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1、20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）:C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报
2、名号的话）：3824所属学校（请填写完整的全名）：广东科学技术职业学院参赛队员（打印并签名）：1.黄俊雄唐敬宁2. 谬tB尧熙指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：桂改花日期：20xx 年 9 月12第i年第j个年龄段4退休后第i年个人账户余额人账户余额Bi退休后，年社会统筹基金账户余额4问题分析2.1 背景分析养老金制度是国家根据人民的体质和劳动力资源情况，规定一个年龄界限，当劳动 者达到这个年龄界限时作为年老丧失劳动能力，解除劳动义务，由国家和社会提供物质 帮助，保障其晚年基本生活的一种社会保障制度。我国的基本养老保险制度就是通常所说的社会统筹与个人账户相结合。该制度在养 老保险基金的
3、筹集上采用国家、企业和个人共同负担的形式，社会统筹部分由国家和企 业共同筹集，个人账户部分则由企业和个人按一定比例共同缴纳。基本养老保险是由国 家强制实施的，其目的是保障离退休人员的基本生活需要。养老金制度具有社会性，影响很大，享受的人多且时间较长，费用支出庞大，所以 必需设立专门机构，实行现代化、专业化、社会化的统一规划和管理。近年来，国家坚 持以人为本，制定了连续多年调整企业退休人员基本养老金的战略部署。随着我国社会 经济的发展，我国的养老保险制度也在不断的在改革中完善，越来越多的劳动者也都关 关心这个养老金制度的问题。为了更好的保证更多的为我国经济发展创造效益的劳动者 受到这个福利，继而
4、激励劳动者的在职期间积极劳动，提高效率，了解企业退休职工养 老金制度的相关知识(养老金计算方法和发放模式、替代率的大小控制、收支平衡状态) 等特征并做出一定合理、正确的预报，也愈来愈显得重要。3. 2第一问分析第一问我们可以分解成两个小问，一个是对未来中国经济发展和工资增长的形势作 出简化、合理的假设。第二问是预测从20xx年至2035年的山东省职工的年平均工资。对于第一小问，我们引入自由经济学理论知识讨论未来中国经济发展的形式，根据 工资增长机制，讨论工资增长趋势形成的条件。最后就经济发展和工资增长趋势做出合 理的假设。对于第二小问，我们分别从没有假设条件下的约束和有假设条件下的约束建立2种
5、 模型对20xx年至2035年省职工的年平均工资进行预测：(1)没有假设条件约束下的模型我们分析附件1中相关数据的特征和分布形态特点确定对预测函数拟合的可行性进 行判断，经过判断得知拟合是可行的，于是我们就数据增长特点选择拟合的模型为指数 型函数模型，得到所得拟合函数的具体表达式，接着结合相关经济背景对拟合结果的真 实值和预测值进行合理性判断。(2)有假设条件约束下的模型第6页，共27页通过没有假设条件约束下的模型合理性分析找出模型的不足并加以改进。改进时结 合相关经济背景和统计年鉴获知工资增长的总体趋势，就此种增长趋势得出有假设条件 约束下的工资预测拟合模型为一般线性模型，结合附件数据和拟合
6、结果讨论此种模型的 预测时间范围。(3)综合两种模型的优缺点给出较为客观、更为科学的分段预测函数，并给出相 应模型的适用时间范围。4. 3第二问分析第二问我们也可以分成两个小问。一个是计算各年龄段职工工资与该企业平均之 比，一个是计算各种情况下的替代率。对于第一小问，要计算20xx年该企业各年龄阶段职工工资与该区域平均工资之比 则需要算出该企业各年龄阶段职工的月收入工资和该区域平均工资(这里也是计算其月 平均工资)，根据附件的数据我们比较容易算得该比值。对于第二小问，我们发现在附件2中缺失60-65岁年龄段的职工数量和薪酬情况， 因此我们在计算养老金替代率前进行有关企业的相关假设，建立了高斯密
7、度函数对 60-65岁年龄段职工数量和薪酬进行了预测。接着在对附件3养老金计算方法深层的研 究下，多方位定性量化影响养老金计算的因子，最后结合相关计算公式对该企业职工自 2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休(55罗60罗65岁), 各种情况下的养老金替代率进行计算。4. 4第三问分析对于第三问，我们需要分3个步骤来完成：(1)在深刻理解养老金缺口的情况下根据附件中养老金计算公式分析个人账户与 社会统筹基金账户与养老金缺口的关系，从而建立养老金缺口的情况模型；(2)根据养老金缺口的情况模型计算该职工自2000年起从30岁开始缴养老保险, 一直缴费到退休(55岁，60岁，
