数值分析01-误差.ppt

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1、W Y主编主编主编主编 余孝华余孝华余孝华余孝华 王谦王谦王谦王谦数值分析数值分析1-1阜师院数科院第一章 误差W Y第一章第一章误误 差差2阜师院数科院第一章 误差W Y第一章目录第一章目录1 误差来源误差来源 1.1 模型误差模型误差 1.2 观察误差观察误差 1.3 舍入误差舍入误差 1.4 截断误差截断误差2 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差 2.2 有效数字有效数字3 基本运算中的误差估计基本运算中的误差估计3阜师院数科院第一章 误差W Y第一章第一章 误误 差差 半半个个世世纪纪以以来来计计算算机机还还给给我我们

2、们这这个个世世界界的的诸诸多多烦烦恼恼中中，误误差差问问题题最最为为突突出出。小小到到银银行行利利率率的的错错算算，大大到到导导弹弹的的错错误误发发射射，除除了了操操作作人人员员的的疏疏忽忽、机机器器的的故故障障引引起起的的过过失失误误差差外外，计计算算机机在在处处理理数数据据过过程程中中还还存存在在计计算算误误差差。这这是是计计算算机机机机器器数数系系所所引引起起的的，这这一一数数系系的的特特点点是是有有限限、离离散散、支支离离破破碎碎；这这和和数数学学上上常常用用的的实实数数系系无无限限、稠稠密密、连连续续的的特特点点完完全全不不同同。机机器器数数的的表表示示方方法法通通常常采采用用浮浮点

3、点数数形形式式，即：即：数值计算方法就是数值计算方法就是“研究用于求得数学问题近似解研究用于求得数学问题近似解的方法和过程的方法和过程”，由于算法的实现必须在计算机上进行，由于算法的实现必须在计算机上进行，虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错。是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错。4阜师院数科院第一章 误差W Y 误误 差差 （续续1）其中其中 ，且，且 都是整数都是整数09中的任一个数。中的任一个数。称为尾数，尾数的位数称为尾数，尾数的位数n是有限正整数；是有限正整数；中的中的

4、m称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情况下都带有误差况下都带有误差。在在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三多年前，古希腊人提出了被称为几何三大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常被大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。5阜师院数科院第一章 误差W Y 例例 题题 解解 不妨设已知立方体体积为不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积为。要作的立方体体积

5、为2，则所求方立体高度应该为，则所求方立体高度应该为 ，用计算机计算出，用计算机计算出 ，（，（15位数）。尽管精确度相位数）。尽管精确度相当高，但仍是近似值。下面的当高，但仍是近似值。下面的表表1-1列出了对列出了对h取前有限位取前有限位数时，计算所得体积的误差。数时，计算所得体积的误差。例例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积立方倍积问题。作一个立方体，使其体积为已知立方体的二倍为已知立方体的二倍。6阜师院数科院第一章 误差W Y例例 1 1（续）（续）位数位数 高度高度体积体积误差误差21.21.7282.720010-131.251.9531254.687510-241.2591.

6、9956169794.383010-351.25991.9998997577991.002410-461.259921.999995000191494.999810-671.2599211.999999762390492.376110-781.2599211.999999762390492.377110-791.259921041.999999952878604.712110-8表表1-1 立方倍积问题的计算立方倍积问题的计算 由由上上表表可可知知，计计算算机机机机器器数数的的有有限限位位特特点点使使这这一一问问题题只只能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。能在满足一定的精度条件下解

7、决，误差是无法消除的。7阜师院数科院第一章 误差W Y1 误差来源误差来源 （2）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不带误差，这种误差称为带误差，这种误差称为观测误差观测误差。一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的。差称为误差。引起误差的原因是多方面的。（1）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，）从实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，对被描述的

8、实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次要因素，这样建立的数学模型虽然具有要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确精确”、“完完美美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学的外衣，其实只是客观现象的一种近似。这种数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差模型误差。8阜师院数科院第一章 误差W Y方法误差与舍入误差方法误差与舍入误差（4）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无）在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无穷小数，如，穷小数，如，等，由于计算机数系是等，由于计算机数系是间断间断的且的且有界有界，

