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1、时域分析法时域分析法:分析当控制系统输入变化时，分析当控制系统输入变化时，其输出随时间变化的响应特性。其输出随时间变化的响应特性。R(s)Y(s)根根据据系系统统的的数数学学模模型型求求解解出出系系统统的的时时间间响响应应,如如y(t)=f(r(t)由系统输出响应分析系统特性由系统输出响应分析系统特性评价和设计控制系统。评价和设计控制系统。r(t)tY(t)t1第三章第三章控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法动态响应动态响应：过渡过程或瞬态过程，反映出过渡过程或瞬态过程，反映出 系统的动态性能；系统的动态性能；输出响应输出响应注意：系统达到稳态时，不一定输出数值不变，而注意：系统达到稳
2、态时，不一定输出数值不变，而是输出的变化形式固定不变，它们与输入信号的作是输出的变化形式固定不变，它们与输入信号的作用形式有关。用形式有关。稳态响应稳态响应：反映出系统的稳态性能反映出系统的稳态性能指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。指指在输入信号作用下，在输入信号作用下，系统输出从初始状系统输出从初始状态变化到最终状态的响应过程。态变化到最终状态的响应过程。3.1控制系统的过渡过程形式及性能指标控制系统的过渡过程形式及性能指标在在分分析析和和设设计计控控制制系系统统时时，需需要要有有一一个个对对各各种种系统性能进行比较的基础。系统性能进行比较的基础。从从实
3、实际际应应用用中中抽抽象象出出一一些些典典型型的的输输入入信信号号，它它们具有广泛的代表性和实际意义。们具有广泛的代表性和实际意义。通通过过比比较较各各类类系系统统对对这这些些典典型型试试验验信信号号的的响响应应来分析它们的性能。来分析它们的性能。3.1.1控制系统的输入信号控制系统的输入信号常用的典型试验信号：常用的典型试验信号：r(t)tr(t)tr(t)tr(t)tA(a)阶跃信号阶跃信号(c)斜坡信号斜坡信号(d)抛物线信号抛物线信号(e)正弦信号正弦信号图图3-1典型试验信号典型试验信号r(t)t(b)脉冲信号脉冲信号3.1.1.1阶跃输入信号阶跃输入信号阶跃输入信号可表示为阶跃输入
4、信号可表示为(图图3-1(a)：A为阶跃信号的幅值，为常数。为阶跃信号的幅值，为常数。A等等于于1时时叫叫做做单单位位阶阶跃跃信信号号，记记做做1(t)，否否则则记记为为A1(t)。最最经经常常采采用用的的试试验验信信号号，用用来来表表示示突突变变的的信信号号，如电源断电和设备故障等如电源断电和设备故障等。阶跃干扰是最严重的扰动形式。阶跃干扰是最严重的扰动形式。r(t)tA(a)阶跃信号阶跃信号3.1.1.2单位脉冲信号单位脉冲信号单单位位脉脉冲冲输输入入信信号号又又称称(t)函函数数，它它是是图图3-1(b)在在0时的极限情况，时的极限情况，用来表示冲击型的脉冲扰动用来表示冲击型的脉冲扰动
5、理理想想的的(t)函函数数无无法法得得到到，持持续续时时间间非非常常短短的的脉脉动信号就认为是脉冲信号动信号就认为是脉冲信号r(t)t(b)脉冲信号脉冲信号可表示为：可表示为：3.1.1.3斜坡信号斜坡信号 A为为常常数数，此此信信号号幅幅值值随随时时间间t作作等等速速增增长长，其其变变化速率为化速率为A，用来表示随时间渐变的输入函数。用来表示随时间渐变的输入函数。若若A等于等于1，称为单位斜坡信号，称为单位斜坡信号，斜坡输入信号可表示为斜坡输入信号可表示为(图图3-1)：r(t)t(c)斜坡信号斜坡信号3.1.1.4抛物线抛物线(加速度加速度)信号信号A为常数，此信号幅值随时间以加速度为常数
6、，此信号幅值随时间以加速度A增长。增长。最适合用作航天器控制系统的试验信号。最适合用作航天器控制系统的试验信号。若若A等于等于1，称为单位抛物线信号。，称为单位抛物线信号。抛物线输入信号可表示为抛物线输入信号可表示为(图图3-1(d)：r(t)t(d)抛物线信号抛物线信号3.1.1.5正弦信号正弦信号A为常数，表示正弦输入信号的幅值。为常数，表示正弦输入信号的幅值。该信号随时间以频率该信号随时间以频率作等幅振荡。作等幅振荡。用来描述交流电源、电磁波等周期信号。用来描述交流电源、电磁波等周期信号。正弦输入信号可表示为正弦输入信号可表示为(图图3-1(e)：r(t)t(e)正弦信号正弦信号究竟使用
