函数与方程思想的应用.ppt

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1、 高考对数学思想的考查是高考对数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的与数学知识的考查结合进行的.是通过对数学知识的考查来反是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度和掌握的程度.对数学思想对数学思想方法的考查是考查考生能力的方法的考查是考查考生能力的必由之路必由之路.体现的思想体现的思想知识型解法知识型解法 方法型解法方法型解法 在在“方法型解法方法型解法”中，中，建立了已知量建立了已知量与未知量之间的与未知量之间的等量关系等量关系.体现了数学中一体现了数学中一种重要的思想种重要的思想“方程的思想方程的思想”.两式相加，得两式相加，得从两道简

2、单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(一一)函数函数 ,若若则则 的的值为值为（）3 0 -1 -2(08福建文理福建文理)(2008陕陕西文西文)的内角的内角的的对边对边分分别为别为，若，若，则则 从两道简单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(二二)巧 合 大 道 由正弦定理由正弦定理 得得由余弦定理由余弦定理 得得解得解得 或或 (舍舍).建立未知数 的方程【例例1】(体体积积法法)在在单单位正方体位正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A到截面到截面A A1 1BDBD的距离的距离.A1B1C1D1AB

3、CDo【例例1】(体体积积法法)在在单单位正方体位正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A到截面到截面A A1 1BDBD的距离的距离.另一方面，另一方面，【解解】设设A到截面到截面A1BD距离为距离为d，一方面，在三棱体一方面，在三棱体AA1BD中，中，A1B1C1D1ABCD 我们指出，我们指出，“体积法体积法”的关键在于建立等的关键在于建立等式（方程），它的实质就是式（方程），它的实质就是“方程的思想方程的思想”.推广到一般情况，这种思想可表述为：对于推广到一般情况，这种思想可表述为：对于一个适当的量，从两个方面去考虑它，然后一个适当的量，从

4、两个方面去考虑它，然后综合起来，就得到一个等量关系式综合起来，就得到一个等量关系式.若定若定义义在在R上的函数上的函数 的的图图象象满满足足 既关于直既关于直线线 对称，又关于直线对称，又关于直线 对称，且对称，且 ，则则 是周期函数，是周期函数，且且 是它的一个周期是它的一个周期.【例【例2】函数的对称与周期的关系之一：】函数的对称与周期的关系之一：解：由条件，得解：由条件，得由由(3)、(4)得得这表明，这表明，是周期函数，且是周期函数，且 .于于(1)式中用式中用 替换替换 ，得，得于于(2)式中用式中用 替换替换 ，得，得于于(5)式中用式中用 替换替换 ，得，得算两次原理函数的对称与

5、周期的关系(续前例)：若定若定义义在在R上的函数上的函数 的的图图象象满满足足 (2)既关于点既关于点 对称，又关于点对称，又关于点 对称，且对称，且 ，则则 是周期函数，是周期函数，且且 是它的一个周期是它的一个周期.(3)既关于直既关于直线线 对称，又关于点对称，又关于点 对称，且对称，且 ，则则 是周期函数，是周期函数，且且 是它的一个周期是它的一个周期.思路点拨 利用题中的两个对称条件，运用算两次利用题中的两个对称条件，运用算两次原理，得到一个关系式，进而证明问题原理，得到一个关系式，进而证明问题.背景函数yxop2p23p2p1-1【例【例3】（】（2007全国全国理理16题）一个等

6、腰直角三角形的三题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面已知正三棱柱的底面边长为边长为2，则该三角形的斜边长为，则该三角形的斜边长为 .【解解】在】在等腰直角等腰直角A1BC中，易知中，易知A1C为为斜斜边边，从而从而PA1=PC且且P P为为BBBB1 1的中点的中点.设设BBBB1 1=h=h一方面，一方面，在在RtRtAAAA1 1C C 中，中，从而从而解之，解之，.另一方面，在等腰另一方面，在等腰RtA1PC 中，中，ABCA1B1C1P算两次原理 考试大纲的说明中指出：所谓方考试大纲的说明中指出：所谓方程的思想，

7、就是突出研究程的思想，就是突出研究(建立建立)已知量与已知量与未知量之间的未知量之间的等量关系等量关系，通过设未知数、，通过设未知数、列方程列方程(等式等式)或方程组，或方程组，解方程或方程组解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础算能力的基础.方程的思想应用的关键点方程的思想应用的关键点(难点难点)是建是建立等式，立等式，算两次原理算两次原理就是方程思想的一个就是方程思想的一个典型运用典型运用.教材中一些定理、公式的证明都利用教材中一些定理、公式的证明都利用了

8、方程的思想，下面举例说明了方程的思想，下面举例说明.【例【例4】关于两角和余弦公式的关于两角和余弦公式的证证明：明：解：如解：如图图在直角坐在直角坐标标中作中作单单位位圆圆和角和角 ，为为了得到一个等量关系式，教材上用了得到一个等量关系式，教材上用两种方法得到两种方法得到 +.一方面，以一方面，以 的终边的终边OP2按逆时针按逆时针另一方面，以另一方面，以 的始边的始边OP1按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转 ，得得OP4，于是，于是P2OP4 +.旋转旋转 ,得得OP3,于是于是P1O P3 +；综综合起来，就得到合起来，就得到P1OP3P2OP4.于是有于是有 再将再将P1、P2、P3、P4

9、的坐标分别用的坐标分别用 和和 的三角函数的表的三角函数的表示，代入两点间距离公式，整理即得示，代入两点间距离公式，整理即得 ABC【例【例5】正弦定理和余弦定理的向量证法】正弦定理和余弦定理的向量证法.对对于于ABCABC，考，考虑虑向量等式向量等式对对于于(1)(1)式，我式，我们们有两种思路有两种思路(都是研究方程都是研究方程问题问题的常用手段的常用手段)思路一：两边平方思路一：两边平方展开，得展开，得即即从而从而注意到注意到这就是余弦定理这就是余弦定理.再考虑等式再考虑等式 ，就得到，就得到余弦定理的另两个公式余弦定理的另两个公式.背景知识我们知道，利用不等式可以求函数的最值我们知道，

10、利用不等式可以求函数的最值.例如，求例如，求 的最大值就可以利用的最大值就可以利用不等式不等式 来求解来求解.当且仅当当且仅当 时，函数有最大值时，函数有最大值 .提出问题函数函数 的最大值的最大值能用上述方法求解吗？我们尝试一下能用上述方法求解吗？我们尝试一下.?小试牛刀两边平方求函数求函数 的最大值的最大值当且仅当当且仅当 时，函数的时，函数的最大值为最大值为 .小试牛刀导数方法求函数求函数 的最大值的最大值令令 ，解得，解得 (舍舍)在在 上，上，在在 上，上，原函数为增函数；原函数为增函数；原函数为减函数原函数为减函数.从而，当从而，当 时，时，函数的最大值为函数的最大值为【例【例5】

11、正弦定理和余弦定理的向量证法】正弦定理和余弦定理的向量证法.对对于于ABCABC，考，考虑虑向量等式向量等式对对于于(1)(1)式，我式，我们们有两种思路有两种思路(都是研究方程都是研究方程问题问题的常用手段的常用手段)思路一：两边平方思路一：两边平方思想二：两边乘以一个恰当的向量思想二：两边乘以一个恰当的向量(如乘以如乘以 的单位法向量的单位法向量 )【例【例6】求求 的值的值.解：解：设设 ，则，则解之得解之得建立方程两边平方?【例【例7】(2006年年北京北京理理16)已知函数已知函数在点在点处处取得极大取得极大值值，其，其导导函数函数的的图图象象经过经过点点，如，如图图所示所示.求：求

12、：（）的的值值；（）的的值值.解：解：（）由）由导导函数函数图图象可知，函数象可知，函数在（在（，1），（），（2，）上）上递递增，在（增，在（1，2）上）上递递减减.所以所以 在在 x=1处取得极大值，所以处取得极大值，所以即即12yxo（）由由导导函数函数图图象象可可设设另一方面，由另一方面，由 得得即 又由 知对比对比(1)、(2)，得，得 ，算两次原理【例【例7】(2006年年北京北京理理16)已知函数已知函数在点在点处处取得极大取得极大值值，其，其导导函数函数的的图图象象经过经过点点，如，如图图所示所示.求：求：（）的的值值；（）的的值值.12yxo【例【例8】（2007年年天津天津

13、理理22题题）设椭圆设椭圆的左、右焦点分的左、右焦点分别为别为是是椭圆椭圆上的一点上的一点。，原点原点到直到直线线的距离的距离为为（）证证明明；分析：我分析：我们们用两种方法来求用两种方法来求点的点的纵纵坐坐标标(即即 的长的长)，就可得到一个等量关系式，就可得到一个等量关系式，进进而而证证得得 .证证明：一方面，明：一方面，设设，代入，代入椭圆椭圆方程，得方程，得解得解得 yxoAF1F2H另一方面，我另一方面，我们们来求来求 的长的长.如图，作如图，作 ,我我们们再从两个角度来考再从两个角度来考虑虑 .其一，其一，易知易知，故，故其二，由其二，由椭圆椭圆定定义义知知所以有所以有 解解得得

14、由由，得得 ，所以所以 .解得解得 即即yxoAF1F2H【例【例9】（2008安徽）安徽）如如图图，在四棱，在四棱锥锥中，底面中，底面是四是四边边长为长为1的的 菱形，菱形，为 的中点。（）求异面直）求异面直线线AB与与MD所成角的大小所成角的大小；（；（文）文）（）求点）求点B到平面到平面OCD的距离。（的距离。（文理）文理）思路1思路2思路3我们作第（我们作第（）问）问.思路的选择取决于对知识掌握程度.体积法体积法,方程的思想方程的思想;转化法转化法,化归与转化的思想化归与转化的思想;向量法向量法,数形结合的思想数形结合的思想;一方面，一方面，思路1另一方面，作另一方面，作APCD，连结

15、连结OP，在在RtAPD中，中，在在RtOAP中中，设设B到平面到平面OCD的距离为的距离为h,对比对比(1)、(2)，得，得算两次原理点点A和点和点B到平面到平面OCD的距离相等，的距离相等，线线段段AQAQ的的长长就是点就是点A A到平面到平面OCDOCD的距离的距离 所以点所以点B B到平面到平面OCDOCD的距离的距离为为过点A作 作作连接连接OP,思路2转化的思想思路3分分别别以以AB,AP,AO所在直所在直线为线为轴轴建立坐建立坐标标系系如如图图，作，作于点P,设设平面平面OCD的法向量的法向量为为,解得取即设设点点B到平面到平面OCD的距离的距离为为 ，则则数形结合 考试中心对考

16、试大纲的说明中考试中心对考试大纲的说明中指出：指出：“高考把函数与方程的思想高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查综合的角度进行深入考查.”其中其中 ,为为常数，常数，则则的的值值是是_(2008安徽理）安徽理）中中,在数列在数列由由，得，得 再由再由，得，得解之得解之得常 规 从两道简单

17、的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(一一)其中其中 ,为为常数，常数，则则的的值值是是_(2008安徽理）安徽理）中中,在数列在数列追 求 从两道简单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(一一)从两道简单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(二二)（）在）在中，由正弦定理及中，由正弦定理及可得可得即即(08全国全国卷理卷理)的内角的内角的的边长边长分分别为别为，且，且（）求）求（）求）求的最大的最大值值所对所对的值；的值；从两道简单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(二二)（）由）由得得设设，则则思路一：不等式法思路一

18、：不等式法当且当且仅仅当当 时时，等号成立，等号成立，的最大的最大值为值为故故(08全国全国卷理卷理)的内角的内角的的边长边长分分别别为为，且，且（）求）求（）求）求的最大的最大值值所对所对的值；的值；从两道简单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(二二)(08全国全国卷理卷理)的内角的内角的的边长边长分分别为别为，且，且（）求）求（）求）求的最大的最大值值所对所对的值；的值；思路二：方程的思想思路二：方程的思想故故的最大的最大值为值为 .解得解得即即从两道简单的例子谈数学思想与方法从两道简单的例子谈数学思想与方法(二二)思路三：思路三：导导数法数法令令，得，得故故的最大的最

19、大值为值为 .(08全国全国卷理卷理)的内角的内角的的边长边长分分别为别为，且，且（）求）求（）求）求的最大的最大值值所对所对的值；的值；所谓函数思想，还不仅仅是使用所谓函数思想，还不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题。函数的方法来研究解决函数的问题。构建函数关系式，使用函数的方法来构建函数关系式，使用函数的方法来研究解决非函数的问题应该是函数思研究解决非函数的问题应该是函数思想的核心。因此，可以认为函数思想想的核心。因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，产生使用函的精髓是构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路。数方法来解决问题的思路。在研究方程、不等式、数列、解在研究方程

20、、不等式、数列、解析几何等其他内容时，函数思想也起析几何等其他内容时，函数思想也起着十分重要的作用。着十分重要的作用。【分析分析】此此题题若若讨论讨论不等式不等式组组解的情况，将十分解的情况，将十分烦琐烦琐.【例例1】已知关于已知关于的不等式的不等式恰好有一个恰好有一个实实数解，求数解，求实实数数的取值范围的取值范围.注意到一元二次不等式解的讨论是借助于二次函数的图注意到一元二次不等式解的讨论是借助于二次函数的图象得到的，故得如下解法象得到的，故得如下解法.【例例1】已知关于已知关于的不等式的不等式恰好有一个恰好有一个实实数解，求数解，求实实数数的取值范围的取值范围.解：令解：令，则问题转则问

21、题转化化为为：有且只有一个点，所以有且只有一个点，所以的的图图象与直象与直线线相切（如相切（如图图）.解得解得的的图图象在象在即即的区域内的区域内从而从而 方程方程有惟一解，有惟一解，的的实实数数有且只有一个有且只有一个.的取的取值值范范围围，使，使满满足足求求评注：这个解法体现了三种数学思想方法评注：这个解法体现了三种数学思想方法.函数思想数形结合化归转化若在区间若在区间 上存在实数上存在实数 使不等式使不等式 成立成立,则等价于函数则等价于函数 在区间在区间 上的最大上的最大(小小)值大值大(小小)于于 .若不等式若不等式 在区间在区间 上恒成立上恒成立,则等价于函数则等价于函数 在区间在

22、区间 上的最小上的最小(小小)值大值大(小小)于于 .若不等式若不等式 在区间在区间 上恰成立上恰成立,则等价于不等式则等价于不等式 的解集为的解集为 .能成立问题能成立问题恰成立问题恰成立问题恒成立问题恒成立问题解：解：这这是不等式能成立的是不等式能成立的问题问题.于是于是 ，解得解得 或或则则存在存在 使使 能成立能成立.而而【例例2】(05年春北京理年春北京理14)若关于若关于 的不等式的不等式的解集不是空集，的解集不是空集，则实则实数数 的取值范围是的取值范围是 设设即即另解：令另解：令使使 能成立能成立.由题意知存在由题意知存在 ，于是于是 的图象与的图象与x轴有交点，轴有交点，从而

23、从而即即【例【例3】(05年湖北理文年湖北理文17)已知向量已知向量若函数若函数 在区间（在区间（1，1）上是增函数，求）上是增函数，求t的取值范围的取值范围.【解】【解】依定义依定义则则在区间（在区间（1，1）上是增函数）上是增函数在区在区间间（1，1）上恒成立）上恒成立;在区在区间间（1，1）上恒成立）上恒成立.设设 ，则则对称轴为对称轴为 ，t的取值范围是的取值范围是【分析分析】用函数思想去分析用函数思想去分析题题意，意，设设函数函数要要证证明命明命题题成立，只需找到一个成立，只需找到一个实实数数，使，使即可即可.故函数故函数的的图图象与象与x轴轴有两个交点，因此命有两个交点，因此命题题