8、65岁)，75岁死亡时，养老保险基金的缺口情况(元)；(3)通过社会统筹账户与个人账户的区别分析养老金收支平衡；(4)结合模型和收支平衡特点计算该企业职工退休后缴存的养老金保险基金与其 领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工领取养老金到的岁数和此时先用完账户的种 类情况汇总。4.5第四问分析对于第四问，为了兼顾达到目标替代率与维持养老金保险基金的收支平衡，我们需 要探寻一条使养老金保险制度可持续发展的道路，可以从影响替代率变化、收支平衡波 动的因素入手，列举出代表性较强的因素，选择一两个因子进行分析并针对完善替代率 的增长情况或约束收支平衡提出应采取相应的有针对性的措施。第7页，共27页5模型
9、建立和求解5.1 问题一就经济发展和工资增长的假设从山东省统计年鉴20xx可得从1978年至20xx山东省生产总值（见附件2）, 结合附件1的数据可分别计算出山东省生产总值的年增长率和山东省职工的年平均工资 的年增长率。根据计算结果可画出“经济发展速度和工资增长速度关系”折线图：经济发展速度和工资增长速度关系年份图一根据图一，结合国家经济发展速度规律和我国实际国情对工资增长进行分析：查阅中国的近代史，我们知道了解中国经济经历过了几段性质不同的时期，建国初 期，由于综合国力不强，经济发展较缓慢；改革开放时期，百废待兴，经济发展迅速， 甚至一段时间内呈现近视指数增长，但结合经济学的变化规律我们知道
10、，经济发展会在 一定的时期达到一个饱和状态，即经济发展不可能无限指数增长下去。而改革开放期间 的经济粗放型发展，导致中国的产业结构不合理，中国的产业结构面临调整，这个过程 将使中国的经济放缓。所以，中国经济将呈现阶段性发展。从经济发展速度和工资增长 速度关系的分析得知，工资将继续增长，且增长过程也将呈现阶段性发展。再根据图一 可知:从20xx左右至20xx年，工资增长速度放缓，其增长率趋于稳定。由此我们可以做出合理、简化的假设：从20xx年至2040年之间，山东省职工的经济发展速度放缓，增长率稳定，年平均 工资的增长形势呈线性增长。第8页，共27页5.1.1 基于的年平均工资预测在预测从20x
11、x年至2035年的山东省职工的年平均工资时我们分别从有假设条件 下的约束和没有假设条件约束两种情况对职工工资进行预测。其中，相对的约束因素主 要为中国的国民经济发展情况和中国工资增长的趋势影响两方面。不假设情况下的预测 则为忽略未来中国经济发展和工资增长的形势的预测，而假设情况下的预测则为兼顾未 来中国经济发展和工资增长的形势等因素的预测情况，具体建模情形如下：第8页，共27页(-)不假设情况下的预测模型：建模步骤：我们可以结合附件1中山东省1978年到20xx年的职工历年平均工资的相关数据，画出相应的散点图来观察其数据特征和相应的数据分布形态。根据附件1的数据，画出从1978年至20xx年的
12、山东省职工的年平均工资散点图如下：图二根据散点图图二，我们可设山东省职工的年平均工资函数为指数函数进行拟合：y = a- ebx(1)根据附件1山东省职工历年平均工资统计表中的相关平均工资数据，用Matlab软件拟 合曲线方程(1),可得：。=4.911义10-2= 0.1327将。、b值代入(1)式，得山东省职工的年平均工资函数为：y = 4.911 x KT?, e。.i327-x其中拟合度(R-square)为：0.9979由拟合度越接近1,拟合函数程度越高，所以该拟合函数程度很高。拟合图像如下：第9页，共27页图三第9页，共27页则可以预测20xx年到2040年具体的职工平均工资值，汇
13、总如下表：表1 ：年份/年20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX年平均工资/万元3.864.415.045.756.577.58.569.7811.1712.7 5年份/年20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX年平均工资/万元14.5616.6318.9921.6824.7 628.2732.2 836.8 642.0 948.0 7年份/年2031203220332034203520362037203820392040年平均工资/万元54.8 962.6 871.578
