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1、第三章 时域分析法n3-1 控制系统的时域指标控制系统的时域指标n3-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应n3-3 二阶系统分析二阶系统分析n3-4 控制系统的稳定性和代数判据控制系统的稳定性和代数判据n3-5 稳态误差的分析和计算稳态误差的分析和计算3-1 控制系统的时域指标 所谓所谓时域分析法时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的线分析系统的动态性能动态
2、性能和和稳态性能稳态性能。动态和稳态过程动态和稳态过程3 3、动态过程、动态过程（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型（过渡过程或瞬态过程）：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。过程。4 4、稳态过程：、稳态过程：系统在典型信号作用下，当时间系统在典型信号作用下，当时间t t趋趋向无穷时，系统输出量的表现形式。向无穷时，系统输出量的表现形式。1 1、典型输入信号：、典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦等冲、单位加速度、正弦等2 2、系统的时间响应、系统的时间响应，由，由动态过程动态
3、过程和和稳态过程稳态过程两部分两部分组成组成与此对应，性能指标分为与此对应，性能指标分为动态性能指标动态性能指标和和稳态性能稳态性能指标指标控制系统的时域性能指标，是根据系统在控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃函数作用下的时间响应单位单位阶跃响应确定的，通常以阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。）表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图的阶跃响应，如图3-1所示：所示：h(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间调节时间tsh(
4、t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间tsh(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts动态性能指标定义2一.上升时间上升时间t tr r r r(Rising time)(Rising time)响应曲线从零首次上升到稳态值响应曲线从零首次上升到稳态值h(h()所需所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，振荡的系统，t tr r r r是响应曲线从稳态值的是响应曲线从稳态值的10%10%上升到上升到90%90%所需的时间。所需的时间。延迟时间延迟时间t td d d d(Delay
5、 time):(Delay time):响应曲线第一次响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。到达终值一半所需的时间。二二.峰值时间峰值时间t tp p p p (Timeofpeakvalue)响应曲线超过稳态值响应曲线超过稳态值h(h()达到第一个峰值达到第一个峰值所需的时间。所需的时间。三三.调节时间调节时间t ts s s s 在稳态值在稳态值h(h()附近取一误差带，通常取附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。的最小时间，称为调节时间。ts s越小，说明系统从一个平衡状态过渡到越小，说明系统从一个平衡状态
6、过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。另一个平衡状态所需的时间越短。四四.超调量超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即之比。即超调量表示系统响应过冲的程度，超调量超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。工作条件下，而且使调节时间加长。五五.振荡次数振荡次数N在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。次数的一半。tr r,tp p和和ts s表示控制系统反映输入信号的快速表示控制系统反映输入信号的快速性，而性
7、，而%和和N N反映系统动态过程的平稳性。反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中即系统的阻尼程度。其中t ts s s s和和%是最重要是最重要的两个动态性能的指标。的两个动态性能的指标。3-2 一阶系统的时间响应一一.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型结构图和闭环极点分布图为：结构图和闭环极点分布图为：T表征系统惯性大小的重要参数。表征系统惯性大小的重要参数。二二.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应t t0 0T T2 2T T3 3T T4 4T T5 5T T c c(t t)0 00.630.632 20.860.865 50.9500.9500.980.982
8、20.990.993 31 1特点：特点：（1）初始斜率为）初始斜率为1/T；（2）无超调）无超调（3）稳态误差）稳态误差ess=0。性能指标：性能指标：（1）延迟时间：）延迟时间：td=0.69T（2）上升时间：上升时间：tr=2.20T（3）调节时间：）调节时间：ts=3T(=0.05)曲线曲线例例1.一阶系统的结构图如图所示，若一阶系统的结构图如图所示，若kt t=0.1,试求系统的调节时间试求系统的调节时间ts s。如果要求。如果要求tss0.1秒。试求反馈系数应取多大？秒。试求反馈系数应取多大？-解：系统的闭环传递函数解：系统的闭环传递函数一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位脉冲响应t0