7、哪种典型究竟使用哪种典型信号分析系统？信号分析系统？取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式若输入是突然的脉动若输入是突然的脉动脉冲信号脉冲信号若输入是突变的跃变若输入是突变的跃变阶跃信号阶跃信号若输入随时间逐渐变化若输入随时间逐渐变化斜坡信号斜坡信号若输入是周期信号若输入是周期信号正弦信号正弦信号3.2一阶系统的动态响应一阶系统的动态响应一阶线性系统：一阶线性系统：可用一阶线性微分方程描述的系统。可用一阶线性微分方程描述的系统。例：网络的输入电压例：网络的输入电压Ul和输出电压和输出电压U2间的动态特间的动态特性由下列一阶微分方程来描述：性由下列一
8、阶微分方程来描述：RCU1(t)U2(t)i(t)描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：T称为时间常数，表示系统的惯性大小称为时间常数，表示系统的惯性大小K表示对象的增益或放大系数表示对象的增益或放大系数传递函数是：传递函数是：(3-6)（假设（假设K1，系统的初始条件为零。）系统的初始条件为零。）3.2.1单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃单位阶跃1(t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：(3-7)把把(3-7)式代入式代入(3-6)式，式，取拉氏反变换有：取拉氏反变换有：(3-8)(3-6)由式（由式（3-8）求出）求出：一阶系统单位阶跃响应是一阶
9、系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线单调上升的指数曲线(3-8)tT时，时，y(T)1-e-10.632ty(t)0T2T3T4T5Tt5T时时,y(5T)0.993t4T时时,y(4T)0.982t3T时时,y(3T)0.95t2T时时,y(2T)0.86563.286.598.299.3B1A0.63295说明：说明：2、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的2%（或（或5）所需的时间，记为过渡时间）所需的时间，记为过渡时间（调节时间）调节时间）,记作记作ts。1、一阶系统的单位阶跃响应的、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差稳态误差是零，是零，3、对一阶系统来
10、说，是四倍（三倍）的时间常数对一阶系统来说，是四倍（三倍）的时间常数,即即ts=4T（ts=3T）。）。4、时间常数时间常数T反应一个系统的惯性，时间常数越小反应一个系统的惯性，时间常数越小,系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被称为称为一阶惯性系统。一阶惯性系统。对（对（3-8）式求导：）式求导：研究输出曲线的变化速率研究输出曲线的变化速率:(3-8)T1ty(t)0T2T3T4T5T163.286.598.299.3A0.63295斜率斜率=1/T1.一一阶阶系系统统阶阶跃跃响响应应曲曲线线的的另另一一个个重重要要特特性性是是在在t0处处切切线
11、的斜率等于线的斜率等于1/T。2.一一阶阶系系统统如如能能保保持持初初始始反反应应速速度度不不变变，则则当当tT时时，输出将达到其稳态值输出将达到其稳态值。3.实实际际上上，一一阶阶系系统统过过渡渡过过程程y(t)的的变变化化速速率率，随随着着时时间的推移，是间的推移，是单调下降单调下降的。的。ty(t)0T2T3T一阶系统单位阶跃响应的重要性质：一阶系统单位阶跃响应的重要性质：总结总结：ty(t)0T2T3T4T5TB163.286.598.299.3A0.63295斜率斜率=1/T1、经经过过一一倍倍时时间间常常数数，即即t=T时时，系系统统从从0上升到稳态值的上升到稳态值的63.2%。2
