《第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT讲稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT讲稿.ppt（85页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三章晶格振动和晶体的热学性质第1页，共85页，编辑于2022年，星期二点阵动力学的建立点阵动力学的建立 19071907年，年，Albert EinsteinAlbert Einstein发表了题为发表了题为“PlanckPlanck辐射理论与比热辐射理论与比热的理论的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。19121912年，年，Peter Joseph William DebyePeter Joseph William Debye认识到
2、，认识到，EinsteinEinstein提出提出的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。19121912年，年，Max BornMax Born和和Theodore von KarmanTheodore von Karman发表了题为发表了题为“论空间论空间点阵的振动的论文点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应
3、该是以点阵波的形。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形式存在，是点阵动力学的奠基之作。式存在，是点阵动力学的奠基之作。1920-19501920-1950年，年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、电导、介电、光学和电导、介电、光学和X X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在Max BornMax Born和黄昆的书和黄昆的书“晶体点阵的动力理论晶体点阵的动力理论”中。中。19501950年以后，年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。第2页，共85页，编
4、辑于2022年，星期二本章主要内容：本章主要内容：先讨论简谐晶体的经典运动，建立原子的运动方程，先讨论简谐晶体的经典运动，建立原子的运动方程，得到得到 晶格振动的能量和频率并讨论其色散关系。晶格振动的能量和频率并讨论其色散关系。对简谐晶体进行量子力学处理，将多体问题化为单体对简谐晶体进行量子力学处理，将多体问题化为单体 问题，并建立声子的概念（晶格振动波的能量量子）问题，并建立声子的概念（晶格振动波的能量量子）晶格振动谱的实验测定原理和方法。晶格振动谱的实验测定原理和方法。对晶体的热学性质，即比热、热膨胀和热导率等进行讨论对晶体的热学性质，即比热、热膨胀和热导率等进行讨论第3页，共85页，编辑
5、于2022年，星期二3.1一维晶格的振动一维晶格的振动研究固体中原子振动时的两个假设研究固体中原子振动时的两个假设:v每个原子的中心的平衡位置在对应每个原子的中心的平衡位置在对应BravaisBravais点阵的格点上点阵的格点上.v原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可用谐振近似可用谐振近似.二原子间的相互作用能二原子间的相互作用能 两原子之间的相互作用能为两原子之间的相互作用能为U(r)，r为两原子间的距离；为两原子间的距离；把把U(r)在平衡位置在平衡位置r0附近作泰勒展开：附近作泰勒展开：一、一维单原子链的振动一、一维单原子链的振动（简单格
6、子，揭示晶格振动的基本特点）（简单格子，揭示晶格振动的基本特点）第4页，共85页，编辑于2022年，星期二当当很小时，作二级近似很小时，作二级近似 恢复力恢复力-胡克定律胡克定律(为倔强系数为倔强系数)-简谐近似简谐近似 模型：模型：设一维单原子链中，原子间距设一维单原子链中，原子间距(晶格常量晶格常量)为为a，总长为总长为 L=Na,N为原子总数为原子总数（晶胞数（晶胞数 ），原子质量为，原子质量为m。研究一维单原子链的振动研究一维单原子链的振动第5页，共85页，编辑于2022年，星期二第第n个粒子的受力情况：个粒子的受力情况：运动方程：运动方程：假设晶格足够长，可忽略边界。以行波作试探解，
7、即假设晶格足够长，可忽略边界。以行波作试探解，即 代入运动方程得：代入运动方程得：利用利用 ，和，和 得：得：第6页，共85页，编辑于2022年，星期二即：即：（频率与波矢之间的关系）（频率与波矢之间的关系）其中其中色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速度不同，色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系一维一维BravaisBravais格子的格子的色散关系色散关系第7页，共85页，编辑于2022年，星期二讨论：讨论：（1 1）长波极限）长波极限 由于周期性，考虑由于周期性，
8、考虑 的区间的区间 当当声学支格波（声学波）声学支格波（声学波）:长声学波为弹性波；频率较低长声学波为弹性波；频率较低 速度速度与与 之间是线性关系之间是线性关系（弹性波的特点）（弹性波的特点）第8页，共85页，编辑于2022年，星期二(2)q(2)q空空间间的周期的周期对对称性称性色散关系色散关系具有周期对称性，周期为具有周期对称性，周期为 ,即即 在晶格中具有物理意义的波矢仅存在于在晶格中具有物理意义的波矢仅存在于 的区间的区间 举例说明举例说明对格点振动有贡献的是原对格点振动有贡献的是原子，两原子之间的振动在子，两原子之间的振动在物理上没有意义。物理上没有意义。(1)(2)第一布里渊区第
9、一布里渊区 第9页，共85页，编辑于2022年，星期二第一布里渊区（第一布里渊区（倒格子空间）倒格子空间）倒格子空间倒格子空间-波矢空间波矢空间第10页，共85页，编辑于2022年，星期二(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数周期性边界条件、第一布里渊区中的模数 q q的取值采用波恩的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：卡门边界条件（周期性边界条件）来定：N为晶格中的原子个数（晶胞数为晶格中的原子个数（晶胞数）即：即：aa波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件（周期性边界条件）（周期性边界条件）第11页，共85页，编辑于2022年，星期二得：得：=0，1，2等整数等整数 在第一布
10、里渊区，在第一布里渊区，q取值为取值为 对应于对应于(只能取只能取N个值个值-模数模数)结论：结论：在第一布里渊区内的在第一布里渊区内的q q值唯一地描述了所有的晶格值唯一地描述了所有的晶格振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N N。第12页，共85页，编辑于2022年，星期二二、二、一维双原子链的振动一维双原子链的振动 模型模型:一维无限长双原子链，原子质量为一维无限长双原子链，原子质量为m m和和M M，且且m m M M。原胞长仍为原胞长仍为a，两原子之间的距离为，两原子之间的距离为 ,恢复力系数为恢复力系数为。总长为总长为 L=Na,N为原胞
11、总数。为原胞总数。质量为质量为M的原子编号为的原子编号为:n-1,1、n,1、n+1,1、设设 是相应于原子是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离在沿链方向对其平衡位置的偏离质量为质量为m的原子编号为的原子编号为:n-1,2、n,2、n+1,2、（揭示复式格子振动的基本特点）（揭示复式格子振动的基本特点）模型模型:一维无限长双原子链，原子质量为一维无限长双原子链，原子质量为m m和和M M，且且m m M M。原胞长仍为原胞长仍为a，两原子之间的距离为，两原子之间的距离为 ,恢复力系数为恢复力系数为。总长为总长为 L=Na,N为原胞总数。为原胞总数。质量为质量为M的原子编号为的原子编号
12、为:n-1,1、n,1、n+1,1、设设 是相应于原子是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离在沿链方向对其平衡位置的偏离质量为质量为m的原子编号为的原子编号为:n-1,2、n,2、n+1,2、第13页，共85页，编辑于2022年，星期二方程和解方程和解和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：类似于前面的讨论，可取解的形式为：类似于前面的讨论，可取解的形式为：代入运动方程得：代入运动方程得：第14页，共85页，编辑于2022年，星期二上式看成是以上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程为未知数的线性齐次方程.以以A、B为未知
