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1、一、惯性定律与惯性系一、惯性定律与惯性系 任何物体只要不受其它物体的作用，都将保任何物体只要不受其它物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态。这一规律称为持静止或匀速直线运动状态。这一规律称为惯性惯性定律定律，又称为又称为Newton first law。惯性定律在其中严格成立的参考系，称为惯惯性定律在其中严格成立的参考系，称为惯性参考系，简称为性参考系，简称为惯性系惯性系。否则称为否则称为非惯性系非惯性系。实验表明，实验表明，太阳是太阳是个较好的个较好的惯性系惯性系，地球是地球是个近似的个近似的惯性系惯性系。2-1 牛顿运动定律牛顿运动定律二、二、牛二律的微分形式牛二律的微分形式 直角坐标
2、系下直角坐标系下：自然坐标系下自然坐标系下：三、三、动力学中的两类基本问题动力学中的两类基本问题 1 1、第一类问题、第一类问题2 2、第二类问题、第二类问题已知已知 ，求求 方法方法：采用求导运算计算出采用求导运算计算出 ，然后由牛二律，然后由牛二律 计算计算已知已知 和初始条件，求质点的运动规律。和初始条件，求质点的运动规律。下面以直线运动为例，讨论下面以直线运动为例，讨论求解的方法求解的方法：（1）力是时间的函数力是时间的函数方法方法：分离变量后，再积分。：分离变量后，再积分。（2）力是位置的函数力是位置的函数方法方法：换元法换元法（3）力是速度的函数力是速度的函数方法方法：分离变量后，
3、再积分。：分离变量后，再积分。解：动力学方程为解：动力学方程为例例1、一质点沿、一质点沿x轴运动，所受的力和坐标的关系轴运动，所受的力和坐标的关系为为 ，其中，其中 均为常量，质点在均为常量，质点在x=0处的处的速度为速度为 ，求质点的速度与坐标的关系。，求质点的速度与坐标的关系。例例2、质量为、质量为m的轮船在停靠码头之前，发动机停止的轮船在停靠码头之前，发动机停止开动，这时轮船的速率为开动，这时轮船的速率为 ，设水的阻力与轮船的，设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为速率成正比，比例系数为k，求轮船在发动机停机后求轮船在发动机停机后所能前进的最大距离。所能前进的最大距离。解：动力学方程为
4、解：动力学方程为2-3 2-3 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律三大三大守恒定律守恒定律动量守恒定律动量守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点的动量定理一、质点的动量定理1、动量的概念、动量的概念物体的质量与其速度的乘积，称为物体的物体的质量与其速度的乘积，称为物体的动量动量 动量是物体运动的矢量量度动量是物体运动的矢量量度 2、力与冲量的概念、力与冲量的概念 牛顿将物体动量对时间的变化率，定义为牛顿将物体动量对时间的变化率，定义为作作用在该物体上的力用在该物体上的力。力与力的作用时间的乘积，称为力与力的作用时间的乘积，称为力的冲量力的冲量。冲量是描述力的时
5、间累积作用的物理量。冲量是描述力的时间累积作用的物理量。3、质点的动量定理、质点的动量定理分量式分量式二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理设第设第i 个质点受到个质点受到系统外系统外物体作用的物体作用的合力合力为为 ,受到受到系统内系统内其它质点作用的其它质点作用的合力合力为为 对每个质点应用动量定理：对每个质点应用动量定理：累加各式得累加各式得 内力是成对出现的作用力与反作用力，所以内力是成对出现的作用力与反作用力，所以 系统所受外力的矢量和，等于系统总动量对时系统所受外力的矢量和，等于系统总动量对时间的变化率。间的变化率。系统所受合外力的冲量，等于系统总动量的增量。系统所受合外力的冲量
6、，等于系统总动量的增量。一个系统若在一段时间内一个系统若在一段时间内不受外力或所受不受外力或所受外力的矢量和为零外力的矢量和为零，则系统在该段时间内总动，则系统在该段时间内总动量不变，称为量不变，称为动量守恒定律动量守恒定律。三、动量守恒定律三、动量守恒定律强调强调：动量守恒定律是自然界的普适定律。动量守恒定律是自然界的普适定律。一个系统若一个系统若在某个方向上在某个方向上不受外力或所受的合不受外力或所受的合 外力为零，则系统的总动量外力为零，则系统的总动量在该方向上守恒在该方向上守恒。对碰撞、爆炸的问题，可以使用动量守恒定律对碰撞、爆炸的问题，可以使用动量守恒定律 来处理。来处理。在运用系统
7、的动量定理和动量守恒定律时，系统在运用系统的动量定理和动量守恒定律时，系统 内内各物体的动量都是相对于同一惯性系而言的各物体的动量都是相对于同一惯性系而言的。例：例：如图，在光滑水平面上停有质量为如图，在光滑水平面上停有质量为M、长为长为L的平的平板车，一质量为板车，一质量为m 的小孩从车上的一端由静止开始走到的小孩从车上的一端由静止开始走到车的另一端，求平板车在路面上移动的距离。车的另一端，求平板车在路面上移动的距离。解解：以人和车为研究：以人和车为研究系统，取地面为参照系统，取地面为参照系。水平方向系统动系。水平方向系统动量守恒。量守恒。x 设小孩相对于车的速度为设小孩相对于车的速度为 ，
8、车相对于地面的，车相对于地面的速度为速度为 x解之得解之得2-4 2-4 功、动能、势能、机械能守恒功、动能、势能、机械能守恒一、功与动能一、功与动能1 1、功、功ab 力力 在曲线在曲线ab上作的总功：上作的总功：讨论：讨论：（1）恒力的功）恒力的功（2）合力的功）合力的功 合力的功等于各分力作功的代数和合力的功等于各分力作功的代数和2、功率、功率3、动能和动能定理、动能和动能定理ab 设质量为设质量为m 的质点在合力的质点在合力的作用下，由的作用下，由a 点运动到点运动到b点，速率由点，速率由 变化到变化到 在在a b 路径上作的功：路径上作的功：质点动能的增量，等于力对质点作功的代数和，
9、质点动能的增量，等于力对质点作功的代数和，这一结论称为这一结论称为质点的动能定理质点的动能定理。4、质点系的动能定理、质点系的动能定理分别对系统内的每个质点应用动能定理分别对系统内的每个质点应用动能定理：累加得累加得 系统总动能的增量，等于作用在系统中各质系统总动能的增量，等于作用在系统中各质点的力所作功的代数和。这一结论称为点的力所作功的代数和。这一结论称为质点系的质点系的动能定理动能定理。式中：式中：系统内所有质点的外力作功之和。系统内所有质点的外力作功之和。系统内所有质点的内力作功之和。系统内所有质点的内力作功之和。系统初状态的总动能。系统初状态的总动能。系统末状态的总动能。系统末状态的
10、总动能。二、保守力与势能二、保守力与势能1、几种常见力的功、几种常见力的功（1）重力的功）重力的功 重力的功只重力的功只与与物体的物体的始、末位置有关始、末位置有关，与路径与路径无关无关。（2）万有引力的功）万有引力的功m受力方向与矢径方向相反。受力方向与矢径方向相反。rabrdrFMmrdrab注意注意：为元位移在径向的投影。为元位移在径向的投影。万有引力的功只万有引力的功只与物与物体始、末位置有关，与体始、末位置有关，与质质点的点的路径无关。路径无关。（3）弹性力的功）弹性力的功弹簧振子弹簧振子 弹性力的功只弹性力的功只与物体与物体始、末位置有关，与始、末位置有关，与质点质点的的路径无关。
11、路径无关。2、保守力与非保守力、保守力与非保守力 功的大小只与运动物体的始、末位置有关，与功的大小只与运动物体的始、末位置有关，与路径无关路径无关，这样的力称为，这样的力称为保守力保守力。例如：重力、万。例如：重力、万有引力、弹性力、静电场力等。有引力、弹性力、静电场力等。保守力作功的特点：保守力作功的特点：功的大小与物体的始、末位置和运动路径都有功的大小与物体的始、末位置和运动路径都有关关，这样的力称为，这样的力称为非保守力非保守力。如摩擦力、流体阻力。如摩擦力、流体阻力等。等。特点：特点：3、势能、势能保守力场中，物体空间位置的单值函数称为保守力场中，物体空间位置的单值函数称为势能势能。注
