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1、3.2 3.2 圆的轴对称性圆的轴对称性请请观察下列三个银行标志有何共同点观察下列三个银行标志有何共同点?圆的对称性圆的对称性n圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？想一想想一想P881 1如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?你能找到多少条对称你能找到多少条对称轴？轴？O O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的?圆的对称性圆的对称性n圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无它有无数条对称轴数条对称轴.O O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.注意：注意：对称轴是直线，不
2、能说每对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；一条直径都是它的对称轴；AM=BM,探索规律探索规律nAB是是 O的一条弦的一条弦.n你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:ABCDMn由由 CD是是直直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.n如图如图,小明的理由是小明的理由是:n连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在Rt
3、OAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.探索规律探索规律能够重合的能够重合的弧叫等弧弧叫等弧 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的两两 条弧条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD =BD.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABC
4、D平分弧平分弧ACB结论结论探索规律探索规律 分一条弧成相等分一条弧成相等的两条弧的点叫做的两条弧的点叫做这条弧的中点这条弧的中点垂径定理垂径定理作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点的中点CDABE例例1 已知已知AB，如图，用直尺和圆规求作这如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点条弧的中点变式变式一：一：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点CDABEFGmn变式变式一：一：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点CDABFG强调：等分弧时一定强调：等分弧时一定要作要作弧所对的弦弧所对的弦的垂的垂直平分线
5、直平分线变式变式二：你能确定弧二：你能确定弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？OABCab方法：只要在圆方法：只要在圆弧上任意取三点，弧上任意取三点，得到三条弦，画得到三条弦，画其中两条弦的垂其中两条弦的垂直平分线，交点直平分线，交点即为圆弧的圆心即为圆弧的圆心例例2 已知：如图，线段已知：如图，线段AB与与 O交于交于C、D两点，且两点，且OA=OB 求证：求证：AC=BD 思路：思路：CM=DM CM=DM OA=OB OA=OB AM=BM AM=BM AC=BDAC=BDOABCMD作作OMAB，垂足为，垂足为M圆心到圆的一条弦的距离叫做圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦心距小结：小结：1画
6、弦心距是圆中常见的画弦心距是圆中常见的辅助线；辅助线；OABCr rd d2 半径（半径（r)、半弦、弦心距半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：它们之间的关系：例例3 3n如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径OB=10，水面宽水面宽AB=16。求截面圆心到水面的求截面圆心到水面的距离距离OC。.ABOC1 1已知已知0 0的半径为的半径为1313，一条弦的，一条弦的ABAB的弦心距为的弦心距为5 5，则这条弦的弦长等于则这条弦的弦长等于 24242 2如图，如图
7、，ABAB是是0 0的中直径，的中直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中不一定成立的是（则下列结论中不一定成立的是（）A ACOE=DOE BCOE=DOE BCE=DE CE=DE C COE=BE DOE=BE DBD=BCBD=BC C CABCODE五、目标训练五、目标训练3 3过过O O内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为10cm10cm，最短弦长为最短弦长为8cm8cm，那么那么OMOM长为（长为（）A A3 B3 B6cm C6cm C cm Dcm D9cm 9cm 4 4如图，如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦ABAB长为长为8 8
8、，M M是弦是弦ABAB上上的动点，则的动点，则OMOM的长的长的取值范围是（的取值范围是（）A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5ABOMAA5 5 已知已知O O的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12，CD=16CD=16，则，则ABAB和和CDCD的的距离为距离为 2 2或或14146.6.如如图图,M,M为为O O内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM本节课主要内容本节课主要内容：（1 1）圆的轴对称性；（）圆
9、的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理2 2垂径定理的应用：垂径定理的应用：（1 1）作图；（）作图；（2 2）计算和证明）计算和证明3 3解题的主要方法：解题的主要方法：六、总结回顾六、总结回顾（2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距半弦、弦心距(d)(d)组成的直角三角形是组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：（1 1）画弦心距是圆中常见的辅助线；画弦心距是圆中常见的辅助线；练练4 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求
10、证：求证：ACBD。E.ACDBO课外练习课外练习n3、已知：如图，已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 的半径的半径OA.例题解析例题解析练练1 1：如图，已知在圆：如图，已知在圆O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8，圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3，求圆，求圆O O的半径。的半径。练习练习:在半径为在半径为5050的圆的圆O O中，有长中，有长5050的的弦弦ABAB，计算：计算：点点O O与与ABAB的距离；的距离；AOBAOB的度数。的度数。E练习练习:在圆在圆O中，
11、直径中，直径CEAB于于 D，OD=4，弦，弦AC=，求圆求圆O的半径。的半径。练练2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求半径求半径OC的长。的长。练练3：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与与 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆且圆O的半径为的半径为 10，CD=16，求，求AE-BF的长。的长。练习练习:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦求弦AB的的长。长。6 6如图，已知如图，已知ABAB、ACAC为弦，为弦，OMABOMAB于点于点M M，ONACONAC于点于点N N，BC=4BC=4，求，求MNMN的长的长思路：由垂径定理可得思路：由垂径定理可得M M、N N分别是分别是ABAB、ACAC的中点，所以的中点，所以MN=BC=2MN=BC=2A AC CO OM MN NB B已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF