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1、第第3 3章章 电阻电路的一般分析方法电阻电路的一般分析方法 重点：重点：熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法支路电流法回路电流法回路电流法结点电压法结点电压法3.1 电路的图电路的图求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构。求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构。首首先先，选选择择一一组组合合适适的的电电路路变变量量（电电流流和和/或或电电压压），根根据据KCL和和KVL及及元元件件的的电电压压电电流流关关系系（VCR）建建立立该该组组变变量量的的独独立立方方程程组组，即即电电路路方方程程，然然后后从从方方程程中中解解出出电电路路变变量量。对对于于线线性性电电
2、阻阻电电路路，电路方程是一组线性代数方程。电路方程是一组线性代数方程。学学习习图图论论的的初初步步知知识识，以以便便研研究究电电路路的的连连接接性性质质并并讨讨论论应应用用图图的的方方法法选选择择电电路路方方程程的的独独立立变变量。量。一图的基本概念一图的基本概念 电电路路的的“图图”：是是指指把把电电路路中中每每一一条条支支路路画画成成抽抽象象的的线线段段形形成成的的一一个个结结点点和和支支路路的的集集合合。每每条条支支路路的的两两端端都都连连到到相相应应的的结结点点上上。支路用线段描述，结点用点描述。支路用线段描述，结点用点描述。注注意意：在在图图的的定定义义中中，结结点点和和支支路路各各
3、自自为为一一个个整整体体，但但任任意意一一条条支支路路必必须须终终止止在在结结点点上上。移移去去一一条条支支路路并并不不等等于于同同时时把把它它连连接接的的结结点点也也移移去去，所所以以允允许许有有孤孤立立结结点点存存在在。若若移移去去一一个个结结点点，则则应应当当把把与与该该结结点点连连接接的的全部支路都同时移去。全部支路都同时移去。例例:有有向向图图：赋赋予予支支路路方方向向的的图图。电电流流、电电压压取取关关联联参参考方向。考方向。无向图：未赋予支路方向的图。无向图：未赋予支路方向的图。3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数 一一KCL的独立方程数的独立方程数 列列KCL方程：
4、方程：12345612340=0?对对所所有有结结点点都都列列写写了了KCL方方程程，而而每每一一条条支支路路与与两两个个结结点点相相联联，并并且且每每个个支支路路电电流流必必然然从从其其中中一一个个结结点点流流出出，流流入入另另一一结结点点。因因此此，在在所所有有KCL方方程程中中，每每个个支支路路电电流流必必然然出出现现两两次次，一一次次为为正正，一一次次为为负负。上上述述4个个方方程程中中任任意意3个为独立的。个为独立的。1234561234结结论论:对对于于具具有有n个个结结点点的的电电路路，任任意意选选取取(n-1)个个结结点点，可可以以得得出出(n-1)个个独独立立的的KCL方方程
5、程。相应的相应的(n-1)个结点称为独立结点。个结点称为独立结点。二二KVL独立方程数独立方程数 路路径径：从从一一个个图图G的的某某一一结结点点出出发发，沿沿着着一一些些支支路路移移动动，从从而而到到达达另另一一结结点点（或或回回到到原原出出发发点点），这这样样的的一一系系列列支支路路构构成成图图G的的一一条路径。条路径。连连通通图图：当当G的的任任意意两两个个结结点点之之间间至至少少存存在在一一条条路路径时，径时，G为连通图。为连通图。回回路路：如如果果一一条条路路径径的的起起点点和和终终点点重重合合，且且经经过过的的其其它它结结点点都都相相异异，这这条条闭闭合合的的路路径径为为G的的一一
6、个回路。个回路。例：例：有有13个个不不同同的的回回路路，但但独独立立回回路路数数要要少少于于13个个。对对每每个个回回路路列列KVL方方程程，含含有有非非独独立方程。立方程。回路回路1（1，5，8）回路回路2（2，6，5）回路回路3（1，2，6，8）利用利用“树树”的概念寻找一个电路的独立回路组。的概念寻找一个电路的独立回路组。12345867树树：一一个个连连通通图图G的的树树T包包含含G的的全全部部结结点点和和部部分分支路，而树支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。本身是连通的且又不包含回路。例例:12345867135865867245735862586树支：树中包含的支路为树支。树
7、支：树中包含的支路为树支。连支：其它支路为对应于该树的连支。连支：其它支路为对应于该树的连支。树支与连支共同构成图树支与连支共同构成图G的全部的支路。的全部的支路。树树支支数数：对对于于一一个个具具有有n个个结结点点的的连连通通图图，它它的的任何一个树的树支数必为任何一个树的树支数必为（n-1）个。个。连连支支数数：对对于于一一个个具具有有n个个结结点点b条条支支路路的的连连通通图，它的任何一个树的连支数必为图，它的任何一个树的连支数必为 (b-n+1)个。个。由由于于连连通通图图G的的树树支支连连接接所所有有结结点点又又不不形形成成回回路路，因因此此，对对于于图图G的的任任意意一一个个树树，