14、1.7 393.3 3106.6121.7139158.7181.2对山东省历年工资拟合和预测结果进行合理性判断从表1数据中我们发现存在大量的数据偏大的情况，这种在指数函数爆炸增长的模 型数值上是允许的，但结合实际情况我们发现这些数据有点偏离实际了。例如 y(2035) = 93.33万元人民币，查阅相关经济学参考文献得知，按照新的“三步走”的战略规划，第三步的时间从20xx年到2050年，其目标是，人均国民生产总值达到4000 美元，基本建成具有中等发达水平的富强、民主、文明的社会主义现代化国家。由此可 知，2035年山东省职工的年平均工资的预测值为93. 33万元人民币已经远远超过战略规划
15、在2050年的人均国民生产总值，同时，我们还可以引入现今世界发达国家的职工的 年平均工资作为参考量进行对比，其中现今世界发达国家的职工的年平均工资情况表如 下：表2结合表2,我们发现中国的职工平均工资比发达国家的工资水平高，这也不符合发国家卢森堡挪威爱尔兰丹麦冰岛美国瑞典工资/十万8. 286726.41585. 909525.5560205. 40185.2955. 049124.61412展中国家和发达国家的经济形势，可见，仅仅用指数型函数模型对从20xx年至2035年第10页，共27页的山东省职工的年平均工资的预测是不合理的。(-)假设情况下的预测模型：由以上没假设情况下的预测模型可知这
16、种预测模型是不全面的，因此我们有必要在 不假设预测模型上进行改进。而改进的主要方法就是加入相关的假设作为预测模型的预 测约束条件。即应该满足5. 1.3中的就未来中国经济发展和工资增长的趋势合理、简化 的假设。对不假设情况下的预测模型下的改进：建模步骤：1、散点图分析在上面的分析结论中我们发现从20xx年至2040年之间，山东省职工的年平均工资 的增长形势是呈线性增长。为了更好的研究20xx年至2040年之间平均工资的数字特征 和分布散落情形，我们画出20xx年至20xx年山东省职工的年平均工资可画出年平均工 资增长散点图如下：第10页，共27页年平均工资散点图年平均工资散点图年份/年代/侬H
17、图四从图四的散点分布情况看，20xx年至2040年，山东省职工的年平均工资增长情况 较为平缓，因此对职工工资的预测可以使用线性进行拟合。2、线性回归拟合模型一般性线性函数的基本模型为：y = kx+c(3)20xx年至2040年期间，职工的年平均工资预测可以使用使用这个模型，我们结合附件1 中20xx年到20xx年的平均工资数据利用Matlab软件进行拟合直线方程(3),其中拟 合值为预测值，可得k = 2932.3, c = 5862000将he代入(3),有y = 2932.3% + 5862000所得结合和实际值得比较与检验：我们通过各年份职工平均工资真实值与拟合值进行比较，计算其误差值
18、与误差率的 大小，通过误差范围来确定此次拟合是否可行。所得结果及预测值和实际值的比较见下表：表3从表3我们计算各年份职工平均工资真实值与预测值得平均误差率为：2. 98%,年份 1真实值拟合值误差值误差率20 x x1256711456-1113-8.86%20 x x143321438856.10.39%20 x x166141732706.44.25%20xx1922820xx31024.75.33%20 x x22844231853411.49%20 x x2640426117-286.6-1.09%20 x x2968829050-638.3-2.15%20 x x3207431982
19、-92-0.29%第11页，共27页可见，（4）式的拟合程度较好。因此我们可以运用线性拟合模型预测从20xx年至2040年的山东省职工的年平均工 资如下表所示：年份/年20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX年平均 工资/万 元3.4913.7854.0784.3714.6644.9585.2515.5445.8376.131年份/年20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX20 xX年平均 工资/万 元6.4246.7177.017.3037.5977.8908.1838.4768.7
