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1、xy0aby=f(x)xy0aby=f(x)xy0y=f(x)abxy0aby=f(x)xy0aby=f(x)xy0aby=f(x)第一组第一组第二组第二组思考：思考：第一组和第二组图象的变化趋势有何不同？第一组和第二组图象的变化趋势有何不同？1、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _2、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _ f(x)=x2(-,0(0,+)增大增大减小减小x-4-3-2-101234f(x)=x216941014916增函数，减函数的定义：增函数，减函数的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义
2、域为的定义域为I I：如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x x1 1,x,x2 2,当当x1 x2x1 x2时，都有时，都有f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),就说就说f(xf(x)在这个区间在这个区间D D上是上是增函数增函数。如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间D D是是增函数增函数或或减函数减函数，那么就说，那么就说y=y=f(xf(x)在这个区间具有（严格的）在这个区间具有（严格的）单调性单调性，这一区间，这一区间D D叫做叫做y=f(x)y=f(x)的的单调区间单调区间。O(2)O(
3、1)当当x x1 1 x x2 2时，时，都有都有f(xf(x1 1)f(xf(x2 2),),就说就说f(x)f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数。关键词？关键词？一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I I：如果对于如果对于定义域定义域I I内某个内某个区间区间D D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1,x,x2 2,当当x1 x2x1 x2时，时，都有都有f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),就说就说f(xf(x)在这个区间在这个区间D D上是上是增函数增函数。一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为
4、I I：如果对于如果对于定义域定义域I I内某个内某个区间区间D D上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1,x,x2 2,当当x1 x2x1 x2时，时，都有都有f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),就说就说f(xf(x)在这个区间在这个区间D D上是上是增函数增函数。当当x1 x2时，时，都有都有f(x1)f(x2),就说就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数。（1 1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言。函数的单调性是对定义域内的某个区间而言。这个区间可以是整个定义域；如这个区间可以是整个定义域；如y=2xy=2x这个区间也可以是定义域的真子集；这
5、个区间也可以是定义域的真子集；y=xy=x2 2有的函数不具备单调性。如有的函数不具备单调性。如y=5x,y=5x,(2)、对于区间对于区间D内的内的x1，x2有三个特征：一是有三个特征：一是任任意性意性；二是；二是大小大小，通常规定，通常规定x1x2，三是同属于，三是同属于一个一个单调区间单调区间。三者缺一不可。三者缺一不可。例例1 1：下图是定义在区间：下图是定义在区间5,55,5上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图的图象，根据图象说出函数象，根据图象说出函数y=y=f(xf(x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上区间上,它是增函数还是减函数它是增函数还是减
6、函数?解解:单调区间有单调区间有-5，-2)，-2,1)，1,3）3,5是增函数的区间有：是增函数的区间有：-2,1)，3,5其中其中,是减函数的区间有：是减函数的区间有：-5-5，-2)-2)，1,31,3）12343-15-1-2-3-2-3-4-521想一想一想想（1 1）能说函数）能说函数f(xf(x)在集合在集合x|-5x-2,x|-5x-2,或或1x31x3上是减函数吗上是减函数吗?（2 2）能说函数的减区间是：）能说函数的减区间是：（3 3）能说函数的减区间是：）能说函数的减区间是：练习：练习：P32、NO.3例例2 2：画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象1 1 这个函数
7、的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？2 2 讨论它的单调性，并证明你的结论讨论它的单调性，并证明你的结论 思考思考：(1)从上述证明中归纳证明单调性有哪些从上述证明中归纳证明单调性有哪些步骤步骤？(2)请证明请证明 上是减函数。上是减函数。(3)能否说能否说 在定义域上是单调减函数在定义域上是单调减函数？(4)能否说能否说 在的单调减区间是在的单调减区间是:？NoNoNoNo练习：练习：P32、NO.4问题：问题：画出下列函数大致图象并说出它们的单调区间画出下列函数大致图象并说出它们的单调区间能否根据以上能否根据以上6个函数的单调性的解决推出一个函数的单调性的解决推出一次、二次、反比例函数
8、单调性情况？次、二次、反比例函数单调性情况？想一想想一想小结：小结：练习：练习：P39P39、A A组组1 1、2 2、3 3，B B组组1 1OOOOOO在（在（-，+）是增函数是增函数在（在（-，+）是）是减函数减函数在（在（-，0）,（0，+）是减）是减函数函数在（在（-，0）,（0，+）是增）是增函数函数证明单调性的步骤证明单调性的步骤定义法证明单定义法证明单调性的步骤：调性的步骤：(2)(2)将这两个实数的函将这两个实数的函数值作数值作差差，变形后判断，变形后判断差的符号差的符号.(3)(3)根据函数单调性的根据函数单调性的定义定义,肯定命题成立肯定命题成立.(1)(1)在所给区间上
9、任设在所给区间上任设两个实数两个实数,且规定它们且规定它们的大小的大小.例例2.物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 (为为正常数正常数)告诉我们告诉我们,对于一定量的气体对于一定量的气体,当其当其体积体积V减小时减小时,压强将增大压强将增大.试用函数的单调试用函数的单调性证明之性证明之.分析分析:依题意依题意,需证函数在其定义需证函数在其定义域域(0,+)上是减函数上是减函数.证明证明:设设V V1 1,V,V2 2(0,+),且且V1V2,则则说说清楚说说清楚?4 4、证明、证明 函数函数 在在(0(0，+)+)上上是减函数是减函数1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差
10、f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性）上的单调性）作业作业:p39 习题习题1.3 A组组 1、2(2)证明：函数证明：函数f(x)=1/x f(x)=1/x 在在(0(0，+)+)上是减上是减函数。函数。证明：证明：设设x1,x2是是(0(0，+)+)上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2)因此因此 f(x)=1/
11、x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号变形作差判断四、归纳小结四、归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利再利用定义证明用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论 1、法二：作商的方法由x10)yxoy=kx+b (k0)讨论一般性讨论一般性问题：1、当、当k变化时函数的单调性有何变化？变化时函数的单调性有何变化？2、当、当b变化时函数的单调性有何变化？变化时函数的单调性有何变化？定义法证明单定义法证明单调性的步骤：调性的步骤：(2)(2)将这
12、两个实数的函将这两个实数的函数值作数值作差差，变形后判断，变形后判断差的符号差的符号.(3)(3)根据函数单调性的根据函数单调性的定义定义,肯定命题成立肯定命题成立.(1)(1)在所给区间上任设在所给区间上任设两个实数两个实数,且规定它们且规定它们的大小的大小.例例2.物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 (为为正常数正常数)告诉我们告诉我们,对于一定量的气体对于一定量的气体,当其当其体积体积V减小时减小时,压强将增大压强将增大.试用函数的单调试用函数的单调性证明之性证明之.分析分析:依题意依题意,需证函数在其定义需证函数在其定义域域(0,+)上是减函数上是减函数.证明证明:设设V V1 1,V,V2 2(0,+),且且V1V2,则则说说清楚说说清楚?4 4、证明、证明 函数函数 在在(0(0，+)+)上上是减函数是减函数1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性）上的单调性）