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1、03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动的研究晶格振动的研究 晶体的热学性质晶体的热学性质 固体热容量固体热容量 热运动是晶体宏观性质的表现热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律 一摩尔固体有一摩尔固体有N个原子，有个原子，有3N个振动自由度，按能个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量摩尔热容量总的内能总的内能03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动晶格振动 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础研究固体
2、宏观性质和微观过程的重要基础晶格振动晶格振动 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系导电性、磁性、结构相变有密切关系 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降摩尔热容量摩尔热容量 与温度无关与温度无关 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质原子的振动原子的振动 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
3、顿量之和顿量之和 这些谐振子的能量量子，称为声子这些谐振子的能量量子，称为声子 晶格振动的总体可看作是声子的系综晶格振动的总体可看作是声子的系综 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的 振振 动模式动模式 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质3.1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 简谐近似简谐近似 只考虑最近邻原子之间的相互作用只考虑最近邻原子之间的相互作用研究对象研究对象 由由N个质量为个质量为m的原子组成的晶体的原子组成
4、的晶体偏离平衡位置的位移矢量偏离平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置第第n个原子的平衡位置个原子的平衡位置3个方向上的分量个方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质N个原子的位移矢量个原子的位移矢量 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开取取平衡位置平衡位置 不计高阶项不计高阶项系统的势能函数系统的势能函数03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量系统的势能函数系统的势能函数系统的动能函数系统的动能函数 含有坐标的交叉项含有坐标的交叉项03_01_简谐近似和简正
5、坐标 晶格振动与晶体的热学性质引入简正坐标引入简正坐标 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换假设存在线性变换系统的哈密顿量系统的哈密顿量拉格朗日函数拉格朗日函数正则动量正则动量03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量正则方程正则方程 3N个独立无关的方程个独立无关的方程简正坐标方程解简正坐标方程解简正振动简正振动 所有原子参与的振动，振动频率相同所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模振动模 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动正则动量正则动量03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质只考察某一个振动模只考察某一个振动模系统能量本征值计算系统能量本征值计算正则动量算符正则动量算符系统薛定谔方程系统薛定谔方程03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质任意一个简正坐标任意一个简正坐标 谐振子方程谐振子方程能量本征值能量本征值本征态函数本征态函数 厄密多项式厄密多项式03_01_简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质系统能量本征值系统能量本征值系统本征态函数系统本征态函数N个原子组成的晶体个原子组成的晶体系统薛定谔方程系统薛定谔方程