9、即计算时只能对有限位数进行运算，因，即计算时只能对有限位数进行运算，因此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为此必须进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差舍入误差。（3）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结）在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数果，但实际计算时，只能用有限过程来计算。如无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有求和，只能取前面有限项求和来近似代替，于是产生了有限过程代替无限过程的误差，称为限过程代替无限过程的误差，称为截断误差截断误差，这是计算，这是计算方法本身出现的误差，所以也称方法本身出现的误

10、差，所以也称方法误差方法误差，这种误差是，这种误差是需要特别重视的。需要特别重视的。9阜师院数科院第一章 误差W Y 有有时时，带带有有误误差差的的数数据据也也被被人人们们频频繁繁使使用用。例例如如，在在某某次次人人口口普普查查，经经统统计计我我国国某某省省的的人人口口数数为为7123万万，这这就就是是一个近似数，其舍入误差不超过一个近似数，其舍入误差不超过0.5万。万。用用3.1415926来代替圆周率，其舍入误差为来代替圆周率，其舍入误差为 舍入误差舍入误差 在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项

11、代替无穷项。在对收敛的无穷级数计算中，常取有限项代替无穷项。如对于正弦函数如对于正弦函数如对于正弦函数如对于正弦函数:取取 ，作近似计算，则，作近似计算，则 为其截断误差。为其截断误差。10阜师院数科院第一章 误差W Y条 件 问 题 计算方法中有一类问题称为计算方法中有一类问题称为条件问题条件问题，条件问题是一个算法条件问题是一个算法 （公式）由于初始（公式）由于初始数据或者中间某些数据微小摄动对计算结数据或者中间某些数据微小摄动对计算结果产生影响的敏感性的问题。果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、舍入误差、观测误差都属初始数据的摄动观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条。研究坏条件问题的计算

12、方法是十分重要的课题，有件问题的计算方法是十分重要的课题，有的时候，一些问题的条件并不坏，但由于的时候，一些问题的条件并不坏，但由于算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入误差在计算过程中不断被放大，而可能导误差在计算过程中不断被放大，而可能导致计算结果的精度大大降低，甚至使计算致计算结果的精度大大降低，甚至使计算失去意义失去意义。11阜师院数科院第一章 误差W Y递递 推推 算算 法法 递递推推算算法法是是解解决决实实际际问问题题中中使使用用相相当当普普遍遍的的一一种种算算法法，它的数学描述是带初值的递推关系式。它的数学描述是带初值的递推关系式。例例2 小猴吃

13、桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当小猴吃桃问题。有一天小猴摘下了若干个桃子，当即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接即吃掉了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个。第二天接着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚着吃了剩下的一半，又多吃了一个。以后每天都是吃掉尚存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子存的桃子的一半零一个。到第十天早上，小猴准备吃桃子时，看到只剩下时，看到只剩下1个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少个桃子了。问小猴第一天共摘下了多少个桃子？个桃子？解解 设第设第k天的桃子数为天的桃子数为pk，则桃子数目变化规律为则桃子数目变化规律为12阜师院数科院第

14、一章 误差W Y递递 推推 算算 法（续法（续 1）这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式这是正向递推的关系式，解之，可得逆向递推关系式 由初值由初值 ，根据上式设计算循环算法计算，根据上式设计算循环算法计算出出 即第一天的桃子数为即第一天的桃子数为1534。上上例例中中仅仅涉涉及及整整数数序序列列递递推推，根根据据初初值值条条件件来来选选择择正正向向递递推推或或逆逆向向递递推推使使实实际际问问题题得得以以解解决决。尽尽管管正正向向递递推推和和逆逆向向递递推推公公式式在在数数学学上上完完全全等等价价，却却导导致致两两种种完完全全不不同同的的算算法法。对对于于实实数数序序列列的的递递推推

15、由由于于初初始始误误差差的的存存在在，可可以以一一种种方方向向的的递递推推会会使使误误差差扩扩大大，而而另另一一方方向向的的递递推推会会使使得得误误差差逐逐步步减减小小。在在设设计计（选选用用）算算法法时时要要用用使使初初始始误误差差不不增增长的算法。长的算法。13阜师院数科院第一章 误差W Y解解解解:当当当当n n n n=0=0=0=0时时时时由此可得由此可得由此可得由此可得出递推计出递推计出递推计出递推计算公式算公式算公式算公式:于是可设计如下两种算法：于是可设计如下两种算法：于是可设计如下两种算法：于是可设计如下两种算法：递递 推推 算算 法（续法（续 2）例例3 314阜师院数科院

