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1、 第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 1往往关心过程中力的效果：往往关心过程中力的效果：力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：力在时间上的积累效应：平动平动 冲量冲量 动量改变动量改变转动转动 冲量矩冲量矩 角动量改变角动量改变力在空间上的积累效应力在空间上的积累效应功功 能量改变能量改变牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题如宏观的碰撞、微观的散射中，在有些问题如宏观的碰撞、微观的散射中，23.1 冲量、动量、质点动量定理冲量、动量、质点动量定理3.2 质点系动量定理质点系动量定理 3.3 动量守恒定律动量守恒定律3.4 变质量系统、火
2、箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理3.5 质心质心3.6 质心运动定理质心运动定理3.7 质点的角动量质点的角动量3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律3.9 质点系的角动量质点系的角动量3.10 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 33.1 冲量、动量、质点动量定理冲量、动量、质点动量定理定义：定义：力的力的冲量冲量 质点质点动量动量 质点动量定理质点动量定理（微分形式）微分形式）（积分形式）积分形式）4平均冲力平均冲力 求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力 ,(忽略重力忽略重力)解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率【TV】冲力演示冲
3、力演示Ft0 t【例例】质量为质量为 m=0.58kg 的篮球从的篮球从 h=2m 的的 高度下落，到达地面后以同样速率反弹，触高度下落，到达地面后以同样速率反弹，触 地时间地时间 t=0.019s。5帆帆风风【讨论讨论】逆风行舟逆风行舟龙骨龙骨63.2 质点系动量定理质点系动量定理 ：质点：质点 i 受的受的合外力合外力：质点：质点 j 对对 i 的的内力内力：质点：质点 i 的动量的动量对质点对质点 i：对质点系：对质点系：由牛顿由牛顿III定律有：定律有：i j质点系质点系7所以有：所以有：令令得：得：或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）质点系动量定理质点系动量定理（
4、积分形式）（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内力。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。8dmx【例例】水冲叶片反向回水，水冲叶片反向回水，流速流速v0=45 m/s，v=4.0 m/s，流量流量q=dV/dt=5.5m3/s 解：选对象解：选对象(质系质系)为为dmdt内与叶片作用内与叶片作用本例用质点系讨论，因为本例用质点系讨论，因为dt内内dm水所包含质水所包含质点陆续与叶片碰撞，彼此速度不同。点陆续与叶片碰撞，彼此速度不同。x方向投影：方向投影：求：对叶片的冲力求：对叶片的冲力93.3 动量守恒定律动
5、量守恒定律 质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。几点说明：几点说明：质点系所受合外力为零时，质点系的总动量质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间改变不随时间改变3.动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。104.若某个方向上合外力为零，则该方向上动若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒，尽管总动量可能并不守恒。量守恒，尽管总动量可能并不守恒。5.
6、当外力当外力 内力且作用时间极短时（如碰内力且作用时间极短时（如碰 撞），可认为动量近似守恒。撞），可认为动量近似守恒。6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基 本的定律，它在宏观和微观领域均适用。本的定律，它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析过程、系统用守恒定律作题，应注意分析过程、系统 和条件。和条件。11 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）低速（低速（v c）情况下的两类变质量问题情况下的两类变质量问题：下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。3.4 变质量系统、火箭飞行原
