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1、数值分析误差第1页，本讲稿共28页主要内容主要内容误差的误差的来源与分类来源与分类误差与有效数字误差与有效数字在近似计算中应注意的几个问题在近似计算中应注意的几个问题第2页，本讲稿共28页1.来源与分类来源与分类(Source&Classification)模型误差模型误差参数误差参数误差(观测误差观测误差)方法误差方法误差(截断误差截断误差)舍入误差舍入误差第3页，本讲稿共28页1.1 模型误差模型误差(ModelingError)用用计计算算机机解解决决实实际际问问题题时时，首首先先要要建建立立数数学学模模型型，各各种种实实际际问问题题是是十十分分复复杂杂的的，而而数数学学模模型型是是对对
2、被被描描述述的的实实际际问问题题进进行行抽抽象象、简简化化而而得得到到的的，往往往往忽忽略略了了一一些些次次要要因因素素，因因而而是是近近似似的的，我我们们把把数数学学模模型型与与实实际际问问题题之之间间出出现现的的这这种种误误差差称称为为模模型型误差误差。如自由落体公式。如自由落体公式忽略了空气阻力。忽略了空气阻力。第4页，本讲稿共28页数数学学模模型型中中的的物物理理参参数数的的具具体体数数值值，一一般般通通过过实实验验测测定定或或观观测测得得到到的的，因因此此与与真真值值之之间间也也有有误误差差，这这种种误差称为误差称为参数误差参数误差或或观测误差观测误差。例例如如前前例例中中的的重重力
3、力加加速速度度g=9.8g=9.8米米/秒秒，这这个个数数值值是是由由多多次次实实验验而而得得到到的的结结果果实实际际的的值值有有一一定定的的误误差差，这时这时g-9.8g-9.8就是参数误差。就是参数误差。1.2 参数误差参数误差(观测误差，观测误差，MeasurementError)第5页，本讲稿共28页1.3 方法误差方法误差 (截断误差截断误差 TruncationError）在在数数学学模模型型（包包括括参参数数值值）确确定定以以后后，就就常常要要考考虑虑选选用用某某种种数数值值方方法法具具体体进进行行计计算算，许许多多数数值值方方法法都都是是近近似似方方法法，故故求求出出的的结结果
4、果与与准准确确值值之之间间是是有有误误差差的的，该该误误差差称称为为截截断断误差或方法误差。例如，函数误差或方法误差。例如，函数f(x)用用Taylor多项式多项式近似代替，则数值方法的截断误差为：近似代替，则数值方法的截断误差为：第6页，本讲稿共28页对对于于参参与与计计算算的的数数据据用用计计算算机机做做数数值值计计算算时时，所所计计算算数数据据的的位位数数可可能能很很多多甚甚至至可可能能有有无无穷穷多多位位，而而计计算算机机的的字字长长有有限限的的，因因此此只只能能对对有有限限位位进进行行计计算算，原原始始数数据据和和计计算算结结果果在在计计算算机机上上表表示示均均用用4 4舍舍5 5入
5、入或或截截去去的的方方法法进进行行处处理理，这这种种误误差差称称为为舍舍入入误误差差。例例如如用用近近似似代代替替，产生的误差：，产生的误差：即即4 4舍舍5 5入产生的误差就是舍入误差。入产生的误差就是舍入误差。1.4 舍入误差舍入误差(RoundingError）第7页，本讲稿共28页1.5 各种误差产生的时机各种误差产生的时机实际问题数学模型数学方法求解过程计算结果模型误差模型误差参数误差参数误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差舍入误差会产生积累，其舍入误差会产生积累，其他三种误差没有积累。他三种误差没有积累。第8页，本讲稿共28页2.误差与有效数字误差与有效数字(ErrorandSig