12、、在、在t0处曲线切线的斜率等于处曲线切线的斜率等于1/T。3、当当t4T时时，一一阶阶系系统统的的响响应应曲曲线线已已经经达达到稳态值（稳态误差小于到稳态值（稳态误差小于2%）。）。实验方法实验方法求取一阶系统的传递函数：求取一阶系统的传递函数：63.2T对一阶系统的单位阶跃响应曲线，对一阶系统的单位阶跃响应曲线，思考题：思考题：若系统增益若系统增益K不等于不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实，系统的稳态值应是多少？如何用实验方法从响应曲线中求取验方法从响应曲线中求取K值？值？2、从、从t0处的切线斜率求得系统的时间常数。处的切线斜率求得系统的时间常数。1、直接从达到稳态值的、直接从达到
13、稳态值的63.2%对应的时间求出一阶对应的时间求出一阶系统的时间常数；系统的时间常数；3.2.2单位斜坡响应单位斜坡响应单位斜坡函数单位斜坡函数r(t)=t的拉氏变换为：的拉氏变换为：把上式代入式把上式代入式(3-6)，(3-6)取上式的拉氏反变换，取上式的拉氏反变换，即得系统的单位斜坡响应即得系统的单位斜坡响应：它和输入参数的误差为它和输入参数的误差为r(t)=t：r(t)y(t)TTtx(t)y(t)te(t)0T2T3T4T5T63.2TA0.632T特点：特点：1、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高，
14、逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高，并与输入相平行。并与输入相平行。2、系统的稳态响应为、系统的稳态响应为y()=tT，是一个与输入斜是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。的斜坡函数。3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常数常数T并保持不变，因此并保持不变，因此T也是稳态误差。系统也是稳态误差。系统的时间常数的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差也越小。误差也越小。r(t)y(t)TTt0T2T 3T4T5T0初始斜率初始斜率1、一阶系统的脉冲响应为、一阶系统的脉冲
15、响应为一单调下降的指数曲线；一单调下降的指数曲线；2、说明系统的惯性越小（、说明系统的惯性越小（T越小），系统的响应越快。越小），系统的响应越快。3.2.3单位脉冲响应单位脉冲响应系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数注意：注意：任任何何系系统统在在单单位位脉脉冲冲输输入入信信号号作作用用下下，输输出出的的拉拉氏变换恰好为系统的传递函数。即氏变换恰好为系统的传递函数。即对上式进行拉氏反变换，即得系统的单位脉冲响对上式进行拉氏反变换，即得系统的单位脉冲响应函数应函数g(t)：实验测定系统的传递函数：实验测定系统的传递函数：常常用用单单位位脉脉冲冲信信号号
16、作作用用于于系系统统，来来测测定定系系统统的的单单位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。总结与分析：总结与分析：一阶系统对典型试验信号的响应一阶系统对典型试验信号的响应123输入信号输入信号x(t)输出响应输出响应y(t)t1(t)(t)l l线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行把系统对输入信号的响应进行微分微分求得；求得；这一结果适合这一结果适合(仅适用）所有的线性定常系统。仅适用）所有的线性定常系统。l l系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原系统对输入信号积分的响应，
17、可以通过把系统对原输入信号的响应进行输入信号的响应进行积分积分求得，而积分常数则由初求得，而积分常数则由初始条件决定。始条件决定。习题习题1：设单位反馈系统的单位阶跃响应为：设单位反馈系统的单位阶跃响应为：1、求系统的单位脉冲响应；、求系统的单位脉冲响应；2、求该系统的闭环传递函数和开环传递函数。、求该系统的闭环传递函数和开环传递函数。解：解：1、对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：2、对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：可求出系统的开环传递函数：可求出系统的开环传递函数：G0-Y(s)R(s)习习