9、.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率初始斜率为为0.368/T0.05/T0c(t)单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线三三.一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：tTTr(t)=tc(t)0一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差essss=t-(t-T)=T从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T,这就存在着essss=T的稳态误差。一阶系统能跟踪斜坡输入信号一阶系统能跟踪斜坡输入信号,但存在稳态误差但存在稳态误差。上式表明，跟踪误差
10、随时间推移而增大，直至无限大。上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。一阶系统单位一阶系统单位加速度加速度响应响应表表表表3-13-1一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应输入信号输入信号时域时域输入信号输入信号频域频域输出响应输出响应传递函数传递函数1 11(t)1(t)t t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数
11、由零初始条件确定。典型二阶系统的结构图如图典型二阶系统的结构图如图3-53-5所示。系统的闭所示。系统的闭环传递函数为环传递函数为 其中其中K K为系统的开环放为系统的开环放大系数，大系数，T T为时间常数为时间常数。3-3二阶系统分析二阶系统分析 由由由由二二二二阶阶阶阶微微微微分分分分方方方方程程程程描描描描述述述述的的的的系系系系统统统统称称称称为为为为二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统。在在在在控控控控制制制制工工工工程程程程实实实实践践践践中中中中，二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统应应应应用用用用极极极极为为为为广广广广泛泛泛泛，此此此此外外外外，许许许许多多多多高高高高阶阶阶阶系系系
12、系统统统统在在在在一一一一定定定定的的的的条条条条件件件件下下下下可可可可以以以以近近近近似似似似为为为为二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统来来来来研研研研究究究究，因因因因此此此此，详详详详细细细细讨讨讨讨论论论论和和和和分分分分析析析析二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统的特征具有极为重要的实际意义。的特征具有极为重要的实际意义。的特征具有极为重要的实际意义。的特征具有极为重要的实际意义。（3 35 5）C(t)C(t)R(t)R(t)_ _C(t)C(t)图图图图3-5 3-5 二阶系统结构图二阶系统结构图二阶系统结构图二阶系统结构图与式（与式（与式（与式（3-53-53-53-5）相对应的微
13、分方程为）相对应的微分方程为）相对应的微分方程为）相对应的微分方程为可可可可见见见见，该该该该系系系系统统统统是是是是一一一一个个个个二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统。为为为为了了了了分分分分析析析析方方方方便便便便，将系统的传递函数改写成如下形式将系统的传递函数改写成如下形式将系统的传递函数改写成如下形式将系统的传递函数改写成如下形式式式式式中中中中 ，称称称称为为为为无无无无阻阻阻阻尼尼尼尼自自自自然然然然振振振振荡荡荡荡角角角角频频频频率率率率，（简简简简称称称称为为为为无无无无阻阻阻阻尼尼尼尼自自自自振振振振频频频频率率率率），称称称称为为为为阻阻阻阻尼尼尼尼系系系系数数数数（或或或或
14、阻尼比）。阻尼比）。阻尼比）。阻尼比）。(3-6)(3-6)闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当0 11时，特征方程具有两个不相等的负时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（实根，称为过阻尼状态。（如图如图c c）4.4.当当=0=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（零阻尼状态。（如图如图d d）下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃
15、响应。系统的单位阶跃响应。二二.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1.欠阻尼情况欠阻尼情况当当01,二阶系统的闭环特征根为二阶系统的闭环特征根为Wn n无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。荡频率。当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为出量为曲线曲线：欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部征值实部-w wn n n n的大小，而衰减振荡的频率，的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚
16、部取决于特征根虚部w wd d d d的大小。的大小。角的定义角的定义 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；长；过大时，系统响应迟钝，调节时间过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；也长，快速性差；=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，平稳性也好，故称故称=0.7为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。注：系统对于超调量的要求l l对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统对一般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统对一般系统，总希望超调量较小