20、709.063年份/年2031203220332034203520362037203820392040年平均 工资/万 元9.3569.6499.94310.23 610.52 910.82211.15 011.40911.70211.99 5模型对应平均工资折线图如下：图五（三）平均工资的综合模型第12页，共27页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）综合以上不假设情况下的预测模型和假设情况下的预测模型，我们得知每个模型都 有一定的合理性，可是必须加以一定的限制，比如1978年到20xx年结合中国的经济发 展情况用不假设下的预测模型比较合理，对20xx年到2040年则使用给予假设情况下的
21、 预测模型比较合理，所以平均工资的综合模型为：_ J4.911X10-112 -327、( 978 x 2003),2932.3% + 5862000(2003% 2040)(四)对线性拟合模型的进一步验证根据中科院报告口，我国有望提前XX年，即在2040年达到的中等发达国家水平,人均年收入超过两万美元，约为127780元人民币(汇率1美元=6.3890人民币元第12页，共27页）,这与表4中根线性拟合模型，2040年的预测值H9950,误差为-6.13%,可见这份报告进一步说明了假设的合理性和20xx年到2040年阶段线性拟合模型的准确性。5. 2问题二5. 2.1 20XX年该企业各年龄阶
22、段职工工资与该区域平均工资之比计算要计算20xx年该企业各年龄阶段职工工资与该区域平均工资之比则需要算出该企 业各年龄阶段职工的月收入工资和该区域平均工资（这里也是计算其月平均工资）。从附 件2中的某企业分年龄职工数量及薪酬分布得知该企业的各年龄段的月收入给出的只是 个范围，因此为了较为理想且直观的计算月收入范围内的月收入值，我们在给定范围内 的收入中取其中间值作为该年龄段的可计算月收入，例如100。-1499中我们取得的中间 值为1249.5元。附件1中数据是山东省历年平均工资，因此我们需要对数据化成月平均 工资数值，即每年的平均工资/12所得。计算各年龄段职工平均工资叱公式为：8、 几.%
23、=2。得，/ = 12 ,8j N j其中。为每个月收入范围的中间值，勺为各年龄段在该月收入范围的人数，N,为 第/个年龄段的总人数。使用Excel软件算得各年龄段职工工资如下：表5 ：年龄段各年龄段月平均工资20-24 岁1726.450425-29 岁2076.496230-34 岁2534.62435-39 岁2751.716840-44 岁3025.524945-49 岁3267.551550-54 岁3118.029655-59 岁2979.698同理可算出该企业平均工资：W = 2579.732.则20xx年该企业各年龄阶段职工工资与该区域平均工资之比为：W.W利用Excel软件计
24、算得：表6:年龄段比值第13页，共27页20-24 岁0.669236325-29 岁0.8049271第13页，共27页30-34 岁0.982514535-39 岁1.066667740-44 岁1.172805945-49 岁1.266624450-54 岁1.208664255-59 岁1.15504175. 2.2各种情况下的养老金替代率计算现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险 基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支 平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比 例。其中，退休前工
25、资可从问题一中的工资预测模型得到。职工刚退休时的养老金有其独有的计算方法：职工退休时的养老金由两部分组成：养老金二基础养老金+个人账户养老金(-)计算前的准备从题意分析可知要考虑该企业职工自2000年起分别从30岁.40岁开始缴养老保险, 一直缴费到退休(55岁，60岁，65岁)，而在附件2某企业20xx年分年龄段职工数量 及薪酬分布表中的年龄段只列到55-59岁阶段，因此我们需要预测该企业60-65岁年龄 段中职工的平均工资。在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复 杂总和的有限概率分布。根据前面几个各年龄段的职工数量及薪酬分布来看，平均工资 的分布比较接近高
