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1、第六节第六节空间直线及其方程空间直线及其方程空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程一、空间直线方程一、空间直线方程因此其一般式方程因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，(不唯一不唯一)2.对称式对称式(点向式点向式)方程方程故有故有设直线上的动点为设直线上的动点为 则则此式称为直线的此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为也称为点向式点向式方程方程)已知直线上一点已知直线上一点和它的方向向量和它的方向向量 3.参数式方程参数式方程设设得参数式方程得参数式方程:取不同的取不同的 t,就对应到直线上的不同的点就对应到直线上的不
2、同的点.例例1:的交点的交点.解解:代入平面得代入平面得:例例2.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点先在直线上找一点.再求直线的方向向量再求直线的方向向量令令 x=1,解方程组解方程组,得得交已知直线的两平面的法向量为交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点.因为直线同时在两平面上因为直线同时在两平面上故所给直线的对称式方程为故所给直线的对称式方程为参数式方程为参数式方程为解题思路解题思路:1.1.找直线上一找直线上一点点;2.2.找直线的找直线的方向方向向量向量.4、两点式方程、两点式方程二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角
3、两直线的夹角 则两直线夹角则两直线夹角 满足满足两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取通常取锐角锐角)直线直线直线直线例例4.求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解:直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为从而从而的方向向量为的方向向量为的方向向量为的方向向量为2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角解解:设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程综合题综合题1.求过点求过点(-3,2,5)且与两平面且与两平面x-4z=3 和和 2x y-5 z=1 的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解:由由M点向已知直线作垂线点向已知直线作垂线,设垂足为设垂足为N,令令3.求过点求过点M(2,1,3)且与直线且与直线L垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.M(2,1,3)N得得因此因此取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为M(2,1,3)N设所求直线与设所求直线与的交点为的交点为B,相交相交,求此直线方程求此直线方程.4.4.一直线过点一直线过点 且垂直于直线且垂直于直线 又和直线又和直线记为记为(2t,t,-t)又因为直线又因为直线AB要垂直于直线要垂直于直线L1由点向式得所求直线方程由点向式得所求直线方程解：解：