24、成立成立.【例例4】设设，求，求证证：方程：方程必有两个不相等的实根必有两个不相等的实根.比如比如（2）由）由题设题设得得对对恒成立，恒成立，设设所以，当所以，当 时时，对对恒成立，恒成立，即即亦即亦即单调递单调递增；增；当当 时，时，单调递单调递减减.则则【例例5】（07福建）福建）设设函数函数（1）求）求的最小的最小值值 ;（2）若）若对对恒成立，求恒成立，求实实数数m的取的取值值范范围围.【分析及解分析及解】（1）又又所以当所以当时时，最小最小值为值为【例【例6】(08四川四川)已知等比数列已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()（）（）（）（）【解【解1】：】：等比数列等比数列中

25、中当公比当公比 时，时，当公比当公比 时，时，故故选选D；【例【例6】(08四川四川)已知等比数列已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()（）（）（）（）【解【解2】：函数思想】：函数思想.有极小有极小值值有极大有极大值值令令 ，解得，解得，故故选选D；【例例7】（2006）的三个内角的三个内角为为，求当，求当为为何何值时值时，取得最大取得最大值值，并求出，并求出这这个最大个最大值值.【分析及解分析及解】将将 化成同一个角的表达式化成同一个角的表达式.所以当所以当 ，即当即当 时，时，的最大值为的最大值为 .【例例8】（2003）设设，曲，曲线线在点在点处处切切线线的的倾倾斜角的取斜角的

26、取值值范范围为围为，则则到曲到曲线线对对称称轴轴距离的取距离的取值值范范围为围为（）（）（）（）（）（）（）（）设设 在点在点 处切线的斜率为处切线的斜率为 ，倾斜角为，倾斜角为 ，点，点 到到对对称称轴轴的距离的距离为为 .先利用先利用导导数求切数求切线线的斜率的斜率.我们的首要任务是建立我们的首要任务是建立 与与 之间的函数关系之间的函数关系.由由导导数的几何意数的几何意义义，知，知 即为点即为点 处处切切线线的的斜率，即斜率，即 ,又又，所以有，所以有将将代入代入式，得式，得 点点 到对称轴的距离为到对称轴的距离为由于由于 ，由，由式解得式解得由于由于容易求得容易求得令令 ,所以所以 .

27、得得 ，【例例9】（07广广东东）已知数列）已知数列的前的前项项和和，第，第项满项满足足，则则A9B8C7D6（）常 规 易知易知 ,所以所以 .令令 ,所以所以 .联想等差数列前联想等差数列前 项和公式的函数特征项和公式的函数特征得得 ，函数思想 (可以口算通项公式可以口算通项公式)【分析分析】由条件知：由条件知：故故 和和 都是关于都是关于 的方程的方程 的实数解的实数解.构造构造 ,易易证证 是是 上的增函数上的增函数.因此方程因此方程至多只有一个至多只有一个实实数解数解.【例例10】已知已知且且求求的值的值.【例【例11】设不等式设不等式2x 1 m(x2 1)对满足对满足|m|2 的一切的一切实数实数m的取值都成立，求的取值都成立，求x的取值范围。的取值范围。【分析及解】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于【分析及解】此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。的不等式进行分类讨论。若变换一个角度若变换一个角度,设设m为主元，记为主元，记 f(m)=m(x2 1)(2x 1)则问题转化为一次函数（常数函数）则问题转化为一次函数（常数函数）f(m)的值在区间的值在区间 2，2 内恒为负时系数内恒为负时系数x应满足的条件。应满足的条件。解解(1)得得 或或解解(2)得得所以所以x的取值范围为的取值范围为函数思想函数思想