性频率特性1、频率特性的定义、频率特性的定义 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率入信号的频率在在0的范围内连续变化时，系统稳的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比态输出与
9、输入信号的幅值比A()与相位差与相位差()随输随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。2、频率特性的复数表示方法、频率特性的复数表示方法 系系统统的的频频率率特特性性为为正正弦弦输输入入信信号号作作用用下下稳稳态态输输出出与与输输入入的的复复数数比，表示为：比，表示为：输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为输出信号的幅值与输入信号的幅值之比，称为幅频特性幅频特性；输出信号的相位与输入信号的相位之差，称为输出信号的相位与输入信号的相位之差，称为相频特性相频特性；另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部
10、分，即称为称为实频特性实频特性；称为称为虚频特性虚频特性；以以上上函函数数都都是是的的函函数数，可可以以用用曲曲线线表表示示它它们们随随频频率率变变化化的的规规律律，使使用用曲曲线线表表示示系系统统的的频频率率特特性性，具具有有直直观观、简便的优点，应用广泛。简便的优点，应用广泛。并并且且A()与与R（）为为的的偶偶函函数数，()与与I（）是是的奇函数。的奇函数。1、实验法、实验法线性定线性定常系统常系统在在0的的范范围围内内不不断断改改变变的的取取值值，并并测测量量与与每每一一个个值值对对应应的系统的稳态输出的系统的稳态输出 测测量量并并记记录录相相应应的的稳稳态态输输出出输输入入幅幅值值比
11、比与与相相角角差差。根根据据所所得得数数据据绘绘制制出出幅幅值值比比与与相相角角差差随随的的变变化化曲曲线线，并并据据此此求求出出元元件件或或系系统统的的幅幅频特性频特性A()与相频特性与相频特性（）的表达式的表达式.5.1.3 频率特性的求取频率特性的求取线性定线性定常系统常系统 2、解析法、解析法 系系统统的的频频率率特特性性能能够够表表达达线线性性系系统统动动态态特特性性等等信信息息，是是一一种种特特殊殊的的传传递递函函数数，因因而而也也是是线线性性系系统统的的一一种种数数学学模模型。型。【例例5-1】单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为求系统的频率特性，当输入信
12、号为求系统的频率特性，当输入信号为 ，求出，求出系统的稳态输出。系统的稳态输出。解解：系统的闭环传递函数为，系统的闭环传递函数为，系统的闭环频率特性为系统的闭环频率特性为，实频特性为，实频特性为，虚频特性为，虚频特性为，幅频特性为，幅频特性为，相频特性为，相频特性为，该系统的稳态输出为，该系统的稳态输出为，当输入为当输入为当输入为当输入为输出表达式说明该系统对此输入信号在幅值上增强，在时间上超前。输出表达式说明该系统对此输入信号在幅值上增强，在时间上超前。3、频率特性的物理意义、频率特性的物理意义 1.在在某某一一特特定定频频率率下下，系系统统输输入入输输出出的的幅幅值值比比与与相相位位差差是
13、是确确定定的的数数值值，不不是是频频率率特特性性。当当输输入入信信号号的的频频率率在在0的的范范围围内内连连续续变变化化时时，则则系系统统输输出出与与输输入入信信号号的的幅幅值值比比与与相相位位差差随随输输入入频频率率的的变变化化规规律律将将反反映映系系统统的性能，才是频率特性的性能，才是频率特性。2.频频率率特特性性反反映映系系统统本本身身性性能能，取取决决于于系系统统结结构构、参参数数，与与外外界界因因素素无关。无关。3.频频率率特特性性随随输输入入频频率率变变化化的的原原因因是是系系统统往往往往含含有有电电容容、电电感感、弹弹簧簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有
