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1、12.212.2三三角形全等的判定（角形全等的判定（1 1）满足什么样的条件才能保证全等两个三角形呢满足什么样的条件才能保证全等两个三角形呢?（三条边对应相等三条边对应相等,三个角对应相等三个角对应相等.）有没有更简单的办法呢有没有更简单的办法呢?学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知道这两块板道这两块板是否全等是否全等，这两块板很重又固定，这两块板很重又固定在墙上，小明在墙上，小明只有刻度尺只有刻度尺，你能帮小明想个，你能帮小明想个办法吗？办法吗？探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件1.只给一条边时；只给一条边时；33只给一个条件只给一个条件4545
2、2.只给一个角时；只给一个角时；3cm45结论结论:只有只有一条边一条边或或一个角一个角对应相等的对应相等的两个三角形两个三角形不一定不一定全等全等.如如果果给给出出两两个个条条件件画画三三角角形形，你你能能说说出出有有哪哪几几种种可可能能的的情情况况？两角；两角；一边一角。一边一角。两边；两边；45304530如果三角形的两个内角分别是如果三角形的两个内角分别是3030，4545时时结论结论:两个角两个角对应相等的对应相等的两个三角形两个三角形不一定不一定全等全等.如果三角形的两边分别为如果三角形的两边分别为2cm2cm，3cm 3cm 时时3cm3cm2cm2cm结论结论:两条边两条边对应
3、相等的对应相等的两个三角形两个三角形不一定不一定全等全等.三角形的一个内角为三角形的一个内角为30,一条边为一条边为3cm时时3cm3cm3030结论结论:一条边一条边、一个角一个角对应相等的对应相等的两两个三角形不一定全等个三角形不一定全等.两个条件两个条件两角；两角；两边；两边；一边一角一边一角。结论：结论：只给出只给出一个一个或或两两个个条件时，条件时，都不能都不能保证保证所画的三角形一定全等。所画的三角形一定全等。一个条件一个条件一角；一角；一边；一边；如如果果给给出出三三个个条条件件画画三三角角形形，你你能能说说出出有有哪哪几几种种可可能能的的情情况况？三角；三角；三边；三边；两边一
4、角；两边一角；两角一边。两角一边。三个角：三个角：给出三个条件给出三个条件300700800300700800如如30，70，80，它们，它们一定全等吗？一定全等吗？结论结论:三个角三个角对应相等的对应相等的两个三角形两个三角形不一定不一定全等全等.ABC 先任意画一个先任意画一个ABC，再画，再画ABC，使使AB=AB，BC=BC，CA=CA把画好的把画好的ABC剪下，放在剪下，放在ABC上，它们全等吗上，它们全等吗？探究2ABCABC 三三边对应相等的两个三角形全等边对应相等的两个三角形全等简写成简写成“边边边边边边”或或“SSS”。BCA尺规作图尺规作图:画一个画一个ABC，使，使AB=
5、AB，BC=BC ，AC=AC1画线段画线段BC=BC2 分别以分别以B,C为圆心为圆心,线段线段AB,AC为半径画弧为半径画弧,两弧交两弧交于点于点A;3 连接线段连接线段AB,A C如如何何用用符符号号语语言言来来表表达达呢呢?在在ABC与与DEF中中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABCDEF（SSS）三角形稳定性三角形稳定性:由三根木条钉成的一个三角形的由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的框架，它的大小和形状是固定不变的ACBD 分析：分析：要证明两个三角形全等，要证明两个三角形全等，需要那些条件？需要那些条件？证明：证明：D是是BC的中点的中点 BD
6、=CD在在ABD与与ACD中中AB=AC（已知）（已知）BD=CD（已证）（已证）AD=AD（公共边）（公共边）ABDACD（SSS）例例1 如图如图,ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC,AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架，求证：的支架，求证：ABDACD若要求证：若要求证：B=C，你会吗，你会吗？(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；(2)证明三角形全等书写三步骤：证明三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明三角形全等的步骤：
7、证明三角形全等的步骤：结论结论：如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=CD,AD=CB,求证：求证：A=C.DABC证明证明：在：在ABD和和CDB中中AB=CDAD=CBBD=DBABDCDB（SSS）（已知）（已知）（已知）（已知）（公共边）（公共边）A=C（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等）你能说明你能说明AB CD，AD BC吗？吗？即时巩固即时巩固图图1已知：如图已知：如图1 1，AC=FEAC=FE，AD=FB,BC=DEAD=FB,BC=DE求证：求证：ABCFDE ABCFDE 证明：证明：AD=FBAD=FB AB=FD AB=FD（等式性质）（等式性