12、意注意：（1）势能值具有相对性，与零势能点的选取有）势能值具有相对性，与零势能点的选取有关。若选关。若选b点为势能零点，则点为势能零点，则a 点的势能：点的势能：重力势能重力势能（以地面为零势能点）：（以地面为零势能点）：引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）：（以无穷远为零势能点）：弹性势能弹性势能（以弹簧的平衡位置为零势能点）：（以弹簧的平衡位置为零势能点）：（2）势能是属于系统的。）势能是属于系统的。例如，弹性势能是属于弹簧振子和弹簧所共有。例如，弹性势能是属于弹簧振子和弹簧所共有。（3）非保守力场中无势能概念。）非保守力场中无势能概念。三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律系统的动能定理
13、系统的动能定理：外力和非保守内力做功之和等于系统机械能外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。这称为的增量。这称为系统的功能原理系统的功能原理。上式称为上式称为机械能守恒定律机械能守恒定律。注意注意：（1）守恒条件。）守恒条件。外力的矢量和为零，外力作功的代数和不一外力的矢量和为零，外力作功的代数和不一 定为零。定为零。（2）系统的总机械能不变，动能和势能可以相）系统的总机械能不变，动能和势能可以相 互转化。互转化。（3）应用该定律时，首先应指明所选择的）应用该定律时，首先应指明所选择的系统系统和和 零势能点零势能点。例例、一陨石从距地面高为、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，处
14、由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？是多少？解解：取地心为原点，引力与矢径方向相反：取地心为原点，引力与矢径方向相反abhRo陨石落地的速度多大？陨石落地的速度多大？2-5 2-5 2-5 2-5 角动量角动量角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点的角动量及其守恒定律一、质点的角动量及其守恒定律质点对质点对O点的矢径点的矢径 与质点的与质点的动量动量 的矢积，定义为的矢积，定义为质点质点对对O点的角动量点的角动量：1、质点的角动量、质点的角动量o方向：用右手螺旋定则判定方向：
15、用右手螺旋定则判定。的方向垂直于的方向垂直于 和和 所决定的平面所决定的平面。2 2、力矩、力矩o方向：用右手螺旋定则判定方向：用右手螺旋定则判定。力力 的作用点的矢径的作用点的矢径 与与 的矢积，称为力的矢积，称为力对对O点的力矩。点的力矩。的方向垂直于的方向垂直于 和和 所决定的平面所决定的平面。（2）力）力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线（即共线（即 ）力矩为零的情况力矩为零的情况:（1）力）力 等于零；等于零；3、质点的角动量定理、质点的角动量定理积分形式积分形式：作用在质点上的力矩，等于质点角动量对作用在质点上的力矩，等于质点角动量对时间的变化率时间的变化率。微分形式微分形式：质
16、点角动量的增量，等于它所获得的冲量矩。质点角动量的增量，等于它所获得的冲量矩。二、质点角动量守恒定律二、质点角动量守恒定律当质点所受到的当质点所受到的力矩为零力矩为零时，其时，其角动量守恒角动量守恒。2-6 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、质点系一、质点系对固定点对固定点的角动量定理的角动量定理质点系的角动量质点系的角动量：求导得：求导得：任一对任一对内力内力的力矩的矢量和为：的力矩的矢量和为：o 作用于质点系的外力矩的矢量和，等作用于质点系的外力矩的矢量和，等于质点系角动量于质点系角动量对时间的变化率对时间的变化率。注意注意：内力矩内力矩对系统的总角动量的变化对系统的总角动量的变化无贡献无贡