17、。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动有一点超调，以增加系统的快速性。例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度跟踪特性较好。这时电动机速度跟踪特性较好。这时电动机速度跟踪特性较好。这时电动机速度跟踪特性较好。l对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥搅拌控制系统中，含水量不能过
18、量，因为控制系统只能拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。加水，而不能排水。l机床刀架系统。机床刀架系统。上图绘出了不同上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，跃响应曲线。直观地看，越大，超调量越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，之，越小，振荡性越强，平稳性越差。当越小，振荡性越强，平稳性越差。当0 0时，系统的零阻尼响应为：时，系统的零阻尼响应为：等幅振荡曲线，振荡频率为等幅振荡曲线，振荡频率为w wn n w wn n称为无阻尼振荡频率。称为无阻尼振荡频率。另外，若另
19、外，若过大，如过大，如 ，系统响应迟缓，系统响应迟缓，调节时间调节时间t ts s s s长，快速性差；若长，快速性差；若过小，虽然过小，虽然响应的起始速度较快，响应的起始速度较快，t tr r r r和和t tp p p p小，但振荡强烈，小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间响应曲线衰减缓慢，调节时间t ts s s s亦长。亦长。下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。1.1.上升时间上升时间t tr r r r 由定义知：由定义知：tr r为输出响应第一次到达稳态值所为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取需时间，所以应取n=1。当当wn
20、 n一定时，一定时，越小，越小，t tr r r r越小；越小；当当一定时，一定时，wn n越大，越大，tr r越小。越小。2.峰值时间峰值时间tp p对对式两边求导，并令其式两边求导，并令其=0，得：，得：代入代入 得：得：tp p为输出响应达到第一个峰值所对应的时间为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取所以应取n=1。于是于是当当wn n一定时，一定时，越小，越小，t tp p p p越小；越小；当当一定时，一定时，w wn n n n越大，越大，t tp p p p越小。越小。3.3.超调量超调量%所以超调量是阻尼比所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振的函数，与无阻尼振荡频率荡频率
21、w wn n n n的大小无关。的大小无关。%与与的关系曲线的关系曲线 增大，增大，%减小，通常为了获得良好的平稳减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比性和快速性，阻尼比取在之间取在之间,相应的超调相应的超调量量25%-2.5%25%-2.5%。4.4.调节时间调节时间t ts s s s 根据定义：根据定义：不易求出不易求出t ts s s s，但可得出，但可得出w wn n n nt ts s s s与与的关系曲线：的关系曲线：调节时间不连续的示意图调节时间不连续的示意图值的微小变化可引起调节时间值的微小变化可引起调节时间t ts s显著的变化。显著的变化。当=0.68=0.68（
22、5%5%误差带）或误差带）或=0.76=0.76（2%2%误差误差带），调节时间带），调节时间t ts s s s最短。所以通常的控制系统最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定到误差带之内所需时间来确定t ts s s s。当当=0.811时，二阶系统的闭环特征方程有两时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可个不
23、相等的负实根，这时闭环传递函数可写为写为式中：式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，当系统的输入信号为单位阶跃函数时，则系统的输出量为则系统的输出量为拉氏反变换得：拉氏反变换得：响应曲线如图：响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间要是调节时间ts s，根据公式求，根据公式求ts s
24、的表达式很的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts s。过阻尼二阶系统调节时间特性过阻尼二阶系统调节时间特性从曲线可以看出，当从曲线可以看出，当 ,(临界阻尼）时，临界阻尼）时，,当当 ，时，时，当当 ，时，时，由此可见，由此可见，当当 时，时，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。来估算。当当 时，临界阻尼二阶系统时，临界阻尼二阶系统 ，则，则 则临界阻尼二则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应