16、第一章 误差W Y两种算法两种算法算法算法算法算法1 1算法算法算法算法2 2，由，由，由，由（1-2）可得：可得：可得：可得：依式（依式（依式（依式（1-31-3）计算）计算）计算）计算 的近似值。的近似值。的近似值。的近似值。15阜师院数科院第一章 误差W Y表表1-1nIn（按算法按算法1计算）计算）In（按算法按算法2计算）计算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024

17、218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130由表中结果可见，按算法由表中结果可见，按算法由表中结果可见，按算法由表中结果可见，按算法1 1得到得到得到得到 ，这显然是错的。，这显然是错的。，这显然是错的。，这显然是错的。16阜师院数科院第一章 误差W Y 说

18、说 明明 因为对任意因为对任意因为对任意因为对任意n0n0均有：均有：均有：均有：以及以及以及以及 且且且且 时，时，时，时，。而按算法。而按算法。而按算法。而按算法2 2计计计计算，尽管算，尽管算，尽管算，尽管 取值精度不高，其误差取值精度不高，其误差取值精度不高，其误差取值精度不高，其误差 但但但但递递递递推推推推计计计计算算算算得得得得到到到到的的的的 却却却却有有有有8 8位位位位有有有有效效效效数数数数字字字字，为为为为什什什什么么么么会会会会出出出出现现现现这这这这样样样样的的的的现现现现象象象象？下下下下面面面面的的的的分分分分析析析析说说说说明明明明，这这这这是是是是舍舍舍舍入

19、入入入误误误误差差差差在在在在计计计计算算算算过过过过程程程程中传播所引起的后果。中传播所引起的后果。中传播所引起的后果。中传播所引起的后果。设设设设 有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假有舍入误差（可能由计算机自动舍入引起），假定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（定计算过程中不产生新的舍入误差，则由式（1-21-2）有：）有：）有：）有：17阜师院数科院第一章 误差W Y 说说 明（续明（续1）18阜师院数科院第一章 误

20、差W Y说明（续说明（续2）而对算法而对算法而对算法而对算法2 2，以，以，以，以 计算计算计算计算 应有应有应有应有从而有从而有从而有从而有:因此从因此从因此从因此从 出发计算到出发计算到出发计算到出发计算到 时，其误差已缩小时，其误差已缩小时，其误差已缩小时，其误差已缩小 倍。倍。倍。倍。上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差上例说明，对于同一问题，不同的算法对初始数据的误差（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一（或计

21、算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一（或计算过程中某一步的舍入误差）的传播是不同的，一个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差个算法，经过指定次数计算后，若仍能将初始数据的误差的影响限于一定范围之内，这个算法的的影响限于一定范围之内，这个算法的的影响限于一定范围之内，这个算法的的影响限于一定范围之内，这个算法的稳定性稳定性稳定性稳定性就好，反之就好，反之就好，反之就好，反之稳定性差，上例中，算法稳定性差，上例中，算法稳定性差，上例中，算法稳定性差，上例中，算法2 2具有具有具有

22、具有数值稳定性数值稳定性数值稳定性数值稳定性、而算法、而算法、而算法、而算法1 1则是则是则是则是数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才数值不稳定的。显然，只有选用数值稳定性好的算法，才能求得较准确的结果。能求得较准确的结果。能求得较准确的结果。能求得较准确的结果。19阜师院数科院第一章 误差W Y2 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字2.1 2.1 2.1 2.1 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差 设设设设 x x*为准

23、确值的近似值，记为准确值的近似值，记为准确值的近似值，记为准确值的近似值，记 一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝对误差对误差对误差对误差e e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情况估计出况估计出况估计出况估计出e e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界的取值范围，即估计出绝对

24、误差的一个上界的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界 :这样的这样的这样的这样的 称为称为称为称为x x*的的的的绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限绝对误差限或误差限。显然，误差限不是唯一的。显然，误差限不是唯一的。显然，误差限不是唯一的。显然，误差限不是唯一的。20阜师院数科院第一章 误差W Y误差限的意义误差限的意义容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个被保留的最后数位上

