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1、动量与角动量动量与角动量第三章第三章大学物理学大学物理学力学力学1第三章第三章 动量与角动量动量与角动量3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理3.2 动量守恒定律动量守恒定律3.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理3.4 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律3.5 质点系的角动量定理、角动量守恒质点系的角动量定理、角动量守恒定律定律23.1 冲量与动量定理冲量与动量定理力的时间积累，即力的时间积累，即 冲量。冲量。2.动量定理动量定理1.冲量冲量（微分形式）（微分形式）在短时间在短时间 内内3重要性重要性：动量定理将过程量的计算转化为：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的
2、计算，比较方便。状态量的计算，比较方便。方向？方向？（积分形式）（积分形式）在有限时间内：在有限时间内：4例题例题1 质量为质量为m的质点，以恒速率的质点，以恒速率v 沿一正三角形的沿一正三角形的三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质点的冲量。点的冲量。m解：由质点的动量定理解：由质点的动量定理xy51.质点系的动量定理质点系的动量定理3.2 动量守恒定律动量守恒定律第第 i个个质点受力为：质点受力为：6第第 i个个质点受力为：质点受力为：对质点系所有对质点系所有N个个粒子求和：粒子求和：（由牛顿第三定律）（由牛顿第三定律）所以所以其中：其
3、中：7 作用于系统的合外力的冲量等于系统动作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。量的增量。2.质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律质点系所受质点系所受合外力为零合外力为零，总动量不随时间改变。，总动量不随时间改变。（内力不改变系统的总动量，总动量守恒。）（内力不改变系统的总动量，总动量守恒。）8（1）合外力为零，或外力与内力相比小很多）合外力为零，或外力与内力相比小很多（2）合外力沿某一方向为零；则沿此方向）合外力沿某一方向为零；则沿此方向（3）只适用于惯性系；）只适用于惯性系；（4）比牛顿定律更普遍的最基本的定律。）比牛顿定律更普遍的最基本的定律。守恒条件守恒条件说明：说明：（如碰
4、撞、打击、爆炸等过程），（如碰撞、打击、爆炸等过程），总动量守恒。总动量守恒。9例题例题2 如图所示如图所示,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为炮弹的出口速度为v，求求炮车的反冲速度炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。解解:把炮车和炮弹看成一个系统把炮车和炮弹看成一个系统发炮前发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力系统在竖直方向上的外力有重力 地面支持力地面支持力而且而且但在发射过程中但在发射过程中 并不成立（为什么？）并不成立（为什么？）vmM10系统所受的外力矢量和不为零，
5、系统的总动量不守恒。系统所受的外力矢量和不为零，系统的总动量不守恒。但在水平方向上系统的动量守恒但在水平方向上系统的动量守恒以地面为参考系以地面为参考系 S,S,以炮车为参考系以炮车为参考系SS。由伽里略变换由伽里略变换,炮弹相对于地面在水平方向的速度为炮弹相对于地面在水平方向的速度为根据动量守恒定律有根据动量守恒定律有则炮车的反冲速度为则炮车的反冲速度为 方向向左方向向左11例题例题3 火箭飞行原理火箭飞行原理x（t）（t+dt）MvM-dmv+dvdmu解：解：研究火箭（不考虑引力和空气阻力等任何外力研究火箭（不考虑引力和空气阻力等任何外力的影响）的影响）t 时刻系统的动量时刻系统的动量t
6、+dt 时刻系统的动量时刻系统的动量因为因为所以所以12火箭在喷出气体前后火箭在喷出气体前后系统动量守恒系统动量守恒略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量以火箭为研究对象，求喷出气体对火箭的推力以火箭为研究对象，求喷出气体对火箭的推力F。由动量定理由动量定理13提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一是提高火箭喷气速度第一是提高火箭喷气速度u第二是加大火箭质量比第二是加大火箭质量比Mi/Mf(选优质燃料选优质燃料 )(采取多级火箭采取多级火箭)143.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理N个粒子的系统，可定义质量中心个粒子的系统，可定义质量中心,即即质心质心。xyzmi一、质点系的一、
7、质点系的质心质心质点系质点系15对连续分布的物体对连续分布的物体xzyOdmc说明说明:质心处不一定有质量质心处不一定有质量质心是位置的加权平均值质心是位置的加权平均值16例题例题4 任意三角形的每个顶点有一质量任意三角形的每个顶点有一质量m,求质心。求质心。xyo（x1，y1）x2解：解：17二、质心运动定理二、质心运动定理质心速度质心速度质心的位矢质心的位矢质心加速度质心加速度18质点系的合外力质点系的合外力质点系的质量质点系的质量质点系的合内力质点系的合内力根据牛顿定律根据牛顿定律,对于质点系有对于质点系有:质点系的质量与其质心加速度的乘积等质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用在质点
8、系上所有外力的矢量和。于作用在质点系上所有外力的矢量和。19讨论讨论（1 1）质心的运动可看成是把质量和力都集质心的运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质点的运动；中在质心的一个质点的运动；质心处的质点质心处的质点代表质点系整体的平动。代表质点系整体的平动。（2 2）若）若质心速度不变就是动量守恒（同义语）质心速度不变就是动量守恒（同义语）（3）而质量中心最有资格代表质点系的平动。而质量中心最有资格代表质点系的平动。为什么？为什么？合外力直接主导质点系的平动，合外力直接主导质点系的平动，因为只有质心的加速度才满足上式。因为只有质心的加速度才满足上式。20 只要外力确定，不管作用点怎样，质心
