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1、固体物理学固体物理固体物理3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个个点引起的位移nj为：j为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT，具体计算每个原子的平方平均位移。解解：其中T=2/j为振动周期，所以：第三章第三章 晶格振动与晶体的光学性质习题晶格振动与晶体的光学性质习题固体物理学固体物理固体物理格波的平均动能：一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：平均动能=平均势能=格波平均能量=其中：M=rL固体物理学固体物理固体物理其中振幅 得：所以有：所以，每个原子的平方平均位移：其中：M=rL固体物理学固体物理固体物理43.2 讨讨论论N个个原原胞胞的的一一维维双
2、双原原子子链链（相相邻邻原原子子间间距距为为a），其其2N个个格波解，当格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为解：质量为M的原子位于的原子位于2n-1，2n+1，2n+3。质量为质量为m的原子位于的原子位于2n，2n+2，2n+4。牛顿运动方程牛顿运动方程固体物理学固体物理固体物理5N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程14/34方程方程 的解的解代回到运动方程代回到运动方程固体物理学固体物理固体物理6A、B有有非零解非零解固体物理学固体物理固体物理7两种不同的格波的色散关系两种不同的格波的色散关系 对应一个对应一个q有两支格波：一
3、支声学波和一支光学波。有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为总的格波数目为2N 固体物理学固体物理固体物理8 两种色散关系如图所示两种色散关系如图所示固体物理学固体物理固体物理9长波极限情况下长波极限情况下 与一维单原子晶格格波的色散关系一致与一维单原子晶格格波的色散关系一致固体物理学固体物理固体物理103.3质质量量相相同同两两种种原原子子形形成成一一维维双双原原子子链链，最最近近邻邻原原子子间间的的力常数交错等于力常数交错等于 和和 ，并且最近邻的间距，并且最近邻的间距 1)求出色散关系和分析计算求出色散关系和分析计算 处格波的频率值处格波的频率值2)大致画出色散关系图大致画出
4、色散关系图 解解：绿绿色色标标记记的的原原子子位位于于2n-1，2n+1，2n+3 红红色色标标记记原原子子位位于于 2n，2n+2，2n+4 固体物理学固体物理固体物理11 第第2n个原子和第个原子和第2n1个原子的运动方程个原子的运动方程 体系体系N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 方程的解方程的解令令固体物理学固体物理固体物理12 A、B有非零的解，系数行列式满足有非零的解，系数行列式满足固体物理学固体物理固体物理13 两种色散关系两种色散关系 固体物理学固体物理固体物理14 色散关系图色散关系图 两种色散关系两种色散关系 固体物理学固体物理固体物理3.5题：题：已知Na
5、Cl晶体平均每对离子的相互作用能为：其中马德龙常数=1.75,n=9，平均离子间距为r0=2.82。（1）试求离子在平衡位置附近的振动频率；（2）计算与频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量值61m进行比较。固体物理学固体物理固体物理3.5解：由可以得到：利用计算、简化，代入，可得回复力系数k：=143N/m固体物理学固体物理固体物理 对于NaCl晶体，可以认为是一维双原子晶体，由黄昆教材p96-97分析可以知道，对于离子晶体只有长光学波可以和电磁波发生相互作用。所以有其中，mNa=23g/mol，MCl=35.5g/mol,代入数计算，可得：固体物理学固体物理固体物理与实测同
6、数量级。因为得到的色散关系存在近似。计算波长，可得：代入数据，计算波长，可得：固体物理学固体物理固体物理193.6 计算一维单原子链的频率分布函数计算一维单原子链的频率分布函数()设单原子链长度设单原子链长度波矢取值波矢取值每个波矢的宽度每个波矢的宽度状态密度状态密度dq间隔内的状态数间隔内的状态数对应对应 q，取值相同，取值相同，d 间隔内的状态数目间隔内的状态数目固体物理学固体物理固体物理20一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系令令两边微分得到两边微分得到d 间隔内的状态数目间隔内的状态数目固体物理学固体物理固体物理21代入代入频率分布函数频率分布函数固体物理学固体物理固体物理223.
7、7 设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：附近的长波极限有：证明：频率分布函数证明：频率分布函数三维晶格振动的态密度三维晶格振动的态密度dq间隔内的状态数间隔内的状态数对对 两边微分得到两边微分得到固体物理学固体物理固体物理23将将dq 和和 代入代入得到得到时时 为虚数，有为虚数，有固体物理学固体物理固体物理24方法方法 2振动模式密度函数振动模式密度函数 对于对于q空间的等频率面，波矢空间的等频率面，波矢q为常数为常数已知三维色散关系已知三维色散关系固体物理学固体物理固体物理25因为对于光学波，在因为对于光学波，在 处振动频率具有最大值处振动频率具有最大值频率分布函数频率分布函数固体物理学固体物理固体物理263.8、有、有N个相同原子个相同原子组组成的面成的面积为积为S的二的二维维晶格，在德拜近似晶格，在德拜近似下下计计算比算比热热，并，并论论述在低温极限比述在低温极限比热热正比与正比与T2证明：二维晶格振动的态密度平面中在k到k+dk内独立振动模式二维晶格振动德拜近似下，一定k有一个纵波和一个横波体系的色散关系：固体物理学固体物理固体物理27其中，则上式为积分部分与T无关无穷固体物理学固体物理固体物理283.10 设晶格中每个振子的零点振动能为1/2，试用德拜模型求三维晶格的零点振能解：由（3136）式知，状态密度