7、理变质量系统、火箭飞行原理 这属于这属于相对论质量相对论质量问题，问题，此处不讨论。此处不讨论。度改变度改变 m=m(v)，还有一类变质量问题是发生在还有一类变质量问题是发生在v c的情况下，的情况下，这时即使没有粘附和抛射，这时即使没有粘附和抛射，抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）质量也可以随速质量也可以随速12条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速 u 喷出喷出t 时刻：时刻：一一.火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）1.火箭的速度火箭的速度系统：系统：火箭壳体火箭壳体+尚存燃料尚存燃料参考系：参考系：地面地面先分析
8、一先分析一微过程：微过程：t t+dtt+dt 时刻：时刻：喷出燃料质量喷出燃料质量 dm=dM喷出燃料速度喷出燃料速度 v u系统质量系统质量 M，速度，速度v，动量，动量 Mv13剩余系剩余系统质量统质量 M dm=M+dM剩余剩余系统速度系统速度 v+dv由动量守恒有：由动量守恒有：略去略去2阶小量得：阶小量得：Mdv =udM速度公式速度公式 t+dt 时刻：时刻：Mv=(M+dM)(v+dv)dM(v u)14引入引入火箭质量比：火箭质量比：得到得到提高提高 vf 的途径：的途径：为有效提高为有效提高 vf，采用多级火箭，如，采用多级火箭，如2、3级：级：(1)提高提高 u（现可达（
9、现可达 u=4.1 km/s）(2)增大增大 N（但（但 单级火箭单级火箭N 提得很高不合算）提得很高不合算）15t+dt时刻：时刻：由动量定理，由动量定理，dt 内喷出气体所受冲量满足内喷出气体所受冲量满足 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v（即主体速度），动量（即主体速度），动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v u)vdm由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为=F气对箭气对箭dt速度速度 v u，动量动量 dm(v u)16二二.重力场中的火箭发射重力场中的火箭发射 可得可得 t 时刻火箭的速度（
10、自己推导）：时刻火箭的速度（自己推导）：地面附近重力加速度地面附近重力加速度 g近似为常数，近似为常数，Mt：t 时刻火箭壳和尚存燃料的质量时刻火箭壳和尚存燃料的质量17一一.质心的概念质心的概念定义质点系的定义质点系的质心质心 C 的位矢：的位矢：质心位置是质心位置是质点位置以质点位置以质量为质量为权重权重的平均值。的平均值。3.5 质心质心mizyx0C为便于研究质点系总体运动，引入为便于研究质点系总体运动，引入质心质心概念。概念。质心是质量分布中心质心是质量分布中心,也是质系运动代表点也是质系运动代表点18二二.几种系统的质心几种系统的质心 两质点系统两质点系统 m1 r1=m2 r2
11、连续体连续体m2m1r1r2CdmC0m zx y19R O rdx y O均质圆盘均质圆盘“小线度小线度”物体的质心和重心重合物体的质心和重心重合 均匀杆、圆盘、环、球的质心位于几何中心均匀杆、圆盘、环、球的质心位于几何中心【例例】如图，求如图，求挖掉小圆盘后系统质心坐标。挖掉小圆盘后系统质心坐标。O rd由对称性分析，质心由对称性分析，质心 C 应在应在 x 轴上。轴上。解：解：令令 为质量面密度，为质量面密度，CxC20三角形：每小条质心在其中心，三角形：每小条质心在其中心，故质心必在中线上，所以其质故质心必在中线上，所以其质心为其重心。心为其重心。【例例】长度为长度为l的细杆如图，质量
12、的细杆如图，质量线密度线密度 ，求质心坐标，求质心坐标xC解：解：有两个对称元素，质心在对称元素的交线上。有两个对称元素，质心在对称元素的交线上。213.6 质心运动定理质心运动定理一一.质心运动定理质心运动定理质点系的总动量质点系的总动量 是质点系加权是质点系加权”平均平均”速速度度mizyx0C22由由 质心运动定理质心运动定理得得拉力拉力纸纸C球向哪边移动？球向哪边移动？质心运动：像一个质点的运动，该质点位于质心运动：像一个质点的运动，该质点位于 质心处，且集中了整个质点系的质心处，且集中了整个质点系的 质量和所受外力。质量和所受外力。【思考思考】通常所谓通常所谓“物体物体”的运动，实际
13、上就是物体的运动，实际上就是物体质心的运动。质心的运动。23系统内力不会影响质心的运动：系统内力不会影响质心的运动：光滑水平面上滑动的扳手，质心做匀速光滑水平面上滑动的扳手，质心做匀速直线运动。直线运动。背越式跳高背越式跳高,质心为抛物线质心为抛物线,可低于横杆可低于横杆20cm24 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍 做抛物线运动，直至部分碎片触地。做抛物线运动，直至部分碎片触地。【TV】质心运动质心运动质心运动质心运动【演示演示】25若合外力为零，若合外力为零，二二.动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒质点系动量守恒若合外力分量为零，
14、若合外力分量为零，质点系分动量守恒质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则则则质心相应分速度不变质心相应分速度不变例如：例如：26质心系：质心系：运动速度等于质心速度的平动运动速度等于质心速度的平动 参考系。参考系。质心系不一定是惯性系，若质心有加速度，质心系不一定是惯性系，若质心有加速度，则质心系是平动非惯性系。则质心系是平动非惯性系。质点系的复杂运动可看成下列运动的组合：质点系的复杂运动可看成下列运动的组合：这由质心运动定理决定。这由质心运动定理决定。1.质点系整体随质心的平动：质点系整体随质心的平动：2.各质点相对于质心的运动：各质点相对于质
15、心的运动：三三.质心（参考）系质心（参考）系这需要在质心系中考察质点系的运动。这需要在质心系中考察质点系的运动。27质心系的重要特征：质心系的重要特征：零动量参考系零动量参考系即在质心系中，质点系的总动量为零。即在质心系中，质点系的总动量为零。是质点相对质心系的速度，是质点相对质心系的速度，是质心系中质心的速度，等于零。是质心系中质心的速度，等于零。证：证：两质点系统在其质心系中，两质点系统在其质心系中，总具有总具有等值、反向等值、反向的动量。的动量。28解：解：【例例】如图绳的线密度为如图绳的线密度为 ，求：求：（1）v 恒定，恒定，F=?（2）a 恒定，恒定，F=?aF y y软绳软绳v此
16、题可用变质量问题或动量定理求解，此题可用变质量问题或动量定理求解，这里用这里用质心运动定理质心运动定理求解。求解。设绳设绳长长 l，质心坐标：质心坐标：y0y yC29（1）v 恒定，恒定，（2）a 恒定，恒定，质心受力：质心受力：支持力支持力拉力拉力F，重力重力 lg，(l-y)g（为何？）（为何？）y0y lgF(l-y)g yC根据质心运动定理有：根据质心运动定理有：30 一一.角动量的定义角动量的定义 质点质点 m 对对参考点参考点 O的的角动量角动量定义为：定义为：单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）垂直于垂直于 注意：注意：参考
17、点参考点O 是参考系内一固定点。是参考系内一固定点。3.7 质点的角动量质点的角动量mO31质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为：对圆心的角动量的大小为：方向方向 圆面圆面不变。不变。L=mvR，注意：参考点选择不同，角动量一般也不同，注意：参考点选择不同，角动量一般也不同，对角动量必须明确参考点。对角动量必须明确参考点。方向变化方向变化方向竖直向上不变方向竖直向上不变OlO 锥摆锥摆mmO32二二.质点的角动量定理、力矩质点的角动量定理、力矩由由有有定义力定义力对参考点对参考点 O 的的力矩：力矩：称为称为力臂力臂（是相对是相对参考点参考点 O 的的位矢）位
18、矢）mOr033 质点角动量定理质点角动量定理 （微分形式）（微分形式）质点角动量定理质点角动量定理 （积分形式）（积分形式）称为称为冲量矩冲量矩 力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用34【例例】锥摆的角动量锥摆的角动量对对 O 点点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）合力不为零，动量改变！）OlO 锥摆锥摆m35zMzr sin 三三.质点对定轴的角动量定理质点对定轴的角动量定理 1.力对轴的力矩力对轴的力矩把对把对O点的点的力矩向过力矩向过O点的点的轴如轴如
19、 z 轴投影：轴投影：力对轴的力矩力对轴的力矩O 平面平面 z 轴轴362.质点对轴的角动量质点对轴的角动量 质点对轴的角动量质点对轴的角动量3.质点对定轴的角动量定理质点对定轴的角动量定理 质点对定轴的角动量定理质点对定轴的角动量定理（是固定方向是固定方向）zLzr sin O 平面平面 z 轴轴37质点角动量守恒定律：质点角动量守恒定律：3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 通过参考点通过参考点 O，如有心力场，如有心力场的条件的条件 质点对轴的角质点对轴的角 动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。如果合力力矩为零，则质点角动量
20、守恒。如果合力力矩为零，则质点角动量守恒。38【讨论讨论】开普勒第二定律开普勒第二定律质点在有心力作用下运动质点在有心力作用下运动离心节速器离心节速器【演示演示】（1）L=mvrsin =常量常量（2）轨道在同一平面内）轨道在同一平面内 S m（有心力）（有心力）O因为因为 通过通过 O 点：点：掠面速度：掠面速度：rvF39【讨论讨论】星云的盘状结构星云的盘状结构旋旋转转的的星星云云pc 秒差距，秒差距，1pc=3.086 1016m40 星球所需向心力：星球所需向心力：星球具有原始角动量星球具有原始角动量但当但当 时，时，定性解释：定性解释：引力使引力使 r 减小，减小，r 就不变了。就不
