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1、函数与方程思想及其简单应用永昌县第四中学 郭宝生 737200（此论文为【基金项目】甘肃省教育科学“十二五”规划课题高中数学思想方法教学与数学思维能力培养的研究研究成果 课题批准号：2012GSG201.）【摘 要】函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系。函数与方程思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是近几年高考的重点和热点。【关键词】函数 方程 思想 应用一、函数与方程思想简介1函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获
2、得解决函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等 2方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系 3函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决。比如解方程f(x)
3、0，就是求函数yf(x)的零点，解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函数yf(x)的正负区间，再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)与yg(x)的交点问题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要 4函数与方程思想解决的相关问题 (1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： 借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为
4、简的目的 (2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： 解方程或解不等式； 带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用； 需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； 构造方程或不等式求解问题 二、函数与方程思想的应用举例题型1：方程思想的应用例1在中,内角对边的边长分别是已知（）若的面积等于,求;（）若,求的面积解析：（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得 联立方程组 解得， （）由题意得，即， 当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积点评：该题是考查方程思想在解决问题中的应用在高考试题中这类问题
5、比比皆是题型2：函数思想的应用例2设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD解析：，因为是减函数，所以当时，所以，即例3满足条件的三角形的面积的最大值是 分析：可设，则 ，根据面积公式得=，点评：这两个题目的知识载体不同，但主要考查的就是函数思想这也高考试卷中大量存在的一类题目实际上函数思想不仅仅是使用函数的方法研究解决函数的问题，更重要的是构建函数关系，用函数的方法研究解决非函数问题可以说函数思想的精髓是构建函数关系，利用函数的有关性质解决问题题型3：函数与方程思想的应用例4设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.证明：由题意可知，, , 当时，.又, ,综上可知，所给问题获证.点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质（定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等），使问题得到解决方程思想的实质就是：将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决通讯地址：甘肃省永昌县第四中学 联系人：柳江福 邮编：737200 电话：13321257986该文望发表在上 越快越好