25、用的控制系统一般不采用过阻尼系统。统一般不采用过阻尼系统。例例1:已知单位反馈系统的传递函数为已知单位反馈系统的传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放试计算放大器增益大器增益KA A=200时时,系统输出响应的动态性系统输出响应的动态性能指标。当能指标。当KA A增大到增大到1500时或减小到时或减小到KA A=13.5,这时系统的动态性能指标如何这时系统的动态性能指标如何?解解:系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式公式,可以求得可以求得:由此可见由此可见,KA A越大越
26、大,越小越小,w,wn n n n越大越大,t,tp p p p越小越小,%越大越大,而调节时间而调节时间t ts s s s无多大变化。无多大变化。系统工作在过阻尼状态系统工作在过阻尼状态,峰值时间峰值时间,超调量和振超调量和振荡次数不存在荡次数不存在,而调节时间可将二阶系统近似而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数为大时间常数T的一阶系统来估计的一阶系统来估计,即即:调节时间比前两种调节时间比前两种KA A大得多大得多,虽然响应无虽然响应无超调超调,但过渡过程缓慢但过渡过程缓慢,曲线如下：曲线如下：KA增大，增大，t tp p减小，减小，t tr r减小，减小，可以提高响应的快速性，但超调
27、可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。例例2.下图表示引入了一个比例微分控制的二下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统阶系统,系统输出量同时受偏差信号系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分和偏差信号微分 的双重控制。试分析的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。比例微分校正对系统性
28、能的影响。系统开环传递函数系统开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数:等效阻尼比：等效阻尼比：增大了系统的阻尼比增大了系统的阻尼比,可以使系可以使系统动态过程的超调量下降统动态过程的超调量下降,调节时间缩短调节时间缩短,然然而开环增益而开环增益k保持不变保持不变,它的引入并不影响系它的引入并不影响系统的稳态精度统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼同时也不改变系统的无阻尼振荡频率振荡频率wn n。而且。而且,比例微分控制使系统增比例微分控制使系统增加了一个闭环零点加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。动态性能指标的公式不再适用。由于稳态由于稳态误
29、差与开环增益成反比误差与开环增益成反比,因此适当选择开环因此适当选择开环增益和微分器的时间常数增益和微分器的时间常数Td d,即可减小稳态即可减小稳态误差误差,又可获得良好的动态性能。又可获得良好的动态性能。例例3.图图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。析速度反馈校正对系统性能的影响。解解:系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为式中式中kt t为速度反馈系数为速度反馈系数.为系统的开环增益。为系统的开环增益。(不引入速度反馈开环增益不引入速度反馈开环增益)k有所减小有所减小,增大了稳态误差增大了稳态误差,因此降低了系因此
30、降低了系统的精度。统的精度。闭环传递函数闭环传递函数显然显然，所以速度反馈同样可以增大，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率而不改变无阻尼振荡频率wn n,因因此此,速度反馈可以改善系统的动态性能。速度反馈可以改善系统的动态性能。等效阻尼比：等效阻尼比：在应用速度反馈校正时在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统应适当增大原系统的开环增益的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增以补偿速度反馈引起的开环增益减小益减小,同时适当选择速度反馈系数同时适当选择速度反馈系数kt t,使阻使阻尼比尼比t t t t增至适当数值增至适当数值,以减小系统的超调量以减小系统的超调
31、量,提高系统的响应速度提高系统的响应速度,使系统满足各项性能使系统满足各项性能指标的要求。指标的要求。高阶系统的暂态性能近似分析高阶系统的暂态性能近似分析高阶系统的闭环传递函数一般表示为：高阶系统的闭环传递函数一般表示为：高阶系统的闭环传递函数一般表示为：高阶系统的闭环传递函数一般表示为：设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），单位阶跃响应的拉氏变换式为：单位阶跃响应的拉氏变换式为：单位阶跃响应的拉氏变换式为：单位阶跃响应的拉氏变换式为：对于上式求拉氏
32、反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调
33、量影响不大；反之，衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起
34、的分量忽略因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略因此，一般可将相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引起的分量。-1-5例例：-10-1例例：例例：结论：结论：1 1）若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响 应分量较小。应分量较小。应分量较小。应分量较小。2 2 2