13、数的线性齐次方程为未知数的线性齐次方程有非零解的条件为系数有非零解的条件为系数 行列式为零：行列式为零：第15页，共85页，编辑于2022年，星期二最简单的一维双原子链的色散关系最简单的一维双原子链的色散关系第16页，共85页，编辑于2022年，星期二1)色散曲线色散曲线（acousticsacoustics）（折合质量）（折合质量）第一布里渊区第一布里渊区 第17页，共85页，编辑于2022年，星期二 光学支频率的变化不大；在声学支的频率极大值和光光学支频率的变化不大；在声学支的频率极大值和光学支的频率极小值之间，存在一个频率空隙。学支的频率极小值之间，存在一个频率空隙。u在在q q 0 0
14、时时长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。类似。u光学支名字的由来，是由于在离子晶体中，可用远红外光光学支名字的由来，是由于在离子晶体中，可用远红外光波的电磁场激发此格波。波的电磁场激发此格波。第18页，共85页，编辑于2022年，星期二2)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数周期性边界条件、第一布里渊区中的模数 q q的取值采用波恩的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：卡门边界条件（周期性边界条件）来定：得：得：=0，1，2等整数等整数 在第一布里渊区，在第一布里渊区，q取值在区间取值在区间 对应于对应于(只能取只能取N个值个
15、值)与单原子链比较可知，对应于每个波矢与单原子链比较可知，对应于每个波矢q，一维双原子链出现了两个一维双原子链出现了两个频率不同的振动模式。由于不等价的频率不同的振动模式。由于不等价的q q的数目与原胞数目相等，因此，的数目与原胞数目相等，因此，双原子链共有双原子链共有2N2N个不同的振动模式。（个不同的振动模式。（N N个波矢数，个波矢数，2N2N个频率数）个频率数）第19页，共85页，编辑于2022年，星期二(3)相邻原子相邻原子的振幅之比的振幅之比长光学波长光学波 长声学波长声学波第20页，共85页，编辑于2022年，星期二长声学支格波相邻原子都是沿着同一方向振动的。长声学波长声学波 长
16、声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了原胞质心的的振幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了原胞质心的运动。运动。长光学波长光学波:长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。第21页，共85页，编辑于2022年，星期二 光学支格波，相邻原子振光学支格波，相邻原子振动方向是相反的动方向是相反的。声学支格波，相邻原子振声学支格波，相邻原子振 动方动方向是相同的向是相同的。
17、第22页，共85页，编辑于2022年，星期二模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B-K条件条件波矢波矢q取值取值一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤:第23页，共85页，编辑于2022年，星期二格波的支数格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数，晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数晶体的自由度数。一维单原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=11支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=N频率数为频率数为N一维双原子链，设晶体有N个原胞。原胞
18、内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=22支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=2N频率数为频率数为2N第24页，共85页，编辑于2022年，星期二点阵常数为点阵常数为 的一维点阵的一维点阵 第一BZ就是 的区域点阵常数为点阵常数为 的二维正方点阵的二维正方点阵第一第一 BZ就是就是：（横轴）、（横轴）、（纵轴）的正方形（纵轴）的正方形 面积为：面积为：第一布里渊区第一布里渊区第一第一BZBZ为一个原胞的大小为一个原胞的大小第25页，共85页，编辑于2022年，星期二3.2三维晶格的振动三维晶格的振动 表示顶点位矢为表示顶点位矢为 的原胞内第的原胞内第s个原个原子离开平衡位置在子离开平衡位
19、置在 方向的位移。方向的位移。表示平衡时顶点位矢为表示平衡时顶点位矢为 的原胞内第的原胞内第s个原子的个原子的位矢；位矢；设三维无限大的晶体设三维无限大的晶体,每个原胞中有每个原胞中有p个原子，相当于每个基元个原子，相当于每个基元有有p个原子，各原子的质量分别为个原子，各原子的质量分别为 原胞中这原胞中这p个原子个原子平平衡时的相对位矢分别为衡时的相对位矢分别为 。(=x,y,z)模型模型:第26页，共85页，编辑于2022年，星期二在简谐近似下，上式的，上式的右端是位移的线性代数式右端是位移的线性代数式。共有共有3p个方程个方程(=x,y,z；s=1,2,3,p)运动方程和解运动方程和解试探
20、解试探解：仿照一维的运动情况，我们可以写出每个原子的振动方程：仿照一维的运动情况，我们可以写出每个原子的振动方程：将试探解代入运动方程中，指数项可消去，得到将试探解代入运动方程中，指数项可消去，得到3p 个个线性线性 齐次方程：齐次方程：A s有非零解有非零解,必须其系数行列式为零必须其系数行列式为零3p个个 的实根的实根(=x,y,z；s=1,2,3,p)第27页，共85页，编辑于2022年，星期二这3支格波称为声学支格波。其余的其余的(3 3p-p-3 3)支格波支格波的频率比声学波的最高频率还要高的频率比声学波的最高频率还要高 -光学支格波波矢波矢q q的取值和范围的取值和范围设晶体有设
21、晶体有N个原胞个原胞,原胞的原胞的基矢基矢为：为：沿基矢方向各有沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞个原胞,在在3p个实根中，其中有个实根中，其中有3个当波矢个当波矢q 0时时,(可和晶体的体积类比可和晶体的体积类比)第28页，共85页，编辑于2022年，星期二根据玻恩根据玻恩-卡门周期性条件：卡门周期性条件：第29页，共85页，编辑于2022年，星期二第30页，共85页，编辑于2022年，星期二波矢波矢 具有倒格矢的量纲，得出具有倒格矢的量纲，得出:三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。为波矢的基矢，波矢的点阵亦
22、具有周期性。(二维图示二维图示)每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为：正格子原胞体积正格子原胞体积晶体体积晶体体积第31页，共85页，编辑于2022年，星期二波矢密度波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。将将 的取值限制在一个倒格子原胞范围内的取值限制在一个倒格子原胞范围内 -第一布里渊区（简约布里渊区）第一布里渊区（简约布里渊区）波矢可取的数目为倒格子原胞的体积乘以波矢密度：波矢可取的数目为倒格子原胞的体积乘以波矢密度：每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为：-原胞的个数原胞的个数第32页，共85页，编辑于2022年，星期二晶格振动频率数目晶格振动频率数目
23、:设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,每个原胞有每个原胞有p个原子个原子,晶体的维数是晶体的维数是m晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数 mp，m m支声学波，支声学波，m m(p p-1)-1)支光学波支光学波晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目(模式数目）模式数目）=晶体的自由度数晶体的自由度数 mNp3支声学波支声学波(3p-3)支光学波支光学波v p=1的的3维维简单晶格简单晶格(3p-3=0)，与一维单原子链类似，与一维单原子链类似，只有只有 声学波声学波(q=0,)。只不过数目由。只不过
24、数目由1变成了变成了3第33页，共85页，编辑于2022年，星期二 例例:金刚石结构有几支格波金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶体有设晶体有N N个原胞，个原胞，晶格振动模式数为多少晶格振动模式数为多少?金刚石结构为复式格子金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。振动模式数振动模式数(格波振动频率数目格波振动频率数目)为为6N。晶体中格波的支数晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数 mp，m m支声学波，支声学波，m m(p p-1)-1)支光学波支光学
