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1、3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 运算是运算是“数数”的最主要的功能，复数不同于的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算单的复数运算复数的加、减法复数的加、减法引入引入 随着生产发展的需要，我们将数的范围扩随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数展到了复数实部实部虚部虚部 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：运算律：a+b=b+a a
2、b=ba (a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？运算律仍成立吗？探究点探究点1 1 复数的加法复数的加法1.复数代数形式的加法复数代数形式的加法我们规定，复数的加法法则如下：我们规定，复数的加法法则如下：设设z1=a+bia+bi,z2=c+dic+di是任意两个复数，那么是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+dia+bi)+(c+di)=()=(a+c)+(b+d)ia+c)+(b+d
3、)i.说明说明:（1 1）复数的加法运算法则是一种规定）复数的加法运算法则是一种规定.当当b=0b=0，d=0d=0时与实数加法法则保持一致时与实数加法法则保持一致;（2 2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.2.设设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.（1）因为）因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,所以所以 z1+
4、z2=z2+z1 探究点探究点2 复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律（2）因为）因为 (z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,所以所以 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，对任意所以，对任意z1，z2，z3 C,有有 z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）探究点探究点3 3 复数与复平面内的向量有一一对应关系复数与复平面内的向量有一一
5、对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？讨论复数加法的几何意义吗？OZ1(a,b)Z2(c,d)Zxy设设 ,分别与复数分别与复数a+bi,c+di对应对应=（a,b），），=(c,d)+=（a+c,b+d）=(a+c)+(b+d)i复数的加法可以按照向量的加法来进行复数的加法可以按照向量的加法来进行xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法符合向量加法的平行四边形的平行四边形法则法则.3.3.复数加法运算的几何意义复数加法运算的几何意义探究点探究点4 复数的
6、减法复数的减法 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数的复数x+yi叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的差，记作的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此因此 x=a-c,y=b-d,所以所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i,即即 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.4.复数的减法复数的减法 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i说明：说明
7、：两个复数的差是一个确定的复数两个复数的差是一个确定的复数.xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.探究点探究点5.5.复数减法运算的几何意义复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么表示什么?表示复平面上两点表示复平面上两点Z1,Z2的距离的距离例例1 1 计算计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-35-2-3）+（-6-1-4-6-1-4）i i =-11i =-1
8、1i例例2 2 计算计算(1(13i)+(2+5i)+(-4+9i).3i)+(2+5i)+(-4+9i).解：解：原式原式=（1+2-41+2-4）+（-3+5+9-3+5+9）i=-1+11ii=-1+11i根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算可以转化为点的坐标运算或向量运算例例3 3【思路点拨思路点拨】画出图形，作出相应的向量借用画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数向量加减法求复数【思维总结思维总结】要求某个向量对应的复数，只要要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向找出
9、所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量量1.1.（1 1）（）（5+45+4i i）+（-3-2-3-2i i）（2 2）（）（2-2-i i）-（2+32+3i i）+4+4i i（3 3）5-5-（3+2i3+2i）（4 4）4i-4i-（4i-44i-4）答案：答案：(1)2+2i (2)0 (3)2-2i (4)4(1)2+2i (2)0 (3)2-2i (4)41.|z1.|z1 1|=|z|=|z2 2|平行四边形平行四边形OABCOABC是是 .2.|z2.|z1 1+z+z2 2|=|z|z1 1-z-z2 2|平行四边形平行四边形OABCOABC是是 .3.|z3.|z1
10、1|=|z|=|z2 2|，|z|z1 1+z+z2 2|=|z|z1 1-z-z2 2|平行四边形平行四边形OABCOABC是是 .菱形菱形矩形矩形正方形正方形2.2.已知平行四边形已知平行四边形OABCOABC，顶点，顶点A A，C C分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2试求：试求：1.1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算实部、虚部的和差运算.2.2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理有时可转化为距离问题处理.3.3.在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一者对立统一.