9、的只要外力确定，不管作用点怎样，质心的加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质加速度就确定，质心的运动轨迹就确定，即质点系的平动就确定。点系的平动就确定。系统的内力不会影响质心的运动。系统的内力不会影响质心的运动。（如抛掷的物体、（如抛掷的物体、跳水的运动员、爆跳水的运动员、爆炸的焰火等，其质炸的焰火等，其质心的运动都是抛物心的运动都是抛物线）。线）。21例题例题5 水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量的质量m，纸被拉动时与球的摩擦力为纸被拉动时与球的摩擦力为 f。解：解：求：求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？秒后球相对桌面移动多少距离？作作 业
10、业3.1、3.2、3.19223.4 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律一、质点的角动量一、质点的角动量注意注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。23二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理*微分公式微分公式定义为对固定点定义为对固定点O的的力矩力矩24合外力矩对时间的积累作用合外力矩对时间的积累作用等于它的角动量变化等于它的角动量变化微分形式微分形式若力矩作用一段有限时间，则有若力矩作用一段有限时间，则有积分形式积分形式注
11、意注意 力矩、角动量均对惯性系中同一点而言力矩、角动量均对惯性系中同一点而言角动量定理角动量定理25三、质点的角动量守恒定律三、质点的角动量守恒定律由角动量定理由角动量定理 对于某一给定点对于某一给定点,当作用在质点上的合外当作用在质点上的合外力矩为零时力矩为零时,质点的角动量在运动过程中保持质点的角动量在运动过程中保持不变。不变。26例题例题6 质量为质量为m的圆锥摆摆球，以速率的圆锥摆摆球，以速率v运动时，对运动时，对O参考点的角动量是否守恒？对参考点的角动量是否守恒？对c参考点的角动量是否参考点的角动量是否守恒？守恒？解：摆球受力如图解：摆球受力如图（1）以）以O为参考点为参考点逆时针逆
12、时针重力矩重力矩张力矩张力矩顺时针顺时针27对对O点角动量守恒点角动量守恒（2）以）以C点为参考点点为参考点则对则对O点的点的合外力矩：合外力矩：重力矩：重力矩：张力矩：张力矩：方向随时间变化方向随时间变化对对C点的点的合外力矩合外力矩：对对C点角动量不守恒点角动量不守恒角动量角动量28例题例题7 7 当质子以初速当质子以初速v0通过质量较大的原子核时，原通过质量较大的原子核时，原子核可看作不动。质子受到原子核斥力的作用引起了散子核可看作不动。质子受到原子核斥力的作用引起了散射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。试求质子射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。试求质子和原子核最接近的距离和原
13、子核最接近的距离rs。解：解：质子与原子核碰撞，质子与原子核碰撞，对对原子核原子核所在点，角动量所在点，角动量守恒。守恒。式中式中m是质子的质量；是质子的质量；v0是质子在无限远处的初是质子在无限远处的初速；速；vs是质子在离原子核最近处的速度；是质子在离原子核最近处的速度；b是初速度是初速度的方向线与原子核间的垂直距离。的方向线与原子核间的垂直距离。29 取取无限远处无限远处电势能为零。电势能为零。质子在飞行过程中没有质子在飞行过程中没有能量损失，因此质子与原子核能量损失，因此质子与原子核系统总能量守恒系统总能量守恒。从式从式(1)和式和式(2)中消去中消去vs，得，得303.5 质点系的角
14、动量定理、角动量守恒定律质点系的角动量定理、角动量守恒定律一、质点系对定点的角动量一、质点系对定点的角动量 质点系对定点的角动量，等于各质点对该质点系对定点的角动量，等于各质点对该点的角动量的矢量和。点的角动量的矢量和。二、质点系的角动量定理二、质点系的角动量定理31因为内力的力矩两两相消，则因为内力的力矩两两相消，则 质点系统所受外力矩之和等于系统总角质点系统所受外力矩之和等于系统总角动量的变化率。动量的变化率。或或微分形式微分形式积分形式积分形式32 若系统不受外力矩，或所受外力矩之和若系统不受外力矩，或所受外力矩之和为零，则系统角动量守恒。为零，则系统角动量守恒。三、质点系的角动量守恒定
15、律三、质点系的角动量守恒定律33例题例题8 质量均为质量均为m的两个小钢球固定在一个长为的两个小钢球固定在一个长为a 的的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是自由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是m，以，以水水平速度平速度V0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞，垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞，碰后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。碰后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。moV0 0mma/2a/2解：选质点系解：选质点系:两个钢球两个钢球+泥球泥球 碰撞过程，碰撞过程，质点系对质点系对o点的合点的合外力矩为零，外力矩为零，系统角动量守恒系统角动量守恒。=(a/2)2mv+（a/2）mv(a/2)mv0（请注意系统的动量不守恒）（请注意系统的动量不守恒）34VV设碰后杆转动的角速度为设碰后杆转动的角速度为则碰后三质点的速率为则碰后三质点的速率为V=a/2 =2v0/3aoma/2a/2作作 业业3.20、3.23解出解出辅导书辅导书 P52 计计6、计、计935