8、加加入入一一个个连连支支后后，形形成成一一个个回回路路，并并且且此此回回路路除除所所加加的的连连支外均由树支组成。支外均由树支组成。单连支回路单连支回路：由树支和由树支和一条连支一条连支所形成的回路。所形成的回路。单连支回路也称为基本回路单连支回路也称为基本回路。每每一一个个基基本本回回路路仅仅含含一一个个连连支支，且且这这一一连连支支并并不不出现在其他基本回路中。出现在其他基本回路中。独独立立回回路路数数：对对于于一一个个结结点点数数为为n，支支路路数数为为b的的连通图，其独立回路数为（连通图，其独立回路数为（b-n+1）。）。基基本本回回路路组组：由由全全部部单单连连支支形形成成的的基基本
9、本回回路路构构成成基基本本回路组。回路组。基基本本回回路路组组是是独独立立回回路路组组。根根据据基基本本回回路路列列出出的的KVL方程组是独立方程。方程组是独立方程。例例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。本回路。876586438243平平面面图图：如如果果把把一一个个图图画画在在平平面面上上，能能使使它它的的各各条条支支路路除除连连接接的的结结点点外外不不再再交交叉叉，这这样样的的图图为平面图。否则为非平面图。为平面图。否则为非平面图。平平面面图图的的全全部部网网孔孔是是一一组组独独立立回回路路，故故平平面面图图的
10、网孔数为其独立回路数。的网孔数为其独立回路数。2b法法：对对一一个个具具有有b条条支支路路和和n个个结结点点的的电电路路，当当以以支支路路电电压压和和支支路路电电流流为为电电路路变变量量列列写写方方程程时时，总总计计有有2b个个未未知知量量。根根据据KCL可可以以列列出出（n-1）个个独独立立方方程程、根根据据KVL可可以以列列出出（b-n+1）个个独独立立方方程程，根根据据元元件件的的VCR又又可可以以列列出出b个个方方程程。总总计计方方程程数数2b，与与未未知知数相等。数相等。基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)12345651231236支路数树枝数连支数支路数树枝数连支数结点数结点
11、数1基本回路数基本回路数结论结论结点、支路和结点、支路和基本回路关系基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝基本回路具有独占的一条连枝例例b=3,n=2,l=3变量：变量：I1,I2 ,I3a:-I1-I2+I3=0b:I1+I2-I3=0KCL一个独立方程一个独立方程KVLI1R1-I2R2=E1-E2I2R2+I3R3=E2I1R1+I3R3=E1二个独立方程二个独立方程规律：规律：KCL:n-1R1E1I1R2E2I2I3R3ba3.3 支路电流法支路电流法(branch current method)支路电流法：支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程。以各支路电流为未知量列写电路方
12、程。KVL:b-(n-1)由由上上式式可可得得KVL方方程程的的另另一一形形式式，即即任任一一回回路路中中，电阻电压电阻电压的代数和等于的代数和等于电源电压电源电压的代数和，即：的代数和，即：式式中中Rkik为为回回路路中中第第k个个支支路路电电阻阻上上的的电电压压，和和式式遍遍及及回回路路中中的的所所有有支支路路，且且当当ik参参考考方方向向与与回回路路方方向一致时，前面取向一致时，前面取“+”号；不一致时，取号；不一致时，取“”号。号。右右边边usk为为回回路路中中第第k支支路路的的电电源源电电压压（也也包包括括电电流流源源引引起起的的电电压压）。在在取取代代数数和和时时，当当usk与与回
13、回路路方方向向一一致致时时前前面面取取“”号号；当当usk与与回回路路方方向向不不一一致时取致时取“+”号；号；列出支路电流法的电路方程的步骤：列出支路电流法的电路方程的步骤：注意：电阻电压和电源电压表达式中符号注意：电阻电压和电源电压表达式中符号的选取。的选取。（1 1）选定各支路电流的参考方向；）选定各支路电流的参考方向；（2 2）根据）根据KCLKCL对（对（n-1n-1）个独立结点列出方程；）个独立结点列出方程；（3 3）选选取取（b-n+1b-n+1）个个独独立立回回路路，指指定定回回路路的的绕绕行方向，列出用支路电流表示的行方向，列出用支路电流表示的KVLKVL方程。方程。3.5