14、关。等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。4.频频率率特特性性表表征征系系统统对对不不同同频频率率正正弦弦信信号号的的跟跟踪踪能能力力，一一般般有有“低低通通滤波滤波”与与“相位滞后相位滞后”作用。作用。4、频率特性的数学意义、频率特性的数学意义 频率特性是描述系统固有特性的数学模型频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、与微分方程、传递函数之间可以相互转换。传递函数之间可以相互转换。微分方程微分方程（以（以t为变量）为变量）传递函数传递函数（以（以s为变量）为变量）频率特性频率特性（以（以为变量）为变量）控制系统数学模型之间的转换关系控制系统数学模型之间的转
15、换关系 以以上上三三种种数数学学模模型型以以不不同同的的数数学学形形式式表表达达系系统统的的运运动动本本质质，并并从从不不同同的的角角度度揭揭示示出出系系统统的的内内在在规规律律，是是经经典控制理论中最常用的数学模型。典控制理论中最常用的数学模型。2对对数数坐坐标标图图:也也称称伯伯德德(Bode)图图。它它是是由由两两张张图图组组成成，以以lgw w 为为横横坐坐标标，对对数数分分度度，分分别别以以 20lg|G(jw w)H(jw w)|和和 (jw w)作纵坐标的一种图示法作纵坐标的一种图示法。3对对数数幅幅相相频频率率特特性性图图，也也称称尼尼柯柯尔尔斯斯(Nichols)图图。它它是
16、是以以相相位位 (jw w)为为横横坐坐标标，以以 20lg|G(jw w)H(jw w)|为为纵纵坐坐标标，以以w w 为参变量的一种图示法。为参变量的一种图示法。工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1极极坐坐标标图图:也也称称奈奈奎奎斯斯特特(Nyquist)图图。是是以以开开环环频频率率特特性性的的实实部部为为直直角角坐坐标标横横坐坐标标，以以其其虚虚部部为为纵纵坐坐标标，以以w w为为参参变变量量的的幅值与相位的图解表示法。幅值与相位的图解表示法。我们主要介绍极坐标图和对数坐标图我们主要介绍极坐标图和对数坐标图5.1.4频率特性的表示方法：频
17、率特性的表示方法：Tuesday,December 20,202222 频频率率响响应应法法的的优优点点之之一一在在于于它它可可以以通通过过实实验验量量测测来来获获得得，而不必推导系统的传递函数。而不必推导系统的传递函数。事事实实上上，当当传传递递函函数数的的解解析析式式难难以以用用推推导导方方法法求求得得时时，常常用用的的方方法法是是利利用用对对该该系系统统频频率率特特性性测测试试曲曲线线的的拟拟合合来来得得出出传传递递函数模型。函数模型。此此外外，在在验验证证推推导导出出的的传传递递函函数数的的正正确确性性时时，也也往往往往用用它它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。所对应的频率特性同
18、测试结果相比较来判断。频频率率响响应应法法的的优优点点之之二二在在于于它它可可以以用用图图来来表表示示，这这在在控控制制系统的分析和设计中有非常重要的作用。系统的分析和设计中有非常重要的作用。所所以以对对于于不不稳稳定定的的系系统统，尽尽管管无无法法用用实实验验方方法法量量测测到到其其频频率特性，但根据式率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。由传递函数还是可以得到其频率特性。频频率率特特性性的的推推导导是是在在线线性性定定常常系系统统是是稳稳定定的的假假设设条条件件下下得得出出的。的。如如果果不不稳稳定定，则则动动态态过过程程c(t)最最终终不不可可能能趋趋于于稳稳态态响响应应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但但从从理理论论上上动动态态过过程程的的稳稳态态分分量量总总是是可可以以分分离离出出来来的的，而而且且其其规律性并不依赖于系统的稳定性。规律性并不依赖于系统的稳定性。因因此此可可以以扩扩展展频频率率特特性性的的概概念念，将将频频率率特特性性定定义义为为：在在正正弦弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。Tuesday,December 20,202224小结q频率特性的定义q频率特性与传递函数之间的关系q各种数学模型之间的关系