6、nificantDigits)如果如果x*为为x的近似值的近似值,称称e*=x-x*为为绝对误差绝对误差。绝绝对误差往往是未知的，而只知道它的一个上限，对误差往往是未知的，而只知道它的一个上限，此此上限上限|e*|=|x-x*|记为记为*,称为称为绝对误差限绝对误差限(accuracy)。工程上常记为工程上常记为x=x*，例如例如绝对误差绝对误差(absoluteerror)第9页，本讲稿共28页相对误差相对误差(relative error)称为近似值x*的相对误差；的绝对值的上界 称为相对误差限，即 绝对误差限与相对误差限的关系第10页，本讲稿共28页有效数字有效数字(Significan
7、tDigits)在实际计算中,经常按四舍五入原则取近似值.例如:它们的误差都不会超过末位数字的半个单位,即第11页，本讲稿共28页定义定义1.2.5设设x为准确值为准确值,x*为为x的近似值，记的近似值，记x*=0.a1a2an10m(其中其中a10),),若若|x-x*|0.510m-n (即即an的截取按四舍五入规则的截取按四舍五入规则)，则称则称x*有有n位有效数字，精确到位有效数字，精确到10m-n。例如例如=3.1415926535897932，如果取，如果取*=3.1415，问，问*有几位有效数字？有几位有效数字？证明：证明：*=0.3141510=0.31415101 1|-|-
8、*|=0.0000926|=0.00009260.5100.510-3-3=0.510=0.5101-41-4 所以所以有有4 4位有效数字位有效数字,精确到小数点后第精确到小数点后第3 3位。位。可以证明可以证明*=3.14159有有6位有效数字。位有效数字。有效数字愈多愈精确有效数字愈多愈精确第12页，本讲稿共28页当两个相近的数相减时，会大大的损失当两个相近的数相减时，会大大的损失有效数字的位数，使得相对误差会变得有效数字的位数，使得相对误差会变得很大。很大。3在近似计算中应注意的几个问题在近似计算中应注意的几个问题3.1做减法要避免两个相近的数相减做减法要避免两个相近的数相减第13页，
9、本讲稿共28页解解：x-y=1.5846-1.5839=0.0007x，y的有效数字是的有效数字是5位，而位，而x-y的有效数的有效数字却只有字却只有1位，这样使得有效数字的位数位，这样使得有效数字的位数大大的减少了。大大的减少了。例例1:已知已知x=1.5846,y=1.5839,求求x-y第14页，本讲稿共28页例例2.已知已知x=18.496,y=18.493取取4位有效数字位有效数字计算计算x-y的近似值，并估计其相对误差的近似值，并估计其相对误差.而而x-y=18.496-18.493=0.003其相对误差为其相对误差为解：取解：取x*=18.50，y*=18.49进行计算得进行计算
10、得x*-y*=18.50-18.49=0.01可以看到相对误差比较大可以看到相对误差比较大.第15页，本讲稿共28页例如，当例如，当x很大时很大时和和很接近，直很接近，直接计算接计算就会大大的损失有效数字，此就会大大的损失有效数字，此时应把公式变形，分子、分母同乘一个共轭时应把公式变形，分子、分母同乘一个共轭根式，即根式，即在编程序时，可采取以下措施：在编程序时，可采取以下措施：1).对参加运算的量多保留几位有效数字；对参加运算的量多保留几位有效数字；2).变换计算公式，变换计算公式，这样求出的结果就比较准确。这样求出的结果就比较准确。第16页，本讲稿共28页又例如，当又例如，当x1与与x2很
11、接近时，很接近时，lnx1-lnx2就就可能损失有效数字过多，一般变形为可能损失有效数字过多，一般变形为：这样求出的结果就比较准确。这样求出的结果就比较准确。第17页，本讲稿共28页分母的值就变的很小，一般应变形为分母的值就变的很小，一般应变形为:3.2做除法运算时作分母的量不要太小做除法运算时作分母的量不要太小例如，计算例如，计算时，时，会使会使的绝对误的绝对误差变的很大，差变的很大，一般遇到这种情况把公式一般遇到这种情况把公式变形变形,例如例如当当|x|非常小时，非常小时，使用此公式就比较可靠。使用此公式就比较可靠。第18页，本讲稿共28页若绝对值相差很大的两个数做加，减法运若绝对值相差很
