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1、 3.8 圆内接正多边形圆内接正多边形问题问题1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形.问题问题2，日常生活中，日常生活中,我们经常能看到正多边形的物体我们经常能看到正多边形的物体,利用正多边形利用正多边形,我们也可以得到许多美丽的图案我们也可以得到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的例子吗你还能举出一些这样的例子吗?你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧只要把一个圆分成相等的一些弧,就就可以作出这个圆的内接
2、正多边形可以作出这个圆的内接正多边形.顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆就这个圆就是这个正多边形的外接圆是这个正多边形的外接圆ABCDEO 如图如图,把把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次连接各分点得到正五边形依次连接各分点得到正五边形ABCDE.AB=BC=CD=DE=EA,A=B.ABCDEO同理同理B=C=D=E.又五边形又五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在 O上上,五边形五边形ABCDE是是 O的内接正五边形的内接正五边形,O是五边形是五边形ABCDE的的 外外接圆接圆.我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正
3、五边形为例证明.弧弧AB=弧弧BC=弧弧CD=弧弧DE=弧弧EA，弧弧BCE=弧弧CDA，活动活动3正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角中心角.O中心角中心角半径半径R边心距边心距r圆内接正多边形相关概念圆内接正多边形相关概念 我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心中心.外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距边心距.例例 有一个亭子有一个亭子,它的地基是半径为它的地基是半径为4m的正六边形的正六边形
4、,求地基的周长和面求地基的周长和面积积(精确到精确到0.1m2).解解:如图，由于如图，由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的所以它的中心角等于等于 ，OBC是等边三角形，从而是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径正六边形的边长等于它的半径,即即BC=OC=4因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l=46=24(m).在在Rt OPC中中,OC=4,PC=利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr活动活动4例如，我们可以这样来画一个边长为例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形的正六边形第一种方法，如图，以第一种方法，
5、如图，以2cm为半径作一个为半径作一个 O，用量角器画一个等于，用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形六边形60O90018060120利用这种利用这种方法可以方法可以画出任意画出任意的正的正n边边形形.第二种方法第二种方法利用尺规作一个已知圆的内接正六边形利用尺规作一个已知圆的内接正六边形如图，以如图，以2cm为半径作一个为半径作一个 O，由于，由于正六边形的半径等于边长正六边形的半径等于边长
6、，所以，所以在圆上依次截取等于在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即可即可O由此由此,你能你能画出正三角画出正三角形形,正十二正十二边形吗边形吗?活动活动5练习练习1 .随堂练习（随堂练习（98）.2.你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗?你是怎么你是怎么做的做的?活动活动63.求半径为求半径为R的圆内接正三角形的边长，边心距和面积的圆内接正三角形的边长，边心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的边的边BC上的高上的高AD,垂足为垂足为D.连接连接OB，则，则OB=R.在在RtOBD中中
7、，OBD=30,边心距边心距OD=在在RtABD中中，BAD=30,ABCDO由勾股定理，求得由勾股定理，求得边长边长 AB=2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的各角都相等的圆内接多边形呢圆内接多边形呢?如果是如果是,说明为什么说明为什么;如果不是如果不是,举出反例举出反例.各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形多边形A1A2A3A4An是是 O的内接多边形的内接多边形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,多边形多边形A1A2A3A4An是正多边形是正多边形.AAAnA1AAAAO弧弧A1A2=弧弧A2A3=弧弧A3A4=弧弧An1An=弧弧AnA1,弧弧A2A3An=弧弧A3A4A1=弧弧A4A5A2=弧弧A1A2An-1，