17、献。质点系获得的冲量矩，等于其角动量的增量。质点系获得的冲量矩，等于其角动量的增量。积分形式：积分形式：二、质点系的角动量守恒定律二、质点系的角动量守恒定律 当质点系所受的外力矩的矢量和为零时，当质点系所受的外力矩的矢量和为零时，其总角动量守恒。其总角动量守恒。注意注意：外力的矢量和为零时，外力矩的矢量和外力的矢量和为零时，外力矩的矢量和不不一定一定为零。为零。三、刚体的转动定律三、刚体的转动定律1、转动惯量、转动惯量质点质点的转动惯量的转动惯量：质点系质点系的转动惯量的转动惯量：刚体刚体的转动惯量的转动惯量：式中：式中：r 为为dm 至转轴的距离。至转轴的距离。刚体转动惯量的大小与三个因素有
18、关：刚体转动惯量的大小与三个因素有关：刚体的总质量刚体的总质量 质量相对于定轴的分布质量相对于定轴的分布 转轴的位置转轴的位置例例1、P58例例2-18。计算质量为。计算质量为m，长为，长为L的匀质细的匀质细杆绕垂直中心轴杆绕垂直中心轴Z的转动惯量。的转动惯量。ZOX解：建立坐标系，如图。解：建立坐标系，如图。同理，转轴过端点并与杆垂直时，其转动惯量：同理，转轴过端点并与杆垂直时，其转动惯量：r例例2、P59例例2-19。计算质量为。计算质量为m，半径为，半径为R的匀质圆的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的转动惯量。OR解：解：2 2、力对转轴的力矩、
19、力对转轴的力矩转动平面转动平面转动平面转动平面（1）外力在转动平面内）外力在转动平面内方向：沿转轴方向：沿转轴Z方向方向。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内把外力分解成两个分力：把外力分解成两个分力：与转轴平行的力与转轴平行的力 对物体对物体转动不起作用。转动不起作用。（3）合外力矩）合外力矩在在定轴转动定轴转动中中：3、转动定律、转动定律在在定轴转动定轴转动中中：刚体获得的角加速度的大小刚体获得的角加速度的大小 与刚体受到与刚体受到的合外力矩的合外力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量成正比，与刚体的转动惯量 I 成成反比。反比。注意注意：M、的的+、-号规定。号规定。刚体定轴转动的转
20、动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用例例3:(教材教材P61，例，例2-20）质量均为质量均为m的两个物体的两个物体A、B，A放在倾角为的光滑斜面上，通过绕在定滑轮的放在倾角为的光滑斜面上，通过绕在定滑轮的细绳与细绳与B相连，定滑轮是质量为相连，定滑轮是质量为m，半径为，半径为R的圆盘。的圆盘。求绳中张力求绳中张力T1和和T2，以及，以及A、B的加速度。的加速度。对这类问题的处理方法对这类问题的处理方法：先先隔离隔离各物体，各物体，分析受分析受力情况。力情况。再根据再根据牛顿定律牛顿定律研究研究平动平动，根据，根据转动定律转动定律研究研究转动，转动，找出平动与转动的找出平动与转动的牵连关系
21、牵连关系。解：物体解：物体A、B、定滑轮受力如图。、定滑轮受力如图。联立（联立（1）-（4），可得），可得对物体对物体A：对物体对物体B：对定滑轮：对定滑轮：牵连关系：牵连关系：四、刚体定轴转动中的动能定理四、刚体定轴转动中的动能定理 1、力矩的功、力矩的功O转动平面转动平面转动平面内的外力转动平面内的外力 的元功：的元功：力矩力矩M做的元功做的元功：Z 刚体从刚体从 转到转到 角时，力角时，力矩矩M所作的总功：所作的总功：2 2、转动动能、转动动能 整个刚体的转动动能，等于刚体上所有整个刚体的转动动能，等于刚体上所有质元动能之和。质元动能之和。3 3、动能定理、动能定理合外力矩合外力矩M 作