25、波晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目(模式数目）模式数目）=晶体的自由度数晶体的自由度数 mNp第34页，共85页，编辑于2022年，星期二 3.3晶格振动晶格振动 声子声子 讨论晶格振动的能量，由此引入声子（晶格振动的能量子）。讨论晶格振动的能量，由此引入声子（晶格振动的能量子）。某三维晶体由某三维晶体由N N个原子组成个原子组成 其中其中是偏离平衡位置的位移矢量，对是偏离平衡位置的位移矢量，对N个原子个原子 位移矢量有位移矢量有3N个分量，个分量，i=1,2,3,.,3N N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数个原子
26、体系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数假定晶体中原子任意时刻的位置为假定晶体中原子任意时刻的位置为第35页，共85页，编辑于2022年，星期二 以上是用原子的位矢或位移来描写晶格振动的，这类以上是用原子的位矢或位移来描写晶格振动的，这类坐标称为坐标称为原子坐标原子坐标。可以通过简谐近似得到运动方程及。可以通过简谐近似得到运动方程及其特解。其特解。原子坐标的局限性：原子坐标的局限性：使得原子体系的哈密顿函数有交使得原子体系的哈密顿函数有交叉项，从而使之变成相互关联的多体问题，即原子坐标描叉项，从而使之变成相互关联的多体问题，即原子坐标描写的运动是相互耦合的。写的运动是相互耦合的。解这类问题的解
27、这类问题的标准做法标准做法是寻求一个是寻求一个正交变换正交变换，将，将3N个个原子位移坐标原子位移坐标 变换到变换到 3N 个个简正坐标简正坐标。(使得不再出现交叉项使得不再出现交叉项)第36页，共85页，编辑于2022年，星期二广义坐标广义坐标是指能够确定质点位置的任意一组量。是指能够确定质点位置的任意一组量。若质点的自由度为若质点的自由度为r r，采用，采用r r个量个量 q q1 1、q q2 2、qqr r（广义坐标广义坐标）就能确定质点的位置。就能确定质点的位置。广义速度广义速度：广义动量广义动量：哈密顿函数：哈密顿函数：以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数以广义坐标和广义动量为自
28、变量的能量函数 =H（qi、pi）（i=1、2、r）哈密顿方程为哈密顿方程为：第37页，共85页，编辑于2022年，星期二简正坐标简正坐标N个原子体系的动能函数为个原子体系的动能函数为 为使问题简化，引入简正坐标为使问题简化，引入简正坐标 简正坐标与原子位移坐标简正坐标与原子位移坐标 之间通过之间通过正交变换正交变换相互联系：相互联系：势能函数：势能函数：按照分析力学方法，可推得：按照分析力学方法，可推得：N个原子的体系，个原子的体系，共有共有3N 个这种相互独立的方程个这种相互独立的方程第38页，共85页，编辑于2022年，星期二 表明：表明：各简正坐标描写相互独立的谐振动。由于每个原子坐标
29、各简正坐标描写相互独立的谐振动。由于每个原子坐标都是一切简正坐标的线性组合，所以一个简正坐标所描述的是体系中都是一切简正坐标的线性组合，所以一个简正坐标所描述的是体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或格波。是集体运所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或格波。是集体运动的描写法。简正坐标动的描写法。简正坐标-集体坐标集体坐标。这正是频率为这正是频率为 的一维谐振子的运动方程的一维谐振子的运动方程一一维谐维谐振子系振子系统统的量子力学能的量子力学能级级就是：就是：N个原子的体系，个原子的体系，共有共有3N 个这种相互独立的方程（个这种相互独立的方程（3N个个 值值 晶体自由度
30、数晶体自由度数）体系的总能量：体系的总能量：第39页，共85页，编辑于2022年，星期二 由由N个原子组成的个原子组成的三维晶体的振动三维晶体的振动等价于等价于3 3N个谐振子的振动个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率，每个谐振子的振动频率就是晶格振动频率，每个 对应特定波矢对应特定波矢 体系的总能量：体系的总能量：第40页，共85页，编辑于2022年，星期二光具有波粒二象性。光具有波粒二象性。具有一定频率的光波是光的经典电磁学描述。具有一定频率的光波是光的经典电磁学描述。而量子理论提出：频率为而量子理论提出：频率为 的光束是由称为光子的光束是由称为光子(Photon)(Photo