18、题题2-6系系统统微微分分方方程程组组如如下下,试试建建立立对对应应信信号流图号流图,并求传递函数。并求传递函数。解：将原方程组取拉氏变换：解：将原方程组取拉氏变换：研究：研究：一阶系统一阶系统的特征参数的特征参数K、T对过渡过程的影响。对过渡过程的影响。00246810125101520K=20K=10K=200204060801001200.511.52T=20T=10在单位阶跃信号作用下：在单位阶跃信号作用下：T=40作业：作业：313.3二阶系统的动态响应二阶系统的动态响应3.3.1二阶线性定常系统数学模型的标准形式二阶线性定常系统数学模型的标准形式某电机调速系统（见图某电机调速系统（
19、见图3-8）的）的开环传递函数为：开环传递函数为：图图3-8电机调速系统的电机调速系统的闭环方块图闭环方块图其中，其中，T是机电时间常数，是机电时间常数，K是增益。是增益。其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：可转换为下列的微分方程：可转换为下列的微分方程：写成标准形式，写成标准形式，令：令：有：有：标准传递函数：标准传递函数：两个特征参数：两个特征参数：叫做系统的无阻尼自然频率，具有叫做系统的无阻尼自然频率，具有1/时间的因次。时间的因次。叫做阻尼系数（阻尼比），无因次。叫做阻尼系数（阻尼比），无因次。有有(3-14)求解这个二阶系统的特征方程：求解这个二阶系统的特征方程：可得它的两个特征根（
20、极点）可得它的两个特征根（极点）(3-14)01过阻尼过阻尼=0无阻尼无阻尼0阻尼系数不同时特征根在阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置平面上的位置当阻尼系数当阻尼系数取不同值时，二阶系统特征根的性质：取不同值时，二阶系统特征根的性质：（3-15）01过阻尼过阻尼3、当当2-10即即1时时，特特征征方方程程式式具具有有两两个个不不等等的的负负实实根根，即即，此此刻刻，二二阶阶系系统统的的两两个极点均位于个极点均位于s平面负实轴上平面负实轴上。=0无阻尼无阻尼4、当、当0时，特征方程式具有一对时，特征方程式具有一对共轭纯虚根共轭纯虚根，即，即，此刻，二阶系统的极点为位于，此刻，二阶系统的极点为位
21、于s平面虚轴上的一对平面虚轴上的一对共轭虚根共轭虚根。05、当当-10时时，特特征征方方程程式式的的两两个个根根为为具具有有正正实实部的共轭复根部的共轭复根，即：，即：此此刻刻，二二阶阶系系统统的的极极点点为为位位于于s平平面面右右半半部部的的一一对对共轭复根共轭复根。3.3.2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应3.3.2.101时的欠阻尼情况时的欠阻尼情况这时系统有一对共轭复根：这时系统有一对共轭复根：式中，式中，称为，称为有阻尼自然频率有阻尼自然频率。，称为，称为阻尼角阻尼角。上式可改写成上式可改写成取上式的拉氏反变换，有取上式的拉氏反变换，有因此，因此，Y(s)的拉氏反变换为：
22、的拉氏反变换为：此时，此时，y(t)的输出为的输出为衰减振荡过程衰减振荡过程。11.50.510-0.5051015(3-17)特点：特点：系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应y(t)及及其其偏偏差差信信号号e(t)均均为为衰衰减减的正弦振荡曲线。的正弦振荡曲线。其振荡频率为其振荡频率为，衰减速度取，衰减速度取决于决于n。从（从（3-18）式中还可以看出，当时间趋于无穷大）式中还可以看出，当时间趋于无穷大时，系统的偏差等于零。时，系统的偏差等于零。Y(t)e(t)图图3-9欠阻尼二阶系欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应统的单位阶跃响应1.50.510-0.5051015二阶系统的偏差信号二阶系统的偏
23、差信号e(t)是：是：(3-18)3.3.2.2=0时的无阻尼情况时的无阻尼情况系统具有一对共轭纯虚根系统具有一对共轭纯虚根将将0代入式代入式(3-17)，可得到，可得到l-cosnt由此可知，当由此可知，当阻尼比阻尼比0时，时，系统的阶跃响应将变为系统的阶跃响应将变为等幅振荡。等幅振荡。稳态时仍是等幅振荡。稳态时仍是等幅振荡。振荡频率为振荡频率为n。1211.50.5200246810频率频率n和和d具有鲜明的物理涵义具有鲜明的物理涵义:ln是无阻尼是无阻尼(即即0)时二阶系统等幅振荡过程时二阶系统等幅振荡过程的频率，因此也称为无阻尼自然频率。的频率，因此也称为无阻尼自然频率。l l显然，显
24、然，d低于低于n,且随着且随着的增大，的增大，d的值减小。的值减小。l ld是欠阻尼是欠阻尼(01）时，系统衰减振荡过时，系统衰减振荡过程的振荡频率，因此称为有阻尼自然频率。程的振荡频率，因此称为有阻尼自然频率。1211.50.52002468103.3.2.31时的临界阻尼情况时的临界阻尼情况系统具有两个相等的负实根系统具有两个相等的负实根此时，由式此时，由式(3-14)得到得到取上式的拉氏反变换，得二阶系统的过渡过程：取上式的拉氏反变换，得二阶系统的过渡过程：（3-14）q1时的过渡过程是一个无超调的单调上升过程。时的过渡过程是一个无超调的单调上升过程。3.3.2.41时的过阻尼情况时的过
25、阻尼情况系统具有两个不等的负实根系统具有两个不等的负实根若令：若令：则则Y(s)可写成：可写成：取上式的拉式反变换，得到：取上式的拉式反变换，得到：q在二阶系统的过渡过程在二阶系统的过渡过程y(t)中含有两个衰减指数项；中含有两个衰减指数项；q其代数和决不会超过稳态值其代数和决不会超过稳态值1；q二阶系统的运动状态是非振荡的二阶系统的运动状态是非振荡的。1.50.510-0.5051015=1.4=13.3.2.5-10时的负阻尼情况时的负阻尼情况同（同（3-17）式。但是为指数增长的正弦振荡。）式。但是为指数增长的正弦振荡。(3-17)在在单单位位阶阶跃跃函函数数作作用用下下，当当阻阻尼尼比
26、比不不同同时时，二二阶阶系系统统的的过过渡渡过程曲线示于图。横坐标是无因次变量过程曲线示于图。横坐标是无因次变量nt。二阶系统的标准曲线二阶系统的标准曲线(=0,0.2,0.4,0.8,1.0,1.4,2)11.50.520024681012分析：分析：在过阻尼（在过阻尼（1）的的情况下，系统的过渡情况下，系统的过渡过程最慢，即调节时过程最慢，即调节时间间ts最长。最长。Zata=1.4l l在在临临界界阻阻尼尼（1）状状态态下下，系系统统响响应应同同样样没没有有超超调调量量，其其过过渡渡过过程程同同样样具具有有单单调调上上升升的的特特性性，但但过过渡渡时时间间比比过过阻阻尼时快。尼时快。Za
27、ta=1在无阻尼（在无阻尼（0）状态状态下，系统达到稳态（等下，系统达到稳态（等幅振荡）的过渡过程时幅振荡）的过渡过程时间最短。间最短。l l在在欠欠阻阻尼尼(01)的的特特性性中中，0.40.8时时的的过过渡渡过过程程比比临临界界阻阻尼尼系系统统具具有有更更短短的的过过渡渡时时间间ts，而而且且振振荡荡也也不不严严重重。因因此此，一一般般说说来来，希希望望二二阶阶系系统统工工作作在在=0.40.8的欠阻尼状态。的欠阻尼状态。Zata=0.2Zata=0.4Zata=0.8随着阻尼系数随着阻尼系数的减小，的减小，振荡特性将表现得越加振荡特性将表现得越加强烈。以致在强烈。以致在0时出时出现等幅不
28、衰减振荡，在现等幅不衰减振荡，在负阻尼负阻尼(0)时，将会时，将会出现发散特性。出现发散特性。总结总结讨论：讨论：q随着随着减小，系统的振荡减小，系统的振荡情况如何？情况如何？q哪种情况系统达到稳态哪种情况系统达到稳态的时间最短的时间最短?哪种最长？哪种最长？q希望获得哪种过渡过程希望获得哪种过渡过程？本节总结本节总结q不同，决定特征根位置的不同，不同，决定特征根位置的不同，决定系统不同的动态特性。决定系统不同的动态特性。qq取适当的阻尼时取适当的阻尼时ts最小。系统一般设计在欠阻尼状态，最小。系统一般设计在欠阻尼状态，取取0.40.8。q实根：单位阶跃响应呈单调特性实根：单位阶跃响应呈单调特
29、性q根具有负实部（左半平面）：过渡过程稳定、收敛；根具有负实部（左半平面）：过渡过程稳定、收敛；复根：振荡特性复根：振荡特性根具有正实部（右半平面）：发散，不稳定，根具有正实部（右半平面）：发散，不稳定，根在虚轴：临界稳定状态。根在虚轴：临界稳定状态。作业：作业：3-2,R=21（t)3-4,y(0)=-13.1.2控制系统过渡过程的性能指标控制系统过渡过程的性能指标评价和设计控制系统的量化指标评价和设计控制系统的量化指标性能指标性能指标。系统希望的输出与实际输出系统希望的输出与实际输出之间误差的某个函数的积分，如：之间误差的某个函数的积分，如：平方误差积分平方误差积分指标（指标（ISE）:设
