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1、2数数值值计计算算的的误误差差一、误差来源的分类一、误差来源的分类二、误差分析的重要性二、误差分析的重要性三、绝对误差和绝对误差限三、绝对误差和绝对误差限四、相对误差和相对误差限四、相对误差和相对误差限五、有效数字五、有效数字六、数值运算的误差估计六、数值运算的误差估计一、误差来源的类型一、误差来源的类型 1.模型误差模型误差 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 /*Modeling Error*/2.观测误差观测误差 通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 /*Measurement Error*/注:注:通常根据测量工具的
2、精度,可以知通常根据测量工具的精度,可以知道这类误差的上限值。道这类误差的上限值。当数学模型得不到精确解时,要用数当数学模型得不到精确解时,要用数值计算方法求它的近似解,由此产生的值计算方法求它的近似解,由此产生的误差称为误差称为截断误差或方法误差截断误差或方法误差3.截断误差截断误差 求近似解求近似解 方法误差方法误差(截断误差截断误差)/*Truncation Error*/由于计算机字长有限,原始数据的输由于计算机字长有限,原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差,入及浮点数运算过程中都有可能产生误差,这样产生的误差称为这样产生的误差称为舍入误差舍入误差4.舍入误差舍入误差 机器
3、字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差 /*Roundoff Error*/在数值分析课程中,主要研究在数值分析课程中,主要研究0 截断误差截断误差0 舍入误差舍入误差 二、误差分析的重要性二、误差分析的重要性 考察如下两个方程组考察如下两个方程组试思考这两个方程组的解的关系?试思考这两个方程组的解的关系?但对应的解为但对应的解为由由此此看看出出系系数数矩矩阵阵完完全全相相同同,而而常常数数项项矩矩阵阵有有微微小小差差别别的的方方程程组组,其其解解竟竟然然相相差差得得很大!很大!解的最大误差解的最大误差=2=200%据说,美军据说,美军 1910 1910 年的一次部队的命令传递是这样的年的一
4、次部队的命令传递是这样的:营营长长对对值值班班军军官官:明明晚晚大大约约 8 8点点钟钟左左右右,哈哈雷雷彗彗星星将将可可能能在在这这个个地地区区看看到到,这这种种彗彗星星每每隔隔 7676年年才才能能看看见见一一次次。命命令令所所有有士士兵兵着着野野战战服服在在操操场场上上集集合合,我我将将向向他他们们解解释释这这一一罕罕见见的的现现象象。如如果下雨的话,就在礼堂集合,我为他们放一部有关彗星的影片。果下雨的话,就在礼堂集合,我为他们放一部有关彗星的影片。值值班班军军官官对对连连长长:根根据据营营长长的的命命令令,明明晚晚8 8点点哈哈雷雷彗彗星星将将在在操操场场上上空空出出现现。如如果果下下
5、雨雨的的话话,就就让让士士兵兵穿穿着着野野战战服服列列队队前前往往礼礼堂堂,这一罕见的现象将在那里出现。这一罕见的现象将在那里出现。三、绝对误差和绝对误差限三、绝对误差和绝对误差限 定定义义 设设某某一一量量的的准准确确值值为为x,近近似似值值为为x*,则则x*与与x之之差差叫叫做做近近似似值值x*的的绝绝对对误误差差(简称误差简称误差),记为,记为?判断题:判断题:绝对误差是误差的绝对值绝对误差是误差的绝对值定义定义 若指定一个适当小的正数若指定一个适当小的正数 ,使,使 有有时时用用 表表示示近近似似值值x*的的精精度度或准确值的所在范围。或准确值的所在范围。则则 称为近似值称为近似值 x