31、n)的的量子组成的，每一个光子的能量：量子组成的，每一个光子的能量：动量：动量：晶格振晶格振动动也是一种波。可以仿照光子的定也是一种波。可以仿照光子的定义义，将固定，将固定频频率率为为波矢波矢为为 的点阵振动波对应于一种粒子：声子的点阵振动波对应于一种粒子：声子(Phonon)(Phonon)声子能量与声子能量与简简正振正振动频动频率的关系定率的关系定义为义为：声子声子准准动动量量定定义为义为则则声子的色散关系声子的色散关系就是声子的能就是声子的能谱谱（能量（能量-动动量关系）。量关系）。第41页，共85页，编辑于2022年，星期二声子是准粒子，它并不携带真实动量声子是准粒子，它并不携带真实动
32、量例：例：对一维单原子链，可证：波矢为对一维单原子链，可证：波矢为 的格波的总动量为：的格波的总动量为：声子的等价性：用声子的等价性：用 取代波矢取代波矢 ，格波的解无变化格波的解无变化第42页，共85页，编辑于2022年，星期二晶格晶格振动振动格波格波简谐简谐近似近似独立的振独立的振动模式动模式由由B-K边界条件边界条件q分立分立值值声子声子晶格振动能量晶格振动能量量子化量子化 在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐
33、作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。保证了声子气体能够达到热平衡状态。第43页，共85页，编辑于2022年，星期二关于声子的讨论：关于声子的讨论：2.声子不是真实的粒子，称为声子不是真实的粒子，称为“准粒子准粒子”，它反映的是晶格，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。声子只是晶格中原子集体运动的激发晶体后就没有意义了。声子只是晶格中原子集体运动的激发单元。单元。1.晶格振动的波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性晶格振动的波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性 的两个的两个表示。表示。3.声
34、子声子是晶格振动的能量量子，模的角频率为是晶格振动的能量量子，模的角频率为 的声子能量的声子能量为为 ，波矢为，波矢为 的声子的声子“准动量准动量”(或称晶体动量或称晶体动量)为为 。4.4.晶格振动状态（温度）不同，一定振动模式（晶格振动状态（温度）不同，一定振动模式（）对应）对应的声子数不同，其变化相应于声子的产生和湮灭。的声子数不同，其变化相应于声子的产生和湮灭。第44页，共85页，编辑于2022年，星期二 6.当电子当电子(或光子或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得为单位，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若能量，称
35、为吸收一个声子，若电子给晶格电子给晶格 能量，称为发射一个声子。能量，称为发射一个声子。5.5.温度趋于零的时候温度趋于零的时候,没有热激发，各格波都处于基态，没有热激发，各格波都处于基态，声子数趋声子数趋于零，但是根据上述公式，振动能量也不是零（于零，但是根据上述公式，振动能量也不是零（有基态能（零点能）有基态能（零点能）.体现了测不准原理。体现了测不准原理。7.7.声子是准粒子，它并不携带真实动量声子是准粒子，它并不携带真实动量第45页，共85页，编辑于2022年，星期二玻色分布玻色分布 N个粒子的在各能级的个粒子的在各能级的分布分布al ：能能 级级 1，2，l，简简 并并 度度 1，2
36、，l，粒粒 子子 数数 a1，a2，al，8.由于由于 相同的各声子之间不可区分且自旋为零，且对每个相同的各声子之间不可区分且自旋为零，且对每个声子能级声子能级 ，声子的占据数没有限制，所以，声子的占据数没有限制，所以声子是玻色型的准声子是玻色型的准粒子粒子(即玻色子即玻色子(boson)，同光子一样，同光子一样)，遵循玻色统计。，遵循玻色统计。声子数随着声子数随着温度的升高而增加，声子数不守恒（温度的升高而增加，声子数不守恒（化学势为化学势为0）第46页，共85页，编辑于2022年，星期二3.4 晶格振动谱的实验测定晶格振动谱的实验测定 晶格振动晶格振动 -色散关系，也称为色散关系，也称为晶
37、格振动谱晶格振动谱。把晶格振动用准粒子把晶格振动用准粒子声子来描述，外部粒子和晶格相互作声子来描述，外部粒子和晶格相互作用后的能量和动量的变化传递给了声子，则外部粒子和声子用后的能量和动量的变化传递给了声子，则外部粒子和声子之间满足能量和之间满足能量和准准动量守恒动量守恒(为简单，仅考虑一个声子的情况为简单，仅考虑一个声子的情况)。设入射粒子能量为设入射粒子能量为 ，初动量为，初动量为 ；和晶体相互作用；和晶体相互作用 后能量为后能量为 ，末态动量为：，末态动量为：.则：则：加号加号-入射粒子吸收了一个声子；入射粒子吸收了一个声子；减号减号-入射粒子放出了一个声子。入射粒子放出了一个声子。能量