14、回路电流法回路电流法(loop current method)基本思想：基本思想：以以假假想想的的独独立立回回路路电电流流为为独独立立变变量量。各各支支路路电电流可用回路电流线性组合表示。流可用回路电流线性组合表示。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2支路电流可由回路电流求出支路电流可由回路电流求出回路电流分别为回路电流分别为il 1，il 2 列写列写KVL方程方程电阻压降电阻压降电源电压升电源电压升绕行方向绕行方向和和回路电流方向回路电流方向取为取为一致一致i1=i l 1i2=i l 2-i l 1i3=i l 2回路电流法：回路电流法：以回路电流为未知变量列写电路方以
15、回路电流为未知变量列写电路方程分析电路的方法。程分析电路的方法。回路回路1：R1 il1-R2(il2-il1)-uS1+uS2=0回路回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0得得(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2支路电流支路电流i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2i1=i l 1i2=i l 2-i l 1i3=i l 2R11=R1+R2 代表回路代表回路1的总电阻（的总电阻（自电阻自电阻）令令R22=R2+R3 代表回路代表回路2总电阻（总电阻（自电阻自电阻）R12=-R2 ，R21=-R2 代表回
16、路代表回路1和回路和回路2的公共电阻（的公共电阻（互电阻互电阻）uSl1=uS1-uS2 回路回路1中所有电压源电压升的代数和中所有电压源电压升的代数和uSl2=uS2 回路回路2中所有电压源电压升的代和中所有电压源电压升的代和(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2R11=R1+R2 自电阻自电阻R22=R2+R3 自电阻自电阻R12=-R2 ，R21=-R2 互电阻互电阻R11 il 1+R12 il 2=uSl1R21 il1+R22 il2=uSl2推广到推广到 l 个回路个回路其中
17、其中Rjk:互电阻互电阻+:流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同-:流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0:无关无关R11il1+R12il2+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il2+Rll ill=uSllRkk:自电阻自电阻(为正为正)，k=1,2,l 网网孔孔电电流流法法：对对平平面面电电路路，若若以以网网孔孔为为独独立立回回路路，此此时时回回路路电电流流也也称称为为网网孔孔电电流流，对对应应的的分分析方法称为网孔电流法。析方法称为网孔电流法。例例1用回路法求各支路电流。用回路法求各
18、支路电流。解解(1)设独立回路电流设独立回路电流(顺时针顺时针)(2)列列 KVL 方程方程(R1+R2)Ia -R2Ib =US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic =US2 -R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4对称阵，且对称阵，且互电阻为负互电阻为负(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：求各支路电流：I1=IaIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4(5)校核校核选一新回路选一新回路 U=E?,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic 将将VCVSVCVS看作独立源建立方程；看作独立
19、源建立方程；找出控制量和回路电流关系。找出控制量和回路电流关系。4Ia-3Ib=2-3Ia+6Ib-Ic=-3U2-Ib+3Ic=3U2 4Ia -3Ib =2 -12Ia+15Ib-Ic =09Ia -10Ib+3Ic=0U2=3(Ib-Ia)Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A例例2用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc将将代入代入，得，得各支路电流为：各支路电流为：I1=Ia解得解得*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般
20、不对称。,I2=Ia-Ib,I3=IbI4=Ib-Ic,I5=Ic=-例例3列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。方法方法1(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2-R4I2+(R3+R4)I3=-UiIS=I1-I3I1I2I3_+Ui_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+*引入电流源的端电压变量引入电流源的端电压变量*增加回路电流和电流源电流的关系方程增加回路电流和电流源电流的关系方程方法方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