6、*的绝对误差限。的绝对误差限。绝对误差限的性质绝对误差限的性质(1)在在 实实 际际 问问 题题 中中,绝绝 对对 误误差差 一一 般般 是是 有有 量量 纲纲 的的,绝绝 对对 误误差限也是有量纲的。差限也是有量纲的。例例如如,测测得得某某物物体体的的长长度度为为5m,其其误误差限为差限为0.01m 思思考考题题:设设有有两两个个温温度度计计,其其一一测测量量1000时时的的绝绝对对误误差差限限为为5,而而另另一一个个测量测量100时的绝对误差限为时的绝对误差限为1。问:哪一个温度计更精确?问:哪一个温度计更精确?四、相对误差和相对误差限四、相对误差和相对误差限答:答:虽然后者绝对误差限的数
7、值较小,虽然后者绝对误差限的数值较小,但第一种温度计更为精确。但第一种温度计更为精确。决定一个量的近似值的精确度除了决定一个量的近似值的精确度除了要看绝对误差的大小外,还要考虑到要看绝对误差的大小外,还要考虑到该量本身的大小。该量本身的大小。定义定义 绝对误差与准确值之比绝对误差与准确值之比称为称为x*的相对误差的相对误差(2)由于准确值由于准确值x未知,故实际问题未知,故实际问题中,中,当当|较小时,常取较小时,常取注注(1)相对误差是个无量纲量。值相对误差是个无量纲量。值小者精度高。小者精度高。当当|较小时,可用下式计算较小时,可用下式计算定义定义 若指定一个适当小的正数若指定一个适当小的
8、正数 ,使,使则称则称 为近似值为近似值 x*的的相对误差限相对误差限取取 x2*=3.14 作为作为的近似值,则的近似值,则取取 x3*=3.1416作为作为的近似值,则的近似值,则它们的误差都不超过末位数字的半个它们的误差都不超过末位数字的半个单位。单位。若若近近似似值值x*的的绝绝对对误误差差限限是是某某一一位位的的半半个个单单位位,该该位位到到x*的的第第一一位位非非零零数数字字一一共共有有n位位,则则称称近近似似值值x*有有n位位有有效数字效数字,或说,或说x*精确到该位精确到该位定义:有效数字定义:有效数字例:例:x1*=3,x2*=3.14,x3*=3.1416作为作为的近似值,
9、则有效数字的近似值,则有效数字分别有多少位?分别有多少位?答:答:1,3,5例:例:准确数有多少位有效数字?准确数有多少位有效数字?答:答:无穷多位有效数字无穷多位有效数字 近似值后面的零不能随便省去!近似值后面的零不能随便省去!有效数字的性质有效数字的性质(1)有效数字越多,则绝对误差越小有效数字越多,则绝对误差越小(2)有效数字越多,则相对误差越小有效数字越多,则相对误差越小 有效数字的位数可刻画近似数的有效数字的位数可刻画近似数的精确度!精确度!解:解:故相应的误差限计算如下故相应的误差限计算如下因为因为(2)二元函数的误差估计二元函数的误差估计问题:问题:设设y=f(x1,x2),x1
10、,x2的近似值的近似值为为x1*,x2*,则,则y的误差如何计算?的误差如何计算?解解由于由于故绝对误差限为故绝对误差限为与前面类似的推导可得多元函数的误差与前面类似的推导可得多元函数的误差估计估计2.加减乘除运算的估计误差加减乘除运算的估计误差(注意:下列公式均省略了(注意:下列公式均省略了“*”)(1)加法运算:加法运算:即即而而则则相对误差限相对误差限加法的所有误差估计公式:加法的所有误差估计公式:和的误差和的误差(限限)等于误差等于误差(限限)之和之和(2)减法运算:减法运算:即即而而减法的所有误差估计公式:减法的所有误差估计公式:和和(差差)的误差限等于误差限之和的误差限等于误差限之
11、和和和(差差)的误差等于误差之和的误差等于误差之和(差差)注意:注意:(3)乘法运算乘法运算故误差限计算公式为故误差限计算公式为因为因为积积的的相相对对误误差差(限限)等等于于相相对对误误差差(限限)之和之和故相对误差限计算公式为故相对误差限计算公式为乘法的所有误差估计公式:乘法的所有误差估计公式:(4)除法的所有误差估计公式:除法的所有误差估计公式:注意:注意:积积(商商)的相对误差限等于两个的相对误差限等于两个自变量相对误差限的和。自变量相对误差限的和。例:例:设有三个近似数,设有三个近似数,a=2.31,b=1.93,c=2.24它们都有三位有效数字,试计算它们都有三位有效数字,试计算p=a+bc,(p)和和r(p)并问:并问:p的计算的计算结果能有几位有效数字?结果能有几位有效数字?解:解:由题意可知由题意可知故故因为因为所所以以 p=6.6332精精确确到到小小数数点点后后第第一一位位,故故能能有有两两位位有有效效数字。数字。作业:作业:习题习题 1 1,2 2,3 3,4 4