38、守恒能量守恒准动量守恒准动量守恒第47页，共85页，编辑于2022年，星期二 实验方法：实验方法：主要通过中子、可见光、主要通过中子、可见光、X射线与晶格的射线与晶格的 非弹性散射；而热中子的非弹性散射是最常用的方法。非弹性散射；而热中子的非弹性散射是最常用的方法。X-X-射线散射射线散射X光光子能量光光子能量-10104 4eVeV。非弹性散射后光子能量变化很少，不易测量。非弹性散射后光子能量变化很少，不易测量。凝聚态物质原子间距大约为凝聚态物质原子间距大约为0.1nm1nm，晶格的平，晶格的平均热运动能量以及由于晶格振动产生的声子能量大概都均热运动能量以及由于晶格振动产生的声子能量大概都是
39、是10-3eV10-1eV的数量级。探测晶格振动谱的的数量级。探测晶格振动谱的“探头探头”，其波长和能量应与声子为同一数量级。其波长和能量应与声子为同一数量级。第48页，共85页，编辑于2022年，星期二 可见光范围，波矢为可见光范围，波矢为10105 5cmcm-1-1的量级，故相互作用的声子的量级，故相互作用的声子的波矢也在的波矢也在10105 5cmcm-1-1的量级，只是布里渊区中心附近很小一部的量级，只是布里渊区中心附近很小一部分区域内分区域内(布里渊区尺度为布里渊区尺度为10108 8cmcm-1-1)的声子，即长波声子的声子，即长波声子。(1)(1)布里渊散射布里渊散射(Bril
40、louin scattering)(Brillouin scattering)：光子与长声学波声子作用，吸收或放出声子的过程；光子与长声学波声子作用，吸收或放出声子的过程；(2)(2)拉曼散射拉曼散射(Raman scattering)(Raman scattering)：光子与长光学波声子作用，吸收或放出声子的过程光子与长光学波声子作用，吸收或放出声子的过程.可见光的非弹性散射可见光的非弹性散射第49页，共85页，编辑于2022年，星期二中子的非弹性散射中子的非弹性散射 核反应堆发出的中子经过减速（慢化）以后，其能量与热平衡的核反应堆发出的中子经过减速（慢化）以后，其能量与热平衡的晶格的平均
41、热运动能量相当，所以这种晶格的平均热运动能量相当，所以这种慢中子又称为热中子慢中子又称为热中子。热中子的德布罗意波长约为热中子的德布罗意波长约为0.1nm，符合晶格振动谱的，符合晶格振动谱的“探头探头”要求要求 1994年诺贝尔物理学奖一半授予加拿大的布罗克豪斯年诺贝尔物理学奖一半授予加拿大的布罗克豪斯（Bertram NivilleBrockhouse），表彰他发展了），表彰他发展了中子谱学中子谱学；另一半授予美国的沙尔（另一半授予美国的沙尔（Clifford Glenwood Shull），），表彰他发展了表彰他发展了中子衍射技术中子衍射技术。第50页，共85页，编辑于2022年，星期二动
42、量为动量为 ，原理中子与晶体中声子中子与晶体中声子的相互作用的相互作用中子与晶体的中子与晶体的相互作用相互作用中子吸收或发射声子中子吸收或发射声子非弹性散射非弹性散射入射中子流：入射中子流：从晶体中出射的中子流：从晶体中出射的中子流：动量为动量为 ，能量为能量为能量为能量为（为中子质量）为中子质量）第51页，共85页，编辑于2022年，星期二由能量守恒和准动量守恒得：由能量守恒和准动量守恒得：第52页，共85页，编辑于2022年，星期二v改变入射中子流的动量改变入射中子流的动量 ，；从而得到该方向的谱线。从而得到该方向的谱线。可测出多个可测出多个 ，v改变晶体的取向，探测的方向，最后可测出晶体
43、的整改变晶体的取向，探测的方向，最后可测出晶体的整 个声子谱。个声子谱。v实验中，固定入射中子流的动量实验中，固定入射中子流的动量 ，；测出某一散射方向上的动量测出某一散射方向上的动量 ，从而得到了晶体声子谱中的一个点从而得到了晶体声子谱中的一个点第53页，共85页，编辑于2022年，星期二中子源中子源单色器单色器准准直直器器准直器准直器样品样品能量分析器能量分析器探测器探测器2 2 反应堆中产生的反应堆中产生的慢中子流慢中子流布拉格反射产生单色的动布拉格反射产生单色的动量为量为P的中子的中子中子计数中子计数仪器仪器（三轴中子谱仪）（三轴中子谱仪）第54页，共85页，编辑于2022年，星期二硅
44、晶体硅晶体中沿着第一布里渊区的三个对称方向中沿着第一布里渊区的三个对称方向、和和的色散关系的色散关系。第55页，共85页，编辑于2022年，星期二晶体热容的实验规律晶体热容的实验规律 (1)(1)在高温时在高温时，晶体的热容为晶体的热容为 (N为晶体中原子的个数为晶体中原子的个数,k kB B=1.38 10-23J K-1为玻尔兹曼常为玻尔兹曼常量；量；v v 为晶体中原子摩尔数为晶体中原子摩尔数,R R=8.31=8.31J/K molJ/K mol 为普适气体常数为普适气体常数)(2)(2)在低温时，绝缘体热容按在低温时，绝缘体热容按 T3 3 趋于零；趋于零；导体热容按导体热容按T 趋
