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1、自动控制理论频率特性的基本概念第1页，本讲稿共19页2/8/2023n频率特性的基本概念频率特性的基本概念n频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图n频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图n奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据n稳定裕度稳定裕度n闭环系统的性能分析闭环系统的性能分析本章主要内容本章主要内容 第2页，本讲稿共19页2/8/20232第一节第一节 频率特性的基本概念频率特性的基本概念第3页，本讲稿共19页2/8/20233 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。来分析系统的动态性能和稳态性能。有
2、时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。有效的工具
3、。第4页，本讲稿共19页2/8/20234一、频率特性的定义：一、频率特性的定义：系统的系统的频率响应频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和和c(t)，系统的传递函数为，系统的传递函数为G(s)。式中，式中，为极点。为极点。若：若：则：则：第5页，本讲稿共19页2/8/20235拉氏反变换为：拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在若系统稳定，则极点都在s左半平面。当左半平
4、面。当 ，即稳态时：，即稳态时：式中，式中，分别为：分别为：第6页，本讲稿共19页2/8/20236而而式中：式中：Rm、Cm分别为输入输出信号的幅值。分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，倍，相位移动了相位移动了 。和和 都是频率的函数。都是频率的函数。第7页，本讲稿共19页2/8/20237定义定义稳
5、态响应与正弦输入信号的相位差稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；位移特性；定义定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；的放大特性；幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是，它也是 的函数。的函数。称为频率特性。称为频率特性。这里这里 和和 分别称为系统的
6、实分别称为系统的实频特性和虚频特性。频特性和虚频特性。还可将还可将 写成复数形式，即写成复数形式，即 第8页，本讲稿共19页2/8/20238由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。法在数学上是等价的。频率特性与传递函数的关系为：频率特性与传递函数的关系为：幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：关系：第9页，本讲稿共19页2/8/20239结论结论：当传递函数中的复变量当传递函数中的复变量s用用 代替时，传递函数就转变代替时，传递函数就转变
7、为频率特性。反之亦然。为频率特性。反之亦然。到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：之间的关系如下：第10页，本讲稿共19页2/8/202310 从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：可见，可见，频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比频率特性就是输出、输入正
8、弦函数用矢量表示时之比。表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学关系。是频率域中的数学模型。关系。是频率域中的数学模型。第11页，本讲稿共19页2/8/202311例子例子：设传递函数为：设传递函数为：微分方程为：微分方程为：频率特性为：频率特性为：第12页，本讲稿共19页2/8/202312 频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。而不必推导系统的传递函数。事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常事实上，当传递函数的解析式难以用推
9、导方法求得时，常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。函数模型。此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用。系统的分析和设计中有非常重要的作用。第13页，本讲稿共19页2/8/202313 频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得频率特性
10、的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念，性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的
11、复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。由传递函数还是可以得到其频率特性。第14页，本讲稿共19页2/8/202314工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1极坐标图，也称奈奎斯特极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的图。是以开环频率特性的实部实部 为直角坐标横坐标，以其虚部为直角坐标横坐标，以其虚部 为纵坐标，以为纵坐标，以 为参变量的为参变量的幅值与相位的图解表示法。幅值与
12、相位的图解表示法。2对数坐标图，也称伯德对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以图。它是由两张图组成，以 为横坐标，对数分度，分别以为横坐标，对数分度，分别以 和和 作纵坐作纵坐标的一种图示法。标的一种图示法。3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相图。它是以相位位 为横坐标，以为横坐标，以 为纵坐标，以为纵坐标，以 为参变为参变量的一种图示法。量的一种图示法。二、频率特性的表示方法：二、频率特性的表示方法：第15页，本讲稿共19页2/8/202315一、一、极坐标频率特性曲线（奈魁斯特曲线、幅相频率特性曲线）极坐标频率特
13、性曲线（奈魁斯特曲线、幅相频率特性曲线）它是在复平面上用一条曲线表示它是在复平面上用一条曲线表示 由由 时的频率特性。时的频率特性。即用矢量即用矢量 的端点轨迹形成的图形。的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。由于由于 是偶函数，是偶函数，所以当所以当 从从 和和 变化时，变化时，奈魁奈魁斯特曲线对称于实轴。斯特曲线对称于实轴。根据上面的说明，可知：根据上面的说明，可知：频率特性曲线是频率特性曲线是S平面平面上变量上变量s沿正虚轴变化沿正虚轴变化时在时在G(s)平面上的映射。平面
14、上的映射。第16页，本讲稿共19页2/8/202316二、二、对数频率特性曲线（又称波德图）对数频率特性曲线（又称波德图）它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：q 横坐标分度：横坐标分度：它是以频率它是以频率 的对数值的对数值 进行分度的。所进行分度的。所以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如
15、下图所示：表示。如下图所示：由于由于 以对数分度，所以零频率线在以对数分度，所以零频率线在 处。处。第17页，本讲稿共19页2/8/202317q 纵坐标分度：纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以幅频特性曲线的纵坐标是以 或或 表示。其单位分别为贝尔（表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（）和分贝（dB）。直接将）。直接将 或或 值标注在纵坐标上。值标注在纵坐标上。相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。坐标（频率轴）。
16、当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：和增益的关系为：20151086420增益增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值幅值第18页，本讲稿共19页2/8/202318使用对数坐标图的优点：使用对数坐标图的优点：n可以展宽频带；频率是以可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。n可以将乘法运算转化为加法运算。可以将乘法运算转化为加法运算。n所有的典型环节的频率特性都可以用分
17、段直线（渐进线）近似表所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。示。n对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。三、三、对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。第19页，本讲稿共19页2/8/202319