25、的半个单位，即最后数位上的半个被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的半个单位为其误差限。单位为其误差限。单位为其误差限。单位为其误差限。例如例如例如例如若取若取若取若取 的近似值为的近似值为的近似值为的近似值为3.143.14，则：，则：，则：，则：有误差限及近似值，就有误差限及近似值，就有误差限及近似值，就有误差限及近似值，就 可以得到准确值可以得到准确值可以得到准确值可以得到准确值x x的范围：的范围：的范围：的范围：即准确值必定在区间即准确值必定在区间即准确值必定在区间即准确值必定在区间 x*,x*+内，内，内，内，也常记作：也常记作

26、：也常记作：也常记作：x=x*21阜师院数科院第一章 误差W Y 因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误因此，要刻划近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是差的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是差的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是差的大小，还必须考虑所测量值本身的大小，这就是相对相对相对相对误差误差误差误差 er。误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。

27、例如误差限的大小不能完全反映近似值的准确程度。例如测量百米跑道长时，误差不超过测量百米跑道长时，误差不超过测量百米跑道长时，误差不超过测量百米跑道长时，误差不超过1010厘米，而测量黑板长时厘米，而测量黑板长时厘米，而测量黑板长时厘米，而测量黑板长时得其长度为得其长度为得其长度为得其长度为3 3米，误差不超过米，误差不超过米，误差不超过米，误差不超过1 1厘米。就误差限而言，前者厘米。就误差限而言，前者厘米。就误差限而言，前者厘米。就误差限而言，前者为后者的为后者的为后者的为后者的1010倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，倍，但由于前者误差只占

28、所量长度的千分之一，倍，但由于前者误差只占所量长度的千分之一，而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑而后者误差则占所量长度的三百分之一，显然测量百米跑通的结果更为精确。通的结果更为精确。通的结果更为精确。通的结果更为精确。相对误差相对误差由于准确值由于准确值由于准确值由于准确值x x未知，故一般取未知，故一般取未知，故一般取未知，故一般取相对误差相对误差相对误差相对误差为为为为:22阜师院数科院第一章 误差W Y相对误差（续）相对误差（续）可以证明，当可以证明，当可以证明，当可以证明

29、，当|e er r|很小时，很小时，很小时，很小时，是是是是e er r 的的的的高阶无穷小，高阶无穷小，高阶无穷小，高阶无穷小，可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误可以忽略不计。所以，取绝对误差与近似值之比为相对误差是合理的差是合理的差是合理的差是合理的。同样，相对误差也只能估计其同样，相对误差也只能估计其同样，相对误差也只能估计其同样，相对误差也只能估计其上限，如果存在正数上限，如果存在正数上限，如果存在正数上限，如果存在正数 r r ，使得：使得：使得：使得：则称则称则称则称

30、 r r为为为为x x*的相对误差限，显然，的相对误差限，显然，的相对误差限，显然，的相对误差限，显然，可作为可作为可作为可作为x x*的一个的一个的一个的一个相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为相对误差限，例如，由实验测得光速近似值为C C*=2.99792510=2.997925105 5公里公里公里公里/秒，其误差限为秒，其误差限为秒，其误差限为秒，其误差限为0.1 0.1 公里公里公里公里/秒，于是秒，于是秒，于是秒，于是 所以所以所以所以410410-7-7是是是是C C*的一个的一个的一个的一个相对

31、误差限相对误差限相对误差限相对误差限。23阜师院数科院第一章 误差W Y2.2 有效数字有效数字 一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值一个数能表示大小，如果这个数是一个近似值x x*，当当当当然希望能指明它的精确程度，如然希望能指明它的精确程度，如然希望能指明它的精确程度，如然希望能指明它的精确程度，如8 8与与与与8.0008.000大小一样，但若大小一样，但若大小一样，但若大小一样，但若作为近似值，在引进有效数字概念后，可知其精确程度不作为近似值，在引进有效数字概念后，可知其精确程度不作为近似值，在引进有效