45、于零趋于零。3.6晶格振动热容理论晶格振动热容理论 晶体的定容热容定义为晶体的定容热容定义为：U U-晶体的内能晶体的内能第56页，共85页，编辑于2022年，星期二晶格振动热容晶格振动热容晶体电子热容晶体电子热容通常情况下，通常情况下，本节只讨论晶格振动热容。本节只讨论晶格振动热容。分别用经典理论和量子理论来解释晶体热容的规律。分别用经典理论和量子理论来解释晶体热容的规律。第57页，共85页，编辑于2022年，星期二晶体热容的晶体热容的经典理论(杜隆-珀蒂定律)根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是 kBT (振动动能振动动能+振动势能）振动势能
46、）若晶体有若晶体有N N个原子，则总自由度为个原子，则总自由度为3N,内能为内能为3NkBT。低温时经典理论不再适用。它是一个与温度无关的常数，这一结论称为它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆杜隆-珀蒂定律珀蒂定律 (Dulong-Petit)(Dulong-Petit)第58页，共85页，编辑于2022年，星期二晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 晶格振动的能量是量子化的，频率为晶格振动的能量是量子化的，频率为的振动能量为的振动能量为:代表零点振动能，对热容没有贡献代表零点振动能，对热容没有贡献 温度为温度为T T时，频率为时，频率为的振动的能量的振动的能量:n 是是频率为频率为 的
47、谐振子的平均声子数，的谐振子的平均声子数，据玻色统计理论：据玻色统计理论：第59页，共85页，编辑于2022年，星期二晶体由晶体由N N个原子组成，每个原子有个原子组成，每个原子有3 3个自由度，共有个自由度，共有3N3N个个分立的振动频率，晶体内能：分立的振动频率，晶体内能：温度为温度为T T时，频率为时，频率为的振动的能量为：的振动的能量为：第60页，共85页，编辑于2022年，星期二若频率分布可用一个积分函数表示若频率分布可用一个积分函数表示:表示在频率范围表示在频率范围 可取可取的频率数，的频率数，m m为最大的频率数，为最大的频率数，q q和和为准连续）为准连续）热容：热容：计算复杂
48、，介绍二简化模型计算复杂，介绍二简化模型-爱因斯坦模型爱因斯坦模型和和德拜模型德拜模型 第61页，共85页，编辑于2022年，星期二爱因斯坦模型爱因斯坦模型 假设：假设：（1 1）晶格中原子振动是相互独立的简谐振动；）晶格中原子振动是相互独立的简谐振动；（2 2）所有原子都以相同的频率振动，即）所有原子都以相同的频率振动，即 令令 ，称为称为爱因斯坦特征温度爱因斯坦特征温度 令令称为爱因斯坦热容函数称为爱因斯坦热容函数 第62页，共85页，编辑于2022年，星期二 的选定：的选定：使热容在广大的温度范围，理论曲线与实验曲线符合得很好。使热容在广大的温度范围，理论曲线与实验曲线符合得很好。金刚石
49、实验数据和爱因斯坦理论曲线的比较金刚石实验数据和爱因斯坦理论曲线的比较 第63页，共85页，编辑于2022年，星期二讨论：讨论：v 温度比较高时温度比较高时，与，与杜隆杜隆-珀替珀替定律一致。定律一致。v 温度很低时，温度很低时，（按指数规律），但趋近于（按指数规律），但趋近于0 0的速度要比实际快的速度要比实际快原因：原因：（1 1）“所有原子具有相同振动频率所有原子具有相同振动频率”假设过于简单假设过于简单（2 2）爱因斯坦频率）爱因斯坦频率 E大约为大约为1013Hz，处于远红外光频区，相当于长光学波，处于远红外光频区，相当于长光学波极限。但极限。但在甚低温度下，格波的频率很低，属于长声
50、学波在甚低温度下，格波的频率很低，属于长声学波第64页，共85页，编辑于2022年，星期二德拜模型（德拜模型（DebyeDebye）基本观点：基本观点：(1)(1)晶体晶体视为连续视为连续介介质质，格波，格波视为弹视为弹性波性波(频频率和波矢之率和波矢之间间的色散关系的色散关系应应是是线线性关系，性关系，对应对应的是的是长声学波长声学波)（2 2）晶格振）晶格振动频动频率在率在0 0到极大到极大值值D D（德拜德拜频频率率）间间分布。分布。色散关系：色散关系：纵波：纵波：横波：横波：波矢密度：波矢密度：在波矢范围在波矢范围 的波矢数为：的波矢数为：第65页，共85页，编辑于2022年，星期二v