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1、第第3 3章：动量与角动量章：动量与角动量3.1 3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理 牛顿定律写成：牛顿定律写成：令：令：动量定理：动量定理：在给定的时间内，外力作用在质在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。分量形式分量形式:动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题则则 越大。例如人从高越大。例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大。时间很短，冲力很大。一定时，一定时，越小，越小，初始速度：初始速度：，则，则推开后速度：推开后速度：，且
2、方向相反，则，且方向相反，则推开前后系统动量不变：推开前后系统动量不变：内力不改变质点系的动量内力不改变质点系的动量质点系质点系 质点系动量定理：质点系动量定理：作用于系统的合外力的冲量作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。等于系统动量的增量。因为内力因为内力 ，故，故例例 1 一质量为一质量为0.05kg、速率为、速率为10ms-1的刚球，以与的刚球，以与钢板法线呈钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上，并以相同的角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间。求此时间内钢板所受到的平均冲力内钢板所受到的平均冲力 。解：解
3、：建立如图坐标系，由动量定理建立如图坐标系，由动量定理方向沿方向沿 轴反向轴反向例例 2：一柔软链条长为一柔软链条长为 l，单位长度的质量为，单位长度的质量为 。链。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动,链条因链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系。间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且认为设链与各处的摩擦均略去不计，且认为链条软得可以自由伸开。链条软得可以自由伸开。解：解：以竖直悬挂的链条和以竖直悬
4、挂的链条和桌面上的链条为一系统，桌面上的链条为一系统，建立如图坐标，则：建立如图坐标，则：由质点系动量定理得：由质点系动量定理得：m1m2Oyy则则两边同乘以两边同乘以 则：则：m1m2Oyy又又3.2 3.2 3.2 3.2 动量守恒定理动量守恒定理动量守恒定理动量守恒定理质点系动量定理：质点系动量定理：动量守恒定律动量守恒定律若质点系所受的若质点系所受的合外力为零：合外力为零：则系统的总动量则系统的总动量守恒：守恒：1)1)系统的动量守恒是指系统的总动量不系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的，各物变，系统内任一物体的动量是可变的，各物体的动量必相对于同一惯性参考
5、系。体的动量必相对于同一惯性参考系。2)2)守恒条件：守恒条件：合外力为零合外力为零 当当 时，可时，可 略去外力的作用，近似地认略去外力的作用，近似地认为系统动量守恒。例如在碰撞、打击、爆炸等。为系统动量守恒。例如在碰撞、打击、爆炸等。3)3)若若某一某一方向方向合外力为零，则合外力为零，则此此方向动量方向动量守恒守恒。4)4)动量守恒定律只在动量守恒定律只在惯性参考系惯性参考系中成立，是自然中成立，是自然界最普遍，最基本的定律之一。界最普遍，最基本的定律之一。例例1 1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子个中
6、微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子的运动方向互相垂直，电子动量为的运动方向互相垂直，电子动量为1.2 10-22 kgms-1，中微子，中微子动动量量为为 6.4 10-23 kgms-1。问问新原子核的新原子核的动动量量的值和方向如何的值和方向如何?解：解：即即 恒矢量恒矢量又因为又因为代入数据计算得：代入数据计算得：系统动量守恒系统动量守恒,即即 3.3 3.3 3.3 3.3 火箭飞行原理火箭飞行原理火箭飞行原理火箭飞行原理 某时刻某时刻 t 火箭总质量为火箭总质量为M，速度为，速度为v，此时火箭的，此时火箭的动量为动量为 Mv。再经过再经过 dt 时间，火箭喷出质量时间，火箭喷出
7、质量 dm 气体，喷出的气体，喷出的速率为速率为 u。在在t+dt 时刻，火箭的速率增加为时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统。此时系统的总动量为：的总动量为：由于喷出气体质量由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少等于火箭质量的减少-dm，所以上式可写为：，所以上式可写为：展开上式，略去二阶小量展开上式，略去二阶小量 dMdv，可得：，可得：设设火箭的初始质量为火箭的初始质量为 Mi，初速度为，初速度为 vi，燃料燃，燃料燃尽时质量为尽时质量为 Mf，达到的速度为，达到的速度为 vf，对上式积分有：，对上式积分有：由此得：由此得：即：即：以以 F 表示在表示在 t 到到 t+dt 内