21、变了。在在 z 轴方向无此限制，可在引力下不断收缩。轴方向无此限制，可在引力下不断收缩。引力可近似为：引力可近似为：vrr0v0zm413.9 质点系的角动量质点系的角动量 质点系的角动量质点系的角动量（自己证）自己证）42质点系角动量守恒定律：质点系角动量守恒定律：如果外力矩的矢量和如果外力矩的矢量和为零，则质点系总角动量守恒。为零，则质点系总角动量守恒。质点系角动量和动量守恒相互独立吗？质点系角动量和动量守恒相互独立吗？质点系角动量定理质点系角动量定理于是有：于是有：注意：所有注意：所有 和和 都是对同一参考点而言！都是对同一参考点而言！如果外力矩的矢量和沿某一方向的分量为零，如果外力矩的
22、矢量和沿某一方向的分量为零，则质点系总角动量沿该方向的分量守恒。则质点系总角动量沿该方向的分量守恒。【思考思考】43【例例1】一长为一长为l 的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球 m1，碰时重力和轴力通过碰时重力和轴力通过 O，解：解：选选 m1（含杆）含杆）+m2为系统为系统另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度 角动量守恒：角动量守恒：lm1Ov0m2 解得：解得：（m1+m2）的水平动量是否守恒？的水平动量是否守恒？【思考思考】44解：解：选选 m1、m2、m3 为系统，为系统，求：求：碰后碰后
23、m1,m2,m3 速度，速度，m1和和m2的质心速度的质心速度【例例2】光滑光滑水平面上，水平面上，m1,m2 用长为用长为l 的轻杆连结，静止放的轻杆连结，静止放置，置，m3 以速度以速度 v0 垂直射向杆垂直射向杆中心中心 O，发生弹性碰撞。，发生弹性碰撞。Ov0m3m1m2C水平方向不受外力水平方向不受外力水平方向动量守恒水平方向动量守恒弹性碰撞：弹性碰撞：动能守恒动能守恒设碰后设碰后m1、m2、m3 的速度分别为的速度分别为v1、v2、v3垂直水平方向角动量守恒垂直水平方向角动量守恒45动量守恒：动量守恒：动能守恒：动能守恒：角动量守恒：角动量守恒：选与选与 O 点重合的定点，点重合的
24、定点，规定垂直页面向外为正：规定垂直页面向外为正：若选与质心若选与质心 C 重合的定点有：重合的定点有：v2Ov0m3m1m2Cv1v3 46v2Ov0m3m1m2Cv1v3解得：解得：若若 m1 m2，v1 v2，碰后杆、，碰后杆、m1、m2系统既系统既平动又转动（角速度会求吗？）。平动又转动（角速度会求吗？）。47设设 O 是是 S 系内一固定点，系内一固定点，在在 S 系中，质点系对系中，质点系对 O 点的角动量为：点的角动量为：3.10 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理一一.质心系中的角动量质心系中的角动量 在质心系中，质点系对质心在质心系中，质点系对质心 C 的角动量为：的角
25、动量为：在在 S 系中，质心系中，质心 C 对对 O 点的角动量为：点的角动量为：S C y x O zmi48利用关系：利用关系：可证明可证明二二.质点系对质心的角动量定理质点系对质心的角动量定理注意：注意：是相对固定点是相对固定点 O 的矢量，的矢量，是相对质心是相对质心 C 的矢量。的矢量。S C y x O zmi49 质心系中质点系对质心系中质点系对 质心质心的角动量定理的角动量定理所以所以50在质心系中，质点系角动量定理成立，与质在质心系中，质点系角动量定理成立，与质心系是否是惯性系无关。心系是否是惯性系无关。因为若质心系是非惯性系，则惯性力对质心因为若质心系是非惯性系，则惯性力对
26、质心的力矩为零：的力矩为零：设质心加速度为设质心加速度为 则有则有若把质点系在瞬间看成一整体，各质若把质点系在瞬间看成一整体，各质点所受重力对质心的力矩和等于什么？点所受重力对质心的力矩和等于什么？【思考思考】由此可知惯性力对质心的力矩为零。由此可知惯性力对质心的力矩为零。51小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量矢量矢量必须指定参考点必须指定参考点与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件动量动量矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件无需指定参考点无需指定参考点52冲量冲量 impulse动量动量 momentum动量守恒定律动量守恒定律 law of conservation of momentum质心质心 center of mass质心系质心系 frame of center of mass角动量角动量 angular momentum力矩力矩 moment of force中英文名称对照表中英文名称对照表 第三章结束第三章结束53