26、斯分布的特点，因此在企业规模不变的情况下我们可以用高斯函数拟 合该企业60-65岁年龄段中职工的平均工资曲线图。结合附件1中该企业分年龄段职工数量和酬薪分布情况的相关数据我们使用用 MATLAB工具箱进行高斯函数的拟合，拟合效果如下图所示：高斯函数拟合图: 数据点 一,拟合曲线/3000 -25303540455055职员年龄/年图六得到高斯函数式子为：（-（1丝） y = 146.7 x e 2957x-49.05 2 + 3136X634.99R方检验:第14页，共27页通过MATLAB软件对之前各年龄段的职工工资拟合，对实际值和预测值的误差判断有R八 2二 0. 9971第14页，共27
27、页由于不20.95 ,故此拟合函数优度较好，拟合具有可行性：取x=62对下一年龄段，即60-64年龄段工资进行预测，预测值为：2734. 6元同理求得65-69年龄段的工资预测值为：2410. 4元.利用Excel软件计算得：对表6进行补充得下表表7年龄段比值20-24 岁0.669236325-29 岁0.804927130-34 岁0.982514535-39 岁1.066667740-44 岁1.172805945-49 岁1.266624450-54 岁1.208664255-59 岁1.155041760-64 岁1.060032665-69 岁0.9343606(-)基础养老金计算
28、：由基础养老金计算方法可知：基础养老金=(全省上年度在岗职:月平均工资+本人指数化月平均缴虹资) 2 x缴费年限xl%因此我们需要分别计算影响基础养老金的三个主要因子：本人指数化月平均值、省 上年度月平均工资、缴费年限。1、本人指数化月平均值的计算方法能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earings)n 指标的计算公式为：X X F %2 X+ Xjn x S =(5)n公式(5)中，西,2，/为参保人员退休前1年、2年、力年本人缴费工资额；为参保人员退休前1年、2年、加年全国/省/地市“职工平均工资” 或称“社会平均工资”；为企业和职工实
29、际缴纳基本养老保险费的月数合计(可以简 单认为等于12,勿为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限)。土称为退休前第，年的缴费指数，XI,，加由题意可知，20xx年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可以看作 职工缴费指数的参考值。在此我们设比值第15页，共27页Tw 则有(6)第15页，共27页S= C X（/ +，2 +/）n从521中20xx年该企业各年龄阶段职工工资与该区域平均工资之比计算结果表7 数据中，我们可以较直观的得到比值所以可以容易得到本人指数化月平均缴费工 资S。2、年限的计算缴费年限为开始缴养老金到退休这个时间段内的年数总和，例如某职工从30岁开 始缴养老保险，一直
30、缴费到退休，假设该职工在55岁退休，则该职工需缴费的年限为： n二退休岁数-起始缴养保险岁数解得n=55-30=25（年），则此时的缴费年限为25年，其他不同岁数的起始缴养保险 到不同退休阶段的缴费年限诸如此类推。3、省上年度月平均工资计算省上年度月平均工资是该职工退休时的上一年省平均工资，附件1中给出了山东省 1978年到2（）xx年的省平均工资，考虑到该企业职工自200（）年开始缴费的话，假若从 30岁年龄段开始缴养老金费用一直到退休（假设该职工在65岁退休），则缴费时长历经 35年,该职工退休时为2035年,计算省上年度月平均工资则是计算2034年的平均工资。 虽然附件1中没有给出203
31、4年的生平均工资，但我们已经在问题一中对20xx年到2035 年山东省职工的平均工资进行了预测，因此，我们可以从问题一所建立的平均工资综合 模型算得省上年度月平均工资。综合计算出以上3个影响基础养老金大小的主要因子后，我们就解决了影响替代率 大小的重要因素-职工刚退休时的养老金大小的一个决策变量大小问题。运用MATLAB软件编程（matlab附件tidailv.m）,可快速准确的得到该职工刚退休 时的每月基础养老金大小/元：表8休年龄 缴费春55岁60岁65岁30岁1803.32541.93379.340岁795.71199.41794.9（三）个人账户养老金计算个人账户养老金的计算公式为：个
32、人账户养老金=个人账户储存额+计发月数有个人账户养老金计算公式可知影响个人账户养老金的2个主要因素为：个人账户 存储额和计发月数下面我们对这2个主要因素的计算方法进行研究讨论。1 .个人账户储存额的计算个人账户存储额是一个符合银行存储规律的账户存储实例，我们把职工个人工资的 8%缴纳到个人账户存进银行，在这里，本金就是卬个人8%,在银行进行存储就会有利 息回馈，利息就是所存金额利率乘以存款日期得到的数字，个人账户存储以银行当时公 布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。因此，我们可以得到个人账户存储额。的一般计算公式：i=n吗8%.（1 + 3%尸/=0第16页，共27页其中人
33、账户存储额。中仍然涉及到吗，因此我们仍需结合附件1的省平均工资以及 企业平均工资与省平均工资存在如下关系。卬企=卬省来计算，在计算企业平均工资卬企 与省平均工资W省时都要注意单位的统一，对平均工资统一转化为以年为单位的工资。 再由该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比/，.计算可得2000年至2035年该企 业各年龄段职工年平均工资。2 .计发月数的规定个人账户养老金计发月数的规定如下表所示：表9退休年龄计发月数退休年龄计发月数4023356164412305715842226581524322359145442206013945216611324621262125472086311748
34、20464109491996510150195669351190678452185687553180696554175705655170综合计算出以上2个影响个人账户养老金大小的重要因子后，我们就可以解决影响 替代率大小的重要因素-职工刚退休时的养老金大小的另外一个决策变量大小问题。运用MATLAB软件编程（matlab附件tidailv.m）,可快速准确的得到该职工刚退休 时的每月个人账户养老金大小/元：表10休年龄 缴费输55岁60岁65岁30岁402.65775.751528.840岁142.41316.85708.03由表8和表10,可得该职工刚退休时的每月养老金为/元： 表11休年龄
35、 缴费春55岁60岁65岁第17页，共27页30岁2223.93317.74908.1第17页，共27页20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）赛区评阅记港I可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）第2页，共27页40岁852.981516.32503（四）退休前工资的确定根据附件1山东省职工平均工资表、问题一中对20xx年-2035年企业平均工资的预 测、附件2中该企业各年龄阶段的平均工资分布和522中（一）高斯分布对缺失年龄 段平均工资的补充，我们可以确定职工退
36、休前的工资情况。该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，6。岁，65岁），计算各种情况下的退休前月工资为：表12休年龄 缴费年55岁60岁65岁30岁7329.8088078.168310.71640岁1438.4615376.5365929.383（五）替代率的综合计算回顾替代率的计算公式，我们知道替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前的 比例。由（二）（三）分析我们可以确定职工刚退休时的养老金，由（四）分析可以确 定退休前的工资。因此我们可以根据以上的逻辑关系计算自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老 保险，一直缴费到退休（55岁，6。岁
37、，65岁），6种情况下的养老金替代率，计算结果 如下：表13龄 缴费年龄55岁60岁65岁30岁36.54%45.4%57.54%40岁23.43%31.17%41.13%5. 3问题三3.1建立养老金缺口情况的计算模型养老金的缺口，是指当养老金保险基金入不敷出是出现的收支之差。由题意可知，养老保险基金分为个人账户和社会统筹基金账户两部分。养老金保险 基金为基础养老金和个人账户养老金之和。养老金缴费的职工在退休后，按职工在职期 间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的 社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户 中一定比例的
38、资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。退休职工在领取 个人账户养老金和社会统筹基金账户养老金后的余额之和即为养老保险基金的缺口情 况。如果所得的和大于0,则不出现缺口情况，反之，则出现缺口情况。为了更加客观、科学的分析是否出现缺口情况，我们需要对个人账户余额和社会统 筹基金账户余额进行定性量化分析。（1）职工在退休后第，年个人账户余额分析第18页，共27页由附件3的养老金计算公式得知个人账户养老金的计算公式为：第18页，共27页个人账户养老金=个人账户存储额+计发月数从公式得知，对应退休年龄的养老金计发月数是不变的，而个人账户存储额也是不 变的，故易得个人账户养老金U也是不变的，即
39、为一个定值，即职工每年获得的个人 账户养老金保持不变，个人账户储存额以银行年存款利息3%计息，职工退休时个人 账户储存额为职工退休后第1年的个人账户余额，再乘以L03求得，于是我 们可以建立职工在退休后第i年个人账户余额的模型1 : 模型1 ：我们设A,为退休后第，年个人账户余额人账户余额，则第一年退休的个人账户余额 人账户余额为：4 =（Q v）xl.O3 退休后第，+1年人账户余额为退休为：=（A-v）xl.O3 则职工退休时个人账户储存额为：。=2广1.03小所以，退休时个人账户养老金u为：计发月数其中i表示职工在退休后的第，年，）表示职工开始缴养老保险的年份，表示职 工缴养老保险的年数
40、因此，我们可以根据模型1求得该职工在其退休到死亡期间的任意一年的个人账 户余额。（2）职工在退休后第，年社会统筹基金账户余额分析由附件3的养老金计算公式得知社会统筹基金账户养老金的计算公式为：基础养老金二（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）H-2 X缴费年限X1%本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资X本人平均缴费指数可知，随着职工领取养老金当年的全省上年度在岗职工月平均工资的改变而改 变，基础养老金也随着变化，是一个变值，所以职工退休后第，+1年的社会统筹基 金账户余额可通过职工退休后的第，年的社会统筹基金账户余额减去个第i+1年领取的 年基础养老金求得
41、 模型2 ：我们设以为退休后第i年社会统筹基金账户余额，则第一年退休的个人账户余额人 账户余额为：Bj =%一 b退休后第1年社会统筹基金账户余额为：= Bi - bi则职工退休时社会统筹基金账户的余额为：j=nx = Z 鬲 x 20%第19页，共27页职工退休后第i年基础养老金bi =(玉 + xi - r)x 0.5 x x 1%第19页，共27页同理，根据模型2即可求得该职工在其退休到死亡期间的任意一年的社会统筹基 金账户的余额。5. 3. 2求解养老金缺口情况的计算模型根据中模型1和模型2,利用MATLAB软件编程可求出该职工自2000年起 从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（5
42、5岁，60岁，65岁），75岁死亡时，养老 保险基金的缺口情况（元）：表1450岁60岁65岁30岁个人账户缺口10549103379108.6社会统筹基金 账户缺口433250337520158340养老保险基金 的缺口4438003478601674505. 3. 3养老金收支平衡分析（-）社会统筹账户中职工的资金与个人账户资金的区别：如果职工死亡时，社会统筹账户中的职工的资金还有剩余，不退给职工，个人账户 中的余额可继承。但是，在职工死亡前，社会统筹账户中的职工的资金或个人账户中的 资金已经用完，则我们可以从以下两种情形加以讨论：1、社会统筹账户中职工的资金比职工的个人账户的资金先用完，职工的养老金中 基础养老金，可从社会统筹账户的其余部分继续支付，此时可认为职工保险待遇收入 的部分大于支出的部分，因为若个人账户的余额已用完，职工的养老金中个人账户养 老金同样是社会统筹账户的其余部分继续支付，而当个人账户的余额到职工死亡也没 用完，个人账户中的余额被继承，即不纳入社会统筹账户的其余部分。所以，只要当社 会统筹账户中职工的资金以用完，即认为职工保险待遇收的部分大于支的部分。2、职工的个人账户的资金比社会统筹账户中职工的资金先用完，职工的养老金中 个人账户养老金可用社会统筹账户中职工的资金继