32、数字概念后，可知其精确程度不作为近似值，在引进有效数字概念后，可知其精确程度不一样。一样。一样。一样。通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用通常要将某个位数很多的数表示成一定的位数，用四舍五入的方法，如四舍五入的方法，如四舍五入的方法，如四舍五入的方法，如=3.14159265.=3.14159265.，可表为可表为可表为可表为3.143.14，3.14163.1416等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为等，这种表示方法的特点是：近似数的误差限为等，这种

33、表示方法的特点是：近似数的误差限为其最末一位的半个单位。即：其最末一位的半个单位。即：其最末一位的半个单位。即：其最末一位的半个单位。即：x x1 1*=3.14=3.14为所有三位数中与为所有三位数中与为所有三位数中与为所有三位数中与 相差最小的数，不超过末位相差最小的数，不超过末位相差最小的数，不超过末位相差最小的数，不超过末位（第三位，百分位）的半个单位，即（第三位，百分位）的半个单位，即（第三位，百分位）的半个单位，即（第三位，百分位）的半个单位，即0.5100.510-2-2;是所有五位数中与是所有五位数中与是所有五位数中与是所有五位数中与 相差最小的数，不超过末位（第五位）相差最小

34、的数，不超过末位（第五位）相差最小的数，不超过末位（第五位）相差最小的数，不超过末位（第五位）的半个单位即的半个单位即的半个单位即的半个单位即0.5100.510-4-4。24阜师院数科院第一章 误差W Y有效数字的定义有效数字的定义 定定定定义义义义1 1 按定义按定义按定义按定义x x1 1*=3.14=3.14可称为准确到第三位或有三位有效数字，可称为准确到第三位或有三位有效数字，可称为准确到第三位或有三位有效数字，可称为准确到第三位或有三位有效数字，而而而而 x x2 2*=3.1416=3.1416称为准确到第五位，或有五位有效数字。称为准确到第五位，或有五位有效数字。称为准确到第五

35、位，或有五位有效数字。称为准确到第五位，或有五位有效数字。如果近似值如果近似值x*的误差限是它的某一位的半个单的误差限是它的某一位的半个单位，就说位，就说 x*“准确准确”到这一位，并且从这一位到这一位，并且从这一位直到前面第一个非零数字为止的所有数字均称直到前面第一个非零数字为止的所有数字均称为为有效数字有效数字。也可以给出如下定义：也可以给出如下定义：也可以给出如下定义：也可以给出如下定义：25阜师院数科院第一章 误差W Y同样，同样，同样，同样，x x*2 2=3.1416=3.1416有五位有效数字，因为有五位有效数字，因为有五位有效数字，因为有五位有效数字，因为 x x*2 2=3.

36、1416=0.3141610=3.1416=0.31416101 1 。而：而：而：而：有效数字的定义（续）有效数字的定义（续）x x*1 1=3.14=3.14有三位有效数字，是因为有三位有效数字，是因为有三位有效数字，是因为有三位有效数字，是因为x x*1 1=3.14=0.31410=3.14=0.314101 1，而：而：而：而：按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以按上述定义，有效数字的概念实际上是说：以x x*近似近似近似近似x x，如果如果如果如果x x*从从从从x x依四舍五入规则得到，那么依四舍

37、五入规则得到，那么依四舍五入规则得到，那么依四舍五入规则得到，那么x x*的每一位都是有的每一位都是有的每一位都是有的每一位都是有效数字。因此，实际应用时：效数字。因此，实际应用时：效数字。因此，实际应用时：效数字。因此，实际应用时：26阜师院数科院第一章 误差W Y有效数字定义的进一步解释有效数字定义的进一步解释1.1.若若若若x x已知，可根据四舍五入的原则得已知，可根据四舍五入的原则得已知，可根据四舍五入的原则得已知，可根据四舍五入的原则得x x*；2.若若若若x x未知，则需从近似值的误差界来判断未知，则需从近似值的误差界来判断未知，则需从近似值的误差界来判断未知，则需从近似值的误差界