35、2）若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态）若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态）若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态）若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态 分量。分量。分量。分量。忽忽忽忽略略略略上上上上述述述述两两两两类类类类极极极极点点点点所所所所引引引引起起起起的的的的暂暂暂暂态态态态分分分分量量量量后后后后，一一一一般般般般剩剩剩剩下下下下为为为为数数数数不不不不多多多多的的的的几几几几个个个个极极极极点点点点所所所所对对对对应应应应的的的的暂暂暂暂态态态态分分分分量量量量。这这这这些些些些分分分分量量量量对对对对系系系系统统统统的的的的
36、动动动动态态态态特特特特性性性性将将将将起起起起主主主主导导导导作作作作用用用用，这些极点通常称为主导极点。这些极点通常称为主导极点。这些极点通常称为主导极点。这些极点通常称为主导极点。0(a)(b)S0S0S（c)3-4 控制系统的稳定性和代数判据一一.稳定性的定义稳定性的定义如小球平衡位置如小球平衡位置b点点,受外界扰动作用受外界扰动作用,从从b点到点到点，外力作用去掉后点，外力作用去掉后,小球围绕小球围绕b点点作几次反复振荡作几次反复振荡,最后又回到最后又回到b点点,这时小球这时小球的运动是稳定的。的运动是稳定的。如小球的位置在如小球的位置在a或或c点点,在微小扰动下在微小扰动下,一旦偏
37、一旦偏离平衡位置离平衡位置,则无论怎样则无论怎样,小球再也回不到原来位小球再也回不到原来位置置,则是不稳定的。则是不稳定的。定义定义:若系统在初始偏差作用下若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随其过渡过程随时间的推移时间的推移,逐渐衰减并趋于零逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状具有恢复平衡状态的性能态的性能,则称该系统为渐近稳定则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反简称稳定。反之为不稳定。之为不稳定。我们把扰动消失时我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。是系统的初始偏差。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数数,
38、而与外作用及初始条件无关而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特是系统的固有特性。性。二二.稳定的充要条件稳定的充要条件设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为:由于系统的初始条件为零由于系统的初始条件为零,当输入一个理想当输入一个理想的单位脉冲的单位脉冲(t)时时,则系统的输出便是单位脉则系统的输出便是单位脉冲过渡函数冲过渡函数k(t),如果如果,则系统稳则系统稳定。定。若若是线性系统特征是线性系统特征方程方程的根的根,且互不相等且互不相等,则上式可则上式可分解为分解为式中式中则通过拉式变换则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡求出系统的单位脉冲过渡函数为函数为欲满足欲满足,则必须各个分
39、量都趋则必须各个分量都趋于零。式中于零。式中为常数为常数,即只有当系统的全部即只有当系统的全部特征根特征根都具有负实部才满足。都具有负实部才满足。稳定的稳定的充要条件是充要条件是:系统特征方程的全部根系统特征方程的全部根都具有负实部都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极或者闭环传递函数的全部极点均在点均在s平面的虚轴之左。平面的虚轴之左。特征方程有重根时特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。上述充要条件完全适用。三三.劳思稳定判据劳思稳定判据不必求解特征方程的根不必求解特征方程的根,而是直接根据特征而是直接根据特征方程的系数方程的系数,判断系统的稳定性判断系统的稳定性,回避求解高回避求解高次
40、方程的困难。次方程的困难。1.系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件:特征方程中所有项特征方程中所有项的系数均大于的系数均大于0.只要有一项等于或小于只要有一项等于或小于0,则则为不稳定系统。为不稳定系统。充分条件充分条件:Routh表第一列元素均大于表第一列元素均大于0。2.Routh表的列写方法表的列写方法特征方程为特征方程为则则Routh表为表为(在下页中在下页中)则系统稳定的充要条件则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元劳思表中第一列元素全部大于素全部大于0。若出现小于。若出现小于0的元素的元素,则系统则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正
41、实部根的个数。于系统正实部根的个数。例例:则系统不稳定则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有且有两个正实部根。（即有2个根在个根在S的右半平面。的右半平面。一次方程一次方程:a1,a0同号则系统稳定。同号则系统稳定。二次方程二次方程:a1,a2,a0同号则系统稳定。同号则系统稳定。三次方程三次方程:a0 0,a1 1,a2 2,a3 3均大于均大于0,且且a1 1a2 2a3 3a0 0,则系统稳定。则系统稳定。3.两种特殊情况两种特殊情况情况情况1:劳思表中某一行的第一个元素为劳思表中某一行的第一个元素为0,其其它各元素不全为它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数这时可以用任意小的正数代替