8、喷出的气体对火箭体内喷出的气体对火箭体(M-dm)的推力，根据动量定理，有：的推力，根据动量定理，有：将将 udM+Mdv=0 代入上式，可得：代入上式，可得：此式表明，火箭的推力与燃料燃烧速率此式表明，火箭的推力与燃料燃烧速率dm/dt以及喷气的相对速率以及喷气的相对速率 u 成正比。成正比。如，燃烧速率为如，燃烧速率为1.38104 kg/s，喷气相对速率，喷气相对速率为为2.94103 m/s，则理论推力：，则理论推力：4.06107 N。例例1:一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以 2.5 103 ms-1的速率相的速率相对地面沿水平方向飞行。不计空气阻力。现控制系对地面沿水平方向飞行。不
9、计空气阻力。现控制系统使火箭分离为两部分，前方部分是质量为统使火箭分离为两部分，前方部分是质量为 100kg 的仪器舱，后方部分是质量为的仪器舱，后方部分是质量为 200kg 的火箭容器。的火箭容器。若仪器舱相对火箭容器的水平速率为若仪器舱相对火箭容器的水平速率为1.0 103 ms-1。求求 仪器舱和火箭容器相对地面的速度。仪器舱和火箭容器相对地面的速度。已知已知 求求:,解解:则则:3.4 3.4 质心质心 讨论一个质点系运动时，常常引入讨论一个质点系运动时，常常引入质量中心质量中心的概念。设有的概念。设有 N 个质点个质点 m1,m2,mi,mN，它，它们的位置分别为们的位置分别为r1,
10、r2,ri,rN。则质量中心位置为：则质量中心位置为：对于连续体：对于连续体：3.5 3.5 质心运动定理质心运动定理质心的动量质心的动量 pc质点系的总动量：质点系的总动量：式中式中 ac 是是质心加速度质心加速度，所以，一个质，所以，一个质点系质心运动与外力的关系为：点系质心运动与外力的关系为：质心运动定理质心运动定理:角角角角 动动动动 量量量量3.6 3.6 点的角动量与角动量定理点的角动量与角动量定理 质点对于惯性参照系中某点的角动量定义为：质点对于惯性参照系中某点的角动量定义为：式中式中 r 是是质点相对于固定点的矢径。质点相对于固定点的矢径。角角角角 动动动动 量量量量 由于由于
11、第第 2 项为项为 0，所以得到：所以得到：力矩力矩：角动量定理：角动量定理：质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间的微分。的微分。3.7 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量定理：角动量定理：角动量守恒定律和动量守恒定律一样，也是自角动量守恒定律和动量守恒定律一样，也是自然界的一条基本规律，并且在更广泛的情况下它也然界的一条基本规律，并且在更广泛的情况下它也不依赖于牛顿定律。不依赖于牛顿定律。例：例：证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。的角动量为常矢量，与物体的位置无
12、关。解：解：做匀速直线运动的物体位于做匀速直线运动的物体位于 1 1点对参考点点对参考点O的角动量为：的角动量为：位于位于2 2点对参考点点对参考点O的角动量为：的角动量为：很容易算出，两者大小相等，方向相同，且：很容易算出，两者大小相等，方向相同，且：123.8 3.8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 定义：定义：质点系的角动量：质点系的角动量：对于系内任一质对于系内任一质点，角动量定理给出：点，角动量定理给出：对于系内所有质点，对上式求和：对于系内所有质点，对上式求和：质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩 各质点所受内外力矩矢量和各质点所受内外力矩矢量和角角角角 动动动动 量量量量对
13、于对于i 和和 j 两质点，它们相互作用力矩之和：两质点，它们相互作用力矩之和：所以：所以：说明一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的说明一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率。角动量对时间的变化率。注意：注意：力矩和角动量都相对力矩和角动量都相对惯性系的同一参考点。惯性系的同一参考点。合外力矩为合外力矩为 0 0 时，质点系的角动量守恒。这就是时，质点系的角动量守恒。这就是质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律。OC3.9 3.9 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量 质点系相对质点系相对 O 的角动量：的角动量：质心对质心对O的角动量的角动量 质点系对惯性系质点系对惯性系点点 O 的角的角动动量量等于质心对该点等于质心对该点的角动量的角动量(轨道角动量轨道角动量)加上质点系对质心的角动量。加上质点系对质心的角动量。0 对时间求导：对时间求导：对定点对定点 O，质点系受到的合力矩：，质点系受到的合力矩：由角动量定理得：由角动量定理得：由质心运动定理得：由质心运动定理得：这就是用这就是用质心系表示的角动量定理质心系表示的角动量定理。它说明：质。它说明：质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系中该质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系中该质点系对质心角动量的变化率。点系对质心角动量的变化率。