38、来判断x x*的有效位数；的有效位数；的有效位数；的有效位数；27阜师院数科院第一章 误差W Y4.有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同有效数字越多，其绝对误差也越小，相对误差同样也越小；样也越小；样也越小；样也越小；并且：若并且：若并且：若并且：若x x*有有有有n n位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为位有效数字，则其相对误差限为 ，若若若若x x*的相对误差限为的相对误差限为的相对误差限为的相对误差限为 ，则，则，则，则x x*有有有有n n位有效数字

39、；位有效数字；位有效数字；位有效数字；5.0.00235.0.0023与与与与0.0023000.002300不同，前者最多为二位有效数字，不同，前者最多为二位有效数字，不同，前者最多为二位有效数字，不同，前者最多为二位有效数字，而而而而0.0023000.002300则可能具有四位有效数字。则可能具有四位有效数字。则可能具有四位有效数字。则可能具有四位有效数字。3.3.记近似值记近似值记近似值记近似值x x*=0.=0.a a1 1a a2 2a an n1010mm，若要保留五位有效数字若要保留五位有效数字若要保留五位有效数字若要保留五位有效数字（这是（这是（这是（这是 以后常会用到的），

40、即要求误差限以后常会用到的），即要求误差限以后常会用到的），即要求误差限以后常会用到的），即要求误差限 0.5100.510mm-n n,则则则则n n=5=5；有效数字定义的进一步解释（续）有效数字定义的进一步解释（续）28阜师院数科院第一章 误差W Y有效数字举例有效数字举例例例4取取取取=3.141592653=3.141592653的近似值分别为的近似值分别为的近似值分别为的近似值分别为3.143.14，3.1413.141，3.1423.142，3.1415923.141592时，其有效数字位数分别为时，其有效数字位数分别为时，其有效数字位数分别为时，其有效数字位数分别为3 3、3

41、3、4 4、6 6、6 6，而作为数而作为数而作为数而作为数0.05099660.0509966的近似值，其值分别的近似值，其值分别的近似值，其值分别的近似值，其值分别为为为为0.0510.051、0.05100.0510、0.051000.05100、0.05090.0509、0.050990.05099时，其时，其时，其时，其有效数字位数分别为有效数字位数分别为有效数字位数分别为有效数字位数分别为2 2、3 3、4 4、2 2、3 3。例例529阜师院数科院第一章 误差W Y例例3（续）（续）30阜师院数科院第一章 误差W Y3 基本运算中的误差估计基本运算中的误差估计 这里主要讨论四则运

42、算和常用函数的计这里主要讨论四则运算和常用函数的计算中数据误差的传播情况。算中数据误差的传播情况。设原始数据设原始数据设原始数据设原始数据x x1 1，x x2 2，x xn n,，y y 与与与与x xi i有关，是由有关，是由有关，是由有关，是由x xi i计算计算计算计算 所得的解。若所得的解。若所得的解。若所得的解。若x x1 1，x x2 2，x xn n,的近似值为的近似值为的近似值为的近似值为x x1 1*，x x2 2*，x xn n,*，那么相应的解也有一定的误差，记为那么相应的解也有一定的误差，记为那么相应的解也有一定的误差，记为那么相应的解也有一定的误差，记为y y*，此

43、时解的此时解的此时解的此时解的 绝对误差为绝对误差为绝对误差为绝对误差为:31阜师院数科院第一章 误差W Y基本运算中的相对误差基本运算中的相对误差相对误差为相对误差为:我们可以利用这两个公式来估计按函数我们可以利用这两个公式来估计按函数 f 的的计算误差。给定计算误差。给定 f 的具体形式，就可得到加减乘的具体形式，就可得到加减乘除及开方这几种基本运算中数据误差与计算结果误除及开方这几种基本运算中数据误差与计算结果误差间的关系：差间的关系：紧紧 接下屏接下屏32阜师院数科院第一章 误差W Y具体误差估计具体误差估计如：如：如：如：对加法：对加法：对加法：对加法：类似地有：类似地有：类似地有：

44、类似地有：对乘法：对乘法：对乘法：对乘法：对除法：对除法：对除法：对除法：对开方：对开方：对开方：对开方：因此，有更细的估计总结分析如下：因此，有更细的估计总结分析如下：因此，有更细的估计总结分析如下：因此，有更细的估计总结分析如下：33阜师院数科院第一章 误差W Y更细的误差估计分析更细的误差估计分析11 1）对加法：对加法：对加法：对加法：即：和的绝对误差（或相对误差）不超过相加各即：和的绝对误差（或相对误差）不超过相加各 项的绝对误差（或相对误差）之和项的绝对误差（或相对误差）之和。而而而而x x1 1+x x2 200表示，大小相近的表示，大小相近的表示，大小相近的表示，大小相近的x