21、属于一个回路属于一个回路,该回路电流即该回路电流即 IS。I1=IS-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I31、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。电流的方向。列写回路电流方程的步骤：列写回路电流方程的步骤：2、按、按通式通式写出回路电流方程。写出回路电流方程。注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压该回路所有电源电压升升的代数和
22、。的代数和。3、电路中含有、电路中含有受控源受控源时应按独立源来处理；含有时应按独立源来处理；含有无伴无伴电流源电流源时，可使该电流源仅仅属于一个回路。时，可使该电流源仅仅属于一个回路。R11il1+R12il2+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il2+Rll ill=uSll(2)列列KCL方程：方程：iR出出=iS入入i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3un1un2-i3-i4+i5=-iS3012(1)选选定定参参考考节节点点，标标明明其其余余n-1个个独独立立节节点的电压点的电压节点电压法：节点电压法：以节点电
23、压为未知变量列写电路方以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。程分析电路的方法。3.6 结点电压法结点电压法(node voltage method)例例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4un1un2012例例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3-i3-i4+i5=-iS3整理，得整理，得令令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为上式简记为G11un1+G12un2=isn1G21un1+G22un2=isn2标准形式的节点电压方程标准形式的节点电压方程un1un2012例例iS1i
24、S2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4G11=G1+G2+G3+G4 节节点点1的的自自电电导导，等等于于接接在在节节点点1上上所有支路的电导之和所有支路的电导之和un1un2012例例iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4G22=G3+G4+G5 节节点点2的的自自电电导导，等等于于接接在在节节点点2上上 所有支路的电导之和所有支路的电导之和 G12=G21=-(G3+G4)节节点点1与与节节点点2之之间间的的互互电电导导，等等于于接接在在节节点点1与与节节点点2之之间间的的所所有有支支路的电导之和，并路的电导之和，并冠以负号冠以负号un1un2012例例iS
25、1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点流入节点1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=-iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和的电流源电流的代数和un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-若电路中含电压源与电若电路中含电压源与电阻串联的支路：阻串联的支路：uS1整理，并记整理，并记Gk=1/Rk，得，得(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4)un2=G1 uS1-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G3+G4+G5)un2=-iS3用节点法求各支路电流。用节点法求
26、各支路电流。例例120k 10k 40k 20k 40k+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5I1=(120-UAI2=(UA-UBI3=(UB I4=UB各支路电流：各支路电流：解：解：UA=21.8V UB=-21.82VI5=UB/20=-(1)把受控源当作独立源看把受控源当作独立源看,列方程列方程(2)用节点电压表示控制量。用节点电压表示控制量。例例2 列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。u=un1 解解12iS1R1R3R2gu+u -支路法、回路法和节点法的比较：支路法、回路法和节点法的比较：(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节