42、某一行第一个为代替某一行第一个为0 0的元素。然后继续的元素。然后继续劳思表计算并判断。劳思表计算并判断。例例:当当很小时很小时,则系统不稳定，并有两个正实部根。则系统不稳定，并有两个正实部根。情况情况2:2:劳思表中第劳思表中第k k行元素全为行元素全为0,0,这说明系这说明系统的特征根或存在两个符号相异统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相绝对值相同的实根同的实根,或存在一对共轭纯虚根或存在一对共轭纯虚根,或存在或存在实部符号相异实部符号相异,虚虚部数值相同的共轭复根，部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。或上述类型的根兼而有之。此时系统必然是不稳定的。在这种情况下此时系统必然是不
43、稳定的。在这种情况下,可作如下处理。可作如下处理。(1).用用k-1行元素构成辅助方程行元素构成辅助方程.(2).将辅助方程为将辅助方程为s求导求导,其系数作为全零行其系数作为全零行的元素的元素,继续完成劳思表。继续完成劳思表。例例:系统的特征方程为：系统的特征方程为：列劳思表列劳思表:列辅助方程列辅助方程第一列符号改变一次第一列符号改变一次,有一个正实部根有一个正实部根,系统不稳定。系统不稳定。解辅助方程解辅助方程得：得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根和一对纯虚根可见其中有一个正可见其中有一个正实根。实根。4.劳思判据的推广及应用劳思判据的推
44、广及应用(1).劳思表不但可判断系统的稳定性劳思表不但可判断系统的稳定性,而且能判而且能判断特征根的位置分布情况。断特征根的位置分布情况。(2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。例例:闭环传递函数闭环传递函数:则特征方程则特征方程整理得整理得:必要条件必要条件:充分条件充分条件:则系统才是稳定的则系统才是稳定的,求得求得k的取值范围。的取值范围。(3).确定使系统稳定的特征参数的取值区间。确定使系统稳定的特征参数的取值区间。例例:已知系统的特征为已知系统的特征为:试判断使系统稳定的试判断使系统稳定的k值范围值范围,如果要求特征如果要求特征值均位于值均
45、位于s=-1垂线之左。问垂线之左。问k值应如何调整值应如何调整?解解:特征方程化为特征方程化为:列劳思表列劳思表:所以使系统稳定的所以使系统稳定的k值范围是值范围是若要求全部特征根在若要求全部特征根在s=-1之左之左,则虚轴向左平则虚轴向左平移一个单位，令移一个单位，令s=s1 1-1代入原特征方程代入原特征方程,得得:整理得整理得:列劳思表列劳思表:第一列元素均大于第一列元素均大于0,则得则得:3.6 线性定常系统的稳定误差计算3.6.1 3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差误差与稳态误差误差与稳态误差3.6.2 3.6.2 系统类型系统类型系统类型系统类型3.6.3 3.6.3 静态误
46、差系数静态误差系数静态误差系数静态误差系数3.6.5 3.6.5 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差3.6.4 3.6.4 动态误差系数动态误差系数动态误差系数动态误差系数前提：系统稳定前提：系统稳定前提：系统稳定前提：系统稳定 。稳态性能稳态性能稳态性能稳态性能 控制系统的性能控制系统的性能控制系统的性能控制系统的性能动态性能动态性能动态性能动态性能无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统称之无差系统。误差的系统称之无差系统。有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态有差系统：在阶跃函数作用下具有原
47、理性稳态误差的系统称之有差系统。误差的系统称之有差系统。3.6.1 误差与稳态误差第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第一种定义：误差在实际系统中是可以量测的。第第第第二二二二种种种种定定定定义义义义：输输输输出出出出的的的的真真真真值值值值有有有有时时时时很很很很难难难难得得得得到到到到，误误误误差差差差往往往往往往往往难以测量。难以测量。难以测量。难以测量。误差的两种定义误差的两种定义误差的两种定义误差的两种定义误差误差误差误差传递传递传递传递函数函数函数函数误差误差误差误差上上上上式式式式表表表表明
48、明明明：系系系系统统统统的的的的稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差，不不不不仅仅仅仅与与与与开开开开环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)的的的的结结结结构构构构有有有有关关关关，还还还还与与与与输输输输入入入入R(s)R(s)R(s)R(s)形形形形式式式式密密密密切切切切相相相相关关关关 。终值定理，求稳态误差。终值定理，求稳态误差。终值定理，求稳态误差。终值定理，求稳态误差。公式条件：公式条件：公式条件：公式条件：sE(S)sE(S)sE(S)sE(S)的极点均位于的极点均位于的极点均位于的极点均位于S S S S左半平面（
49、包括坐标原点）。左半平面（包括坐标原点）。左半平面（包括坐标原点）。左半平面（包括坐标原点）。问问?R(t)=sin?R(t)=sint t时，能否用终值定理求时，能否用终值定理求e essss?对对对对于于于于一一一一个个个个给给给给定定定定的的的的稳稳稳稳定定定定系系系系统统统统，当当当当输输输输入入入入信信信信号号号号形形形形式式式式一一一一定定定定时时时时，系系系系统统统统是是是是否否否否存存存存在在在在稳稳稳稳态态态态误误误误差差差差就就就就取取取取决决决决于于于于开开开开环环环环传传传传递递递递函函函函数数数数所所所所描描描描述述述述的的的的系系系系统统统统结结结结构构构构。因因因
50、因此此此此，按按按按照照照照控控控控制制制制系系系系统统统统跟跟跟跟踪踪踪踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。3.6.2 系统类型 开环传递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数系统稳态误差计算通式则可表示为系统稳态误差计算通式则可表示为为便于讨论，令为便于讨论，令 因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加速度函数或者其组合，因此分别讨论。速度函数或