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1、函数的简单性质函数的简单性质1.单调性单调性作出下列函数的简图作出下列函数的简图（1）y=2x1（2）y=2x4（3）y=x2+1xyo1|13xyo1|124xyo1|1|1思考思考：在这三个函数图像中，自变量：在这三个函数图像中，自变量x在在增大增大的时候，其函的时候，其函数值数值y的的变化规律变化规律是什么？是什么？（1）中，函数值）中，函数值y随着随着x的的增大增大而而增大增大，其图像呈，其图像呈上升趋势上升趋势（2）中，函数值）中，函数值y随着随着x的的增大增大而而减小减小，其图像呈，其图像呈下降趋势下降趋势（3）中，当）中，当x0时，函数值时，函数值y随着随着x的的增大增大而而减小
2、减小，其图像呈，其图像呈下降趋势下降趋势xyo31355 根据下列函数图像，说出函数的自变量根据下列函数图像，说出函数的自变量x在什么范围内的时候，在什么范围内的时候，函数值函数值y随着自变量随着自变量x的增大而增大的增大而增大，x在什么范围内的时候，在什么范围内的时候，函数值函数值y随着随着x的的增大而减小增大而减小？当当5x3时，时，函数值函数值y随着自变量随着自变量x的增大而减小的增大而减小，图像呈下降趋势，图像呈下降趋势 当当1x3时，时，函数值函数值y随着自变量随着自变量x的增大而减小的增大而减小，图像呈下降趋势，图像呈下降趋势 当当3x1时，时，函数值函数值y随着自变量随着自变量x
3、的增大而增大的增大而增大，图像呈上升趋势，图像呈上升趋势 当当3x5时，时，函数值函数值y随着自变量随着自变量x的增大而增大的增大而增大，图像呈上升趋势，图像呈上升趋势问题情景问题情景：第第2.1节开头的第三节开头的第三个问题中，气温是关于时间的函个问题中，气温是关于时间的函数，观察这个气温变化图，说出数，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是气温在哪些时间段内是 逐渐升逐渐升高的或下降的？如何用数学语言高的或下降的？如何用数学语言来刻画这一特征？来刻画这一特征？单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：）单调递增函数的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的的定义域为定义域为
4、I,I,如果对于如果对于属于属于I I内某个区间上内某个区间上的的任意任意两两个自变量的值个自变量的值x x1 1、x x2 2,当当x x1 1xx2 2时时都都有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，那么就说那么就说f(x)f(x)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数。xyox1x x2 2f(x1)f(x2)对区间内的任意两个对区间内的任意两个x1、x2,又又x1x2f(x1)f(x2)则函数则函数f(x)在该区间上是增函数在该区间上是增函数任意任意任意任意任意任意任意任意区间区间区间区间区间区间区间区间单调函数的定义（2）单调递减函数的定义：）单调递减函数的定义：一般地，设
5、函数一般地，设函数f(x)f(x)的的定义域为定义域为I,I,如果对于如果对于属于属于I I内某个区间上内某个区间上的的任意任意两两个自变量的值个自变量的值x x1 1、x x2 2,当当x x1 1xf(x)f(x2 2)，那么就说那么就说f(x)f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数。xyox1x x2 2f(x2)f(x1)对区间内的任意两个对区间内的任意两个x1、x2,又又x1f(x2)则函数则函数f(x)在该区间上是减函数在该区间上是减函数任意任意任意任意任意任意任意任意区间区间区间区间区间区间区间区间区间区间单调函数的定义单调函数的定义（3）如果函数如果函数y=f(x)y
6、=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)y=f(x)的单调区间。的单调区间。写出下列函数的单调区间写出下列函数的单调区间（1）y=2x1（2）y=2x4（3）y=x2+2x（4）y=1/xxyo1|1xyo|24xyo|2x=1xyo（1）y=2x1在（在（，）上为增函数）上为增函数，（，）是单调递增）是单调递增区间。区间。（2）y=2x4在（在（，）上为减函数）上为减函数，（，）是单调）是单调递减区间。递减区间。（3）y
7、=x2+2x在区间（在区间（，1）上是减函数，）上是减函数，（，1）是函数的单）是函数的单调递减区间，在（调递减区间，在（1，）上是增函数，）上是增函数，（1，）是递增区间）是递增区间（4）y=1/x在区间（在区间（，0）上是减函数，）上是减函数，（，0）是函数的单调递减）是函数的单调递减区间，在（区间，在（0，）上是减函数，）上是减函数，（0，）是函数的递减区间）是函数的递减区间思考：思考：y=1/x在区间（在区间（，0）（0，0）上是减函数）上是减函数？xyo31355已知函数已知函数yf(x)在区间在区间5，5上的图像如下图，试根据图像写出函数上的图像如下图，试根据图像写出函数yf(x)
8、的单调递增区间和单调递减区间。的单调递增区间和单调递减区间。函数函数yf(x)的单调递增区间为：的单调递增区间为：3，1、3，5函数函数yf(x)的单调递减区间为：的单调递减区间为：5，3、1，3证明函数证明函数f(x)=kx+b(k0)f(x)=kx+b(k0)在在(-,+(-,+）上是增函）上是增函数。数。xf(x)0b-b/k取取值值：在在给给定定区区间间上上任任取取两两个个值值x x1 1，x x2 2，且且x x1 1 x x2 2 ；作差变形：作差作差变形：作差f(xf(x1 1)-f()-f(x x2 2)；定号：判断上述差定号：判断上述差f(xf(x1 1)-f()-f(x x
9、2 2)的符号；的符号；结论：根据差的符号，得出单调性的结论。结论：根据差的符号，得出单调性的结论。注意：我们在证明函数的单注意：我们在证明函数的单调性时，不能调性时，不能“以图代证以图代证”，而是严格按照定义证，而是严格按照定义证明明回想一下，定义的本质是什回想一下，定义的本质是什么？本题怎么用定义证明么？本题怎么用定义证明？例例2.求证：函数在区间求证：函数在区间（-，0）上是单调增函数）上是单调增函数练习练习1 1证明函数证明函数y=xy=x2 2+2x-7 +2x-7 在在 (-,-1)(-,-1)上是减函数。上是减函数。2 2根根据据单单调调函函数数的的定定义义，判判断断函函数数y=
10、1/xy=1/x在在区区间间（，0 0）的的单单调调性并加以证明。性并加以证明。小结小结（1）单调递增函数的定义：）单调递增函数的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I,I,如果对于如果对于属于属于I I内某个区间上内某个区间上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1、x x2 2,当当x x1 1xx2 2时时都都有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，那么就说，那么就说f(x)f(x)在这个区间上在这个区间上是增函数是增函数。（2）单调递减函数的定义：）单调递减函数的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为
11、I,I,如果对于如果对于属于属于I I内某个区间上内某个区间上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1、x x2 2,当当x x1 1xf(x)f(x2 2)，那么就说，那么就说f(x)f(x)在这个区间在这个区间上是减函数上是减函数。（3）如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数函数y=f(x)y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做做y=f(x)y=f(x)的单调区间。的单调区间。取取值值：在在给给定定区区间间上上任任取取两两个个值值x x1 1，x x2 2，且且x x1 1 x x2 2 ；作差变形：作差作差变形：作差f(xf(x1 1)-f()-f(x x2 2)；定号：判断上述差定号：判断上述差f(xf(x1 1)-f()-f(x x2 2)的符号；的符号；结论：根据差的符号，得出单调性的结论。结论：根据差的符号，得出单调性的结论。