27、点对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。较容易。(3)回回路路法法、节节点点法法易易于于编编程程。目目前前用用计计算算机机分分析析网网络络(电网，集成电路设计等电网，集成电路设计等)采用节点法较多。采用节点法较多。支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-n+100n-1方程总数方程总数b-n+1n-1b-n+1b(1)方程数的比较方程数的比较本章小结本章小结1、独立的、独立的KCL方程数方程数（n1）个）个2、独立的、独立的KVL方程数方程数（b n+1）个）个3、独立回路组、独立回路组树支数树支数（n1）个）个连支数连支数（bn+1）个）个单连
28、支回路：单连支回路：一个连支和几个数支构成的回路一个连支和几个数支构成的回路独立回路组：独立回路组：由所有单连支回路组成的回路组。由所有单连支回路组成的回路组。4、2b法法以各支路的电压和电流为求解变量。以各支路的电压和电流为求解变量。KVL方程数方程数（b n+1）个）个KCL方程数方程数（n 1）个）个VCR方程数方程数（b）个）个（2 b）个）个5、支路电流法、支路电流法以各支路的电流为求解变量。各支路电压用以各支路的电流为求解变量。各支路电压用支路电流来表示。支路电流来表示。KVL方程数方程数（b n+1）个）个KCL方程数方程数（n 1）个）个（b）个）个列出支路电流法的电路方程的步
29、骤：列出支路电流法的电路方程的步骤：（1）选定各支路电流的参考方向；）选定各支路电流的参考方向；（2）根据）根据KCL对（对（n-1）个独立结点列出方程；）个独立结点列出方程；（3）选选取取（b-n+1）个个独独立立回回路路，指指定定回回路路的的绕绕行方向，列出用支路电流表示的行方向，列出用支路电流表示的KVL方程。方程。（4）若若某某个个支支路路含含有有无无伴伴电电流流源源时时，该该支支路路电电压压无无法法用用支支路路电电流流来来表表示示，可可设设该该支支路路电电压压为为解解变变量量，由由于于该该支支路路电电流流为为已已知知，变变量量的的总总数没有变化。数没有变化。6、回路电流法、回路电流法
30、以假想的各独立回路的回路电流为求解变量。以假想的各独立回路的回路电流为求解变量。KVL方程数方程数（b n+1）个）个(1)选择独立回路（平面电路可选择网孔），标选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。注回路电流的方向。列写回路电流方程的步骤：列写回路电流方程的步骤：(2)按按通式通式写出回路电流方程。写出回路电流方程。平面电路的网孔就是独立回路。平面电路的网孔就是独立回路。注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压右端为该回路所有电源电压升升的代数和。的代数和。(3)电路中含有电路中含有受控源受控源时应按独立源来处
31、理。时应按独立源来处理。R11il1+R12il2+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il2+Rll ill=uSll(4)电路中含有电路中含有无伴电流源无伴电流源时，需要特殊处理。时，需要特殊处理。a.可使该电流源仅仅属于一个回路可使该电流源仅仅属于一个回路;b.设该电流源的端电压为求解变量，用回路设该电流源的端电压为求解变量，用回路电流列出一个增补方程。电流列出一个增补方程。7、结点电压法、结点电压法以各独立结点的结点电压为求解变量。以各独立结点的结点电压为求解变量。KCL方程数方程数（n 1）个）个（1）指定）指定参考结点参
32、考结点，其余结点对参考结点之间，其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压。的电压就是结点电压。列写结点电压方程的步骤：列写结点电压方程的步骤：G11un1+G12un2+G1nunn=iSn1G21un1+G22un2+G2nunn=iSn2 Gn1un1+Gn2un2+Gnnunn=iSnn（2）按）按通式通式写出结点电压方程。写出结点电压方程。自导为正，互导自导为正，互导总为负，注入各总为负，注入各结点的电流为正。结点的电流为正。（3）电路中含有）电路中含有受控源受控源时应按独立源来处理。时应按独立源来处理。（4）电路中含有）电路中含有无伴电压源无伴电压源时可选择该电压源时可选择该电压源的一端作为参考结点。的一端作为参考结点。8、比较比较支路法支路法回路法回路法节点法节点法KCL方程方程KVL方程方程n-1b-n+100n-1方程总数方程总数b-n+1n-1b-n+1b