30、设常用在常用在最优系统最优系统的设计当中，求取使的设计当中，求取使J达到最小达到最小的控制作用。的控制作用。误差性能指标误差性能指标通常采用两大类的性能指标。通常采用两大类的性能指标。过渡过程的性能指标过渡过程的性能指标直接评价控制系统的直接评价控制系统的单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线（a）随动系统随动系统图图3-2单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线（b）定值系统定值系统1.50.510t以阶跃响应曲线形式表示的质量指标以阶跃响应曲线形式表示的质量指标(1)峰值时间峰值时间tp阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。tptp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。愈小
31、，表明控制系统反应愈灵敏。A(2)最大偏差最大偏差A和超调量和超调量最大偏差最大偏差A:被控输出第一个波的峰值与给定值的差，被控输出第一个波的峰值与给定值的差，如图中的如图中的A。超调量超调量y()为过渡过程的稳态值。为过渡过程的稳态值。超调量超调量（百分数表示的最大偏差）：百分数表示的最大偏差）：1.50.510tptA注意最大偏差和超调量的不同。注意最大偏差和超调量的不同。(3)衰减比衰减比n在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。如图，如图，n=A:A。ln愈大，过渡过程衰减的越快，反之，愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过愈小，
32、过渡过程的衰减程度也愈小渡过程的衰减程度也愈小;l一般操作经验希望过程有两、三个周波结束，一一般操作经验希望过程有两、三个周波结束，一般常取般常取n=4:110:1。l l当当n1时，过渡过程则为等幅振荡；时，过渡过程则为等幅振荡；0.150.050.10ttpA(4)调节时间调节时间ts阶跃响应到达稳态的时间。阶跃响应到达稳态的时间。工程上常取在被控变量进入新稳态值的土工程上常取在被控变量进入新稳态值的土5或或土土2的误差范围，并不再超出的时间。的误差范围，并不再超出的时间。ts的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts越短，系统响应越快。越短，
33、系统响应越快。1.50.510tptAts1.50.510tptA(5)上升时间上升时间tr仅仅适适用用随随动动系系统统。第第一一次次达达到到系系统统新新稳稳态态值值所所需需的时间，定义为上升时间。的时间，定义为上升时间。(6)余差或稳态误差余差或稳态误差e()过过渡渡过过程程结结束束时时稳稳态态值值与与给给定定值值之之差差，是是表表示示控控制系统精度的重要质量指标。制系统精度的重要质量指标。tr对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10上上升到升到90所需的时间。所需的时间。tse(）总结：总结：1、峰值时间、峰值时间tp和上升时间和上升时间tr反映了系统反
34、映了系统的初始快速性。的初始快速性。4、稳态误差反映了系统的调节精度。、稳态误差反映了系统的调节精度。3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系、最大偏差、超调量和衰减比反映了系统的平稳性。统的平稳性。2、调节时间、调节时间ts反映了系统的整体快速性。反映了系统的整体快速性。1.50.510tptAtrts3.3.3二阶欠阻尼系统的质量指标二阶欠阻尼系统的质量指标单位阶跃响应过程的质量指标和二阶系统的两个特单位阶跃响应过程的质量指标和二阶系统的两个特征参数征参数和和n值之间存在定量关系。值之间存在定量关系。单位阶跃响应输出为：单位阶跃响应输出为：（3-22）其中，其中，标准二阶形式的标准二阶形式的单
35、位阶跃响应单位阶跃响应过渡过程曲线如图过渡过程曲线如图3-13。ty(t)1.00Atrtpts0.02或或0.05图图3-13二阶欠阻尼系统单位阶跃响应曲线二阶欠阻尼系统单位阶跃响应曲线1.50.510tAtp得得峰峰值值时时间间tp就就