8、质）在在ABCABC和和FDE FDE 中中AC=FEAC=FE（已知）（已知）BC=DEBC=DE（已（已知知）AB=FDAB=FD（已证）（已证）ABCFDEABCFDE（SSSSSS）求证：求证：C=E C=E，AcEDBF=?。（2）ABCFDE（已证）（已证）C=E（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）求证：求证：ABEFABEF；DEBCDEBC练习：练习：1、如图，、如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？的条件是什么？HDCBA解：有三组。解：有三组。在在ABH和和ACH中中 AB=AC，
9、BH=CH，AH=AHABHACH（SSS）；）；BD=CD，BH=CH，DH=DHDBHDCH（SSS）在在ABD和和ACD中中AB=AC，BD=CD，AD=ADABDACD（SSS）；）；在在DBH和和DCH中中解：解：E、F分别是分别是AB，CD的中点（的中点（）又又AB=CD AE=CF在在ADE与与CBF中中AE =ADECBF ()AE=AB CF=CD（）1212练习练习2：如图，已知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由，说出下列判断成立的理由.ADECBFA=C线段中点的定义线段中点的定义CFADD
10、EBF SSS ADECBF全等三角形全等三角形对应角相等对应角相等已知已知ADBCFECB A=C ()=BCBCCBCB DCBBF=CD 或或 BD=CFA ABCD练习练习3：解：解：ABC DCB理由如下：理由如下：AB=DCAC=DB=ABC （）S S S S S S（1 1）如图，）如图，AB=DCAB=DC，AC=DBAC=DB，ABCABC和和DCBDCB是否全等？是否全等？试说明理由。试说明理由。（2 2）如图，）如图，D D、F F是线段是线段BCBC上的两点，上的两点，AB=ECAB=EC，AF=EDAF=ED，要使，要使ABFECD ABFECD，还需要条件还需要条
11、件 AE B D F CB D F C 已知已知:如图，如图，AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,请说明请说明B=CB=C成立的理由成立的理由ABCD在在ABDABD和和ACDACD中，中，AB=AC (已知）已知）DB=DC （已知）（已知）AD=AD （公共边）（公共边）ABDACD (SSS)解：连接解：连接ADAD B=C (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD中，中，AD=CB,AB=CD求证：求证：A C。A C D B分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在
12、的两三角形全等，从而需构造全等三角形。所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。构造公共边是常添的辅助线构造公共边是常添的辅助线1234例例2：如图，：如图，AD=BC，AC=BD，求证（求证（1）DAB=CBA （2）ACD=BDCABCD例例3：如图，：如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求证：求证：AE DFABCDEF 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A，D，B，F在在一条直线上，一条直线上，AD=FB（如图），要用（如图），要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？以外，还应该有什么条件？怎样才能得
13、到这个条件？怎样才能得到这个条件？分析：要证明分析：要证明ABC FDE，还应该有还应该有AB=FD这个条件这个条件 DB是是AB与与DF的公共部分，的公共部分，且且AD=FB AD+DB=FB+DB 即即 AB=F 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A，D，B，F在在一条直线上，一条直线上，AD=FB（如图），要用（如图），要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？怎样才能得到这个条件？证明证明:AD=FB,ADDB=FB DB，即即AB=FD.在在 ABCABC和和
14、FDEFDE中，中，AC=FE,AC=FE,AB=FD,AB=FD,BC=DE,BC=DE,ABC FDE(SSS).ABC FDE(SSS).已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A，B，D，F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB（如图），要用（如图），要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？怎样才能得到这个条件？ACEFDB变式变式证明:AD=FB,AD-BD=FB-BD，即AB=FD.在在 ABCABC和和 FDEFDE中，中，AC=FE,AC=FE,AB=FD,AB=FD,BC=DE,BC=DE,ABC FDE(SSS).ABC FDE(SSS).如图，如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：，求证：AEB ADC。BD-ED=CE-ED，即即BE=CD。CABDE 在在 AEB和和 ADC中，中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (SSS)证明证明:BD=CE,练习练习1 如图，已知点如图，已知点B、E、C、F在同一条直线在同一条直线上，上，ABDE，ACDF，BECF。求证：。求证：AD。FABECD