22、的元功：作的元功：积分得积分得 外力矩对刚体作功之和，等于刚体转动外力矩对刚体作功之和，等于刚体转动动能的增量。动能的增量。五、定轴转动刚体的角动量及其守恒定律五、定轴转动刚体的角动量及其守恒定律1、质点对轴的角动量、质点对轴的角动量 O 在定轴转动的刚体在定轴转动的刚体上，各质元对轴的角动上，各质元对轴的角动量都沿转轴方向。量都沿转轴方向。2、刚体对轴的角动量、刚体对轴的角动量推导推导.圆周运动圆周运动：质元对轴的角动量：质元对轴的角动量：刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量：、的方向，都沿转轴方向。所以的方向，都沿转轴方向。所以 推导推导：3、刚体角动量定理和角动量守恒定律、刚体角动量定理和角
23、动量守恒定律由质点系角动量定理：由质点系角动量定理：标量式标量式：刚体角动量对时间的变化率，等于作用于刚体角动量对时间的变化率，等于作用于刚体上的外力矩之和。刚体上的外力矩之和。刚体角动量的增量，等于刚体受到的冲量矩刚体角动量的增量，等于刚体受到的冲量矩。上式称为刚体的角动量守恒定律。当上式称为刚体的角动量守恒定律。当刚体所受刚体所受的外力矩之和等于零的外力矩之和等于零时，刚体的角动量保持不变。时，刚体的角动量保持不变。强调强调：当系统为质点和刚体组成时，当当系统为质点和刚体组成时，当系统对某系统对某一定轴的外力矩之和为零一定轴的外力矩之和为零时，系统对该轴的总角时，系统对该轴的总角动量保持不
24、变。即：动量保持不变。即：六、质点与刚体力学规律对照表六、质点与刚体力学规律对照表质质 点点 刚体（定轴转动）刚体（定轴转动）六、质点与刚体力学规律对照表六、质点与刚体力学规律对照表（续）（续）质质 点点 刚体（定轴转动）刚体（定轴转动）动量守恒定律：角动量守恒定律：刚体动力学规律的应用举例刚体动力学规律的应用举例 例例1：如图，质量：如图，质量m，长为，长为L的匀质细杆，可绕水的匀质细杆，可绕水平的光滑轴在竖直平面内转动，转轴平的光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆的在杆的A端。端。若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆到铅直位置时的角速度。到铅直
25、位置时的角速度。OmgN 方法一方法一：应用动能定理应用动能定理 OmgN方法二方法二：应用转动定律应用转动定律 分离变量后，积分分离变量后，积分方法四方法四：应用机械能守恒定律（见下一个例题应用机械能守恒定律（见下一个例题）方法三方法三：应用角动量定理应用角动量定理例例2：（教材：（教材P67,例例2-25）质量）质量m，长为，长为L的均匀细棒，的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴可绕过其一端的水平轴O转动。现将棒拉到水平位置转动。现将棒拉到水平位置（OA）放手，棒下摆到铅直位置（）放手，棒下摆到铅直位置（OA）时，与水平面）时，与水平面A处的质量为处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面
26、的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离上向右滑行了一段距离s后停止。设物体与水平面间的后停止。设物体与水平面间的摩擦系数处处摩擦系数处处 相同，求证相同，求证思思 路路：分清过程分清过程分析受力分析受力选择系统选择系统应用规律应用规律MMsOAA解：解：（1）第一阶段：棒从水平位置下摆到铅直位置第一阶段：棒从水平位置下摆到铅直位置但尚未与物块碰撞。以棒和地球为系统，系统的机械但尚未与物块碰撞。以棒和地球为系统，系统的机械能守恒。选择地面处的能守恒。选择地面处的EP=0。MMsOAA（2）第二阶段：棒与物第二阶段：棒与物块作完全弹性碰撞。以块作完全弹性碰撞。以棒和物块为系统，系统棒和物块为系统，系统的角动量守恒和机械能的角动量守恒和机械能守恒。守恒。MMsOAA（3）第三阶段：碰撞后物块在水平面上滑行。应第三阶段：碰撞后物块在水平面上滑行。应用动能定理。用动能定理。联立以上五式，可证明：联立以上五式，可证明：