12、大的两个数做加，减法运算时绝对值较小的数往往被绝对值较大的数算时绝对值较小的数往往被绝对值较大的数“吃掉吃掉”，绝对值较小的值不能发挥作用，影响，绝对值较小的值不能发挥作用，影响计算结果的准确性。计算结果的准确性。3.3防止大数防止大数“吃掉吃掉”小数小数例例3求方程求方程x2-(109+1)x+109=0的根的根(保留保留8位位10进制数进制数)。第19页，本讲稿共28页解：解：很容易可以求出此方程的根为很容易可以求出此方程的根为x1=109,x2=1如果用二次方程的求根公式如果用二次方程的求根公式来编程时就可能得不到正确的结果。来编程时就可能得不到正确的结果。第20页，本讲稿共28页 如如
13、果果我我们们使使用用的的计计算算机机只只能能保保留留小小数数点点后后8 8位位，因因为为在在运运算算前前计计算算机机要要先先把把数数“规规格格化化”，下面我们看下面我们看 第一步：把第一步：把两个数对阶两个数对阶“规格化规格化”的的运运算算，把把两两个个数数按按“对对阶阶”规规格格化化后后，参参加加运运算的量表示为算的量表示为第21页，本讲稿共28页第二步：把两个数对阶相加第二步：把两个数对阶相加两数相加：按4舍5入保留8位第22页，本讲稿共28页用求根公式可得方程的根：用求根公式可得方程的根：第三步：用求根公式求方程的解第三步：用求根公式求方程的解所以所以由由此此可可看看出出结结果果的的误误
14、差差太太大大，原原因因就就是是在在作作加加减减法法运运算算时时要要“对阶对阶”，因而小数，因而小数1 1被大数被大数109吃掉了。吃掉了。第23页，本讲稿共28页采取的措施采取的措施 从从上上面面的的计计算算可可以以看看出出x1是是可可靠靠的的，而而x2是是不不可可靠靠的的，我我们们不不能能使使用用求求根根公公式式计计算算x2，我我们们利利用两根间的关系求用两根间的关系求x2，即，即可以看出，用此方法是可靠的。可以看出，用此方法是可靠的。在编程时，若在编程时，若b0先计算先计算x2，上述方法计算，上述方法计算x1。第24页，本讲稿共28页3.4 要注意计算公式的简化，减少运算次数要注意计算公式
15、的简化，减少运算次数 简化计算公式很重要，将直接影响计算的速简化计算公式很重要，将直接影响计算的速度和误差的积累，有时可以使一个无法实现度和误差的积累，有时可以使一个无法实现的计算能够实现。的计算能够实现。例例计算多项式：计算多项式：的值。的值。若直接用上面公式计算，当计算若直接用上面公式计算，当计算 项时，需项时，需要进行要进行k次乘法，因而求出这个多项式的值时需要次乘法，因而求出这个多项式的值时需要进行进行 次乘法和次乘法和n次加法，当次加法，当n很大且要反复很大且要反复计算此多项式的值时，工作量将会很大计算此多项式的值时，工作量将会很大.第25页，本讲稿共28页但我们若将公式改写为：但我
16、们若将公式改写为：改进的措施改进的措施则只需要则只需要n次乘法和次乘法和n次加法，即可得到计算结果，可以次加法，即可得到计算结果，可以看出，将公式改写后可大大减少运算次数看出，将公式改写后可大大减少运算次数。例如例如：C函数：函数：doublePolynomial(double*a,intn,doublex)doublep=an;for(intk=n-1;k=0;k-)p=p*x+ak;returnp;第26页，本讲稿共28页在在数数值值计计算算时时，会会产产生生那那四四种种误误差差，这这四四种种误差的来源是什么；误差的来源是什么；绝对误差和绝对误差限的定义及计算公式；绝对误差和绝对误差限的定义及计算公式；相对误差和相对误差限的定义及计算公式；相对误差和相对误差限的定义及计算公式；有有效效数数字字的的定定义义，有有效效数数字字和和绝绝对对误误差差的的关关系？有效数字和相对误差的关系？系？有效数字和相对误差的关系？保保留留3 3位位有有效效数数字字与与保保留留小小数数点点以以后后3 3位位数数字字的区别。的区别。误差知识部分的自学提纲误差知识部分的自学提纲第27页，本讲稿共28页作业作业习题一习题一1.1,1.2,1.4,1.5第28页，本讲稿共28页