45、x1 1，x x2 2异号相加，大小相异号相加，大小相异号相加，大小相异号相加，大小相近的近的近的近的x x1 1，x x2 2同号相减，此时同号相减，此时同号相减，此时同号相减，此时|e er r(x x1 1+x x2 2)|)|很大，很大，很大，很大，x x1 1+x x2 2的有效的有效的有效的有效数字会减少。应该避免上述情况出现。数字会减少。应该避免上述情况出现。数字会减少。应该避免上述情况出现。数字会减少。应该避免上述情况出现。34阜师院数科院第一章 误差W Y更细的误差估计分析更细的误差估计分析22 2）对乘法：对乘法：对乘法：对乘法：当当当当x x1 1或或或或x x2 2的绝

46、对值很大时的绝对值很大时的绝对值很大时的绝对值很大时|e e(x x1 1 x x2 2)|)|可能很大；可能很大；可能很大；可能很大；3 3）对除法对除法对除法对除法 ：除数除数除数除数x x2 2接近于零时，接近于零时，接近于零时，接近于零时，|e e(x x1 1/x x2 2)|)|可能很大；可能很大；可能很大；可能很大；4 4）对开方对开方对开方对开方 ：通常会缩小相对误差，提高精度；通常会缩小相对误差，提高精度；通常会缩小相对误差，提高精度；通常会缩小相对误差，提高精度；5 5）对乘方：对乘方：对乘方：对乘方：这表明这表明xn的相对误差是的相对误差是x的相对误差的的相对误差的n倍。

47、倍。特别地，特别地，x1/2的相对误差是的相对误差是x的相对误差的一半。的相对误差的一半。上述两种情况都需要避免，以免引起绝对误差的严上述两种情况都需要避免，以免引起绝对误差的严上述两种情况都需要避免，以免引起绝对误差的严上述两种情况都需要避免，以免引起绝对误差的严重扩大，影响精度；重扩大，影响精度；重扩大，影响精度；重扩大，影响精度；35阜师院数科院第一章 误差W Y条件数的概念条件数的概念 这两个系数表示计算结果相对于数据误差的放大这两个系数表示计算结果相对于数据误差的放大这两个系数表示计算结果相对于数据误差的放大这两个系数表示计算结果相对于数据误差的放大与缩小倍数与缩小倍数与缩小倍数与缩

48、小倍数 。即：即：即：即：它们的绝对值很大时，则它们的绝对值很大时，则它们的绝对值很大时，则它们的绝对值很大时，则e e(y y)或或或或e er r(y y)可能很大，亦可能很大，亦可能很大，亦可能很大，亦 即数据即数据即数据即数据x xi i的微小变化可能引起计算结果的微小变化可能引起计算结果的微小变化可能引起计算结果的微小变化可能引起计算结果y y的很大误的很大误的很大误的很大误 差。差。差。差。这种问题称为病态问题或坏条件问题，两个系数称这种问题称为病态问题或坏条件问题，两个系数称这种问题称为病态问题或坏条件问题，两个系数称这种问题称为病态问题或坏条件问题，两个系数称为为为为y y的的的的条件数条件数条件数条件数。条件数绝对值很大时，称求。条件数绝对值很大时，称求。条件数绝对值很大时，称求。条件数绝对值很大时，称求y y问题为病态问题为病态问题为病态问题为病态问题。上述大小值接近的同号数相减，乘数绝对值很大，问题。上述大小值接近的同号数相减，乘数绝对值很大，问题。上述大小值接近的同号数相减，乘数绝对值很大，问题。上述大小值接近的同号数相减，乘数绝对值很大，除数接近于零，都是病态问题。除数接近于零，都是病态问题。除数接近于零，都是病态问题。除数接近于零，都是病态问题。36阜师院数科院第一章 误差W Y第一章第一章结结 束束37阜师院数科院第一章 误差