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1、一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离三、小结三、小结横轴横轴 xy 纵轴纵轴z 竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限目录 上页 下页 返回 结束 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.一、向量的概念一、向量的概念向量的两个向量的两个要素要素：大小，方向。：大小，方向。向量向量表示法表示法：有向线段表示法；有向线段表示法；坐标表示法。坐标表示法。有向线段表示法：有向线段
2、表示法：有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。有向线段的方向表示向量的方向。M1为起点为起点,M2为终点的有向线段表示的向量记为为终点的有向线段表示的向量记为如果不需要指出起点和终点，可简记为如果不需要指出起点和终点，可简记为目录 上页 下页 返回 结束 向量的大小，也叫向量的大小，也叫向量的模向量的模，记作，记作M1为起点为起点,M2为终点的有向线段表示的向量记为为终点的有向线段表示的向量记为如果不需要指出起点和终点，可简记为如果不需要指出起点和终点，可简记为或或自由向量自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量相等向量：
3、大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.目录 上页 下页 返回 结束 模长为模长为1 1的向量的向量.零向量零向量：模长为模长为0 的向量，记作的向量，记作单位向量单位向量：如果两个向量如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向方向相同或相反，则称这两个向量量平行平行，记作，记作特殊向量：特殊向量：零向量的方向可以看作是任意的。零向量的方向可以看作是任意的。向径向径：空间直角坐标系中，原点空间直角坐标系中，原点 o 为起点，为起点，任一任一点点M为终点的向量为终点的向量 常记为常记为目录 上页 下页 返回 结束（1）加法加
4、法：2 平行四边形法则平行四边形法则二、向量的加减法二、向量的加减法1 三角形法则三角形法则目录 上页 下页 返回 结束 三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法（1）是一个向量；是一个向量；（2）（3）的方向为的方向为方向任意。方向任意。目录 上页 下页 返回 结束 2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量,的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.记记 目录 上页 下页 返回 结束 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与向量的加减法、
5、向量与数的乘法运算的向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式坐标表达式即即同理同理即即即即结论：结论：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式称为称为方向角方向角.向量的向量的方向余弦方向余弦方向余弦的坐标表示式：方向余弦的坐标表示式：方向余弦的方向余弦的特征特征：特殊地：特殊地：例例1 设设 M1(2,3,5)，M2(1,0,2)，求向量，求向量单位向量的分解式；单位向量的分解式；的方向余弦。的方向余弦。按基本按基本解解的方向余弦的方向余弦:启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结
6、果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量一、两向量的数量积积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一 个向量在这向量的方向上的投影的乘积个向量在这向量的方向上的投影的乘积.因此，因此，关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证因为，因为，因此，因此，设设-数量积的坐标表达数量积的坐标表达式式两个向量的数量积的坐标表达式两个向量的数量积的坐标表达式:-两向量夹角余弦的坐标表示两向量夹角余弦的坐标表示式式设设由此可知两向量垂直的充要条件由此可知两向量垂直的充要条件:定义定义向量积
7、也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.”.右手系；右手系；关于向量积的说明：关于向量积的说明：证证向量积符合下列向量积符合下列运算规律运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：设设两个向量的向量积的两个向量的向量积的坐标表达式坐标表达式+_三阶行列式：三阶行列式：行标行标列标列标i j例例3 设设解解解解因此，所求的单位因此，所求的单位向量向量向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（注意两个向量垂直、平行的充要条件）（注意两个向量垂直、平行的充要条件）四、小结四、小结作业：作业：P 4
8、02 1，2，3，7，10共面的共面的充分必要充分必要条件是条件是一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角四、小结四、小结如果一非零向量垂直于一平如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量记作记作法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程例例1 求过点求过点且且法线向量法线向量的平面方程。的平面方程。解解根据平面的点法式方程，根据平面的点法式方程，得得所求平面
9、方程为所求平面方程为即即平面的平面的点法式方程：点法式方程：其中法向量其中法向量已知点已知点由平面的点法式方程由平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程即，平面方程是三元一次方程。即，平面方程是三元一次方程。反之，设三元一次方程为反之，设三元一次方程为平面过坐标原点；平面过坐标原点；x 轴；轴；y 轴；轴；z 轴；轴；xoy 面；面；yoz 面；面；xoz 面。面。（2）平面）平面 方程的法向量方程的法向量平面平面 的方程为的方程为解解因为，平面因为，平面 通过通过 x 轴，轴，（1）平面）平面 过原点，过原点，设设平面平面 的一般方程为的一般方程为因此，因此，于是，平面于是，平面
10、 的的一般方程为一般方程为平面平面 过点过点 M0(4,3,1)，即即代入（代入（1）：）：得：得：-平面的平面的截距式方程截距式方程代入平面方程：代入平面方程：整理得平面方程：整理得平面方程：a：x 轴上的截距；轴上的截距；b：y 轴上的截距；轴上的截距；c：z 轴上的截距。轴上的截距。abc定义定义两平面的法向量之间的夹角（通常取锐角）称两平面的法向量之间的夹角（通常取锐角）称为两平面的为两平面的夹角夹角 .三、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/按照两向量夹角余弦公式有按照两向量
11、夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结作业：作业：P 423 2，3,6，8，9一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角五、平面束五、平面束六、小结六、小结空间直线可看成两
12、平面的交线空间直线可看成两平面的交线则则 1，2 的交线，的交线，空间直线空间直线 L 的一般方程为的一般方程为一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程-直线的直线的一般方程一般方程方向向量方向向量：如果一非零向量平行于一条如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这已知直线，这个向量称为这条直线的条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程则则/-直线的直线的对称式方对称式方程程直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.m，n，p 不全为零。不全为零。当当 m，n，p 中有一个为
13、零，中有一个为零，例如例如 m=0，n0，p 0。方程（方程（1）理解为）理解为-直线的直线的对称式方对称式方程程m，n，p 不全为零。不全为零。当当 m，n，p 中有一个为零，中有一个为零，例如例如 m=0，n0，p 0。方程（方程（1）理解为）理解为当当 m，n，p 中有两个为零，中有两个为零，例如例如 m=0，n=0，p 0。方程（方程（1）理解为）理解为令令-直线的直线的参数方参数方程程-直线的直线的对称式方对称式方程程两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直两直线的夹角线的夹角。直线直线直线直线-两直线的两直线的夹角公式夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，直线和它在平面上的投影直线直线和它在平面上的投影直线的夹角的夹角 (通常是锐角通常是锐角)称为直称为直线与平面的线与平面的夹角夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角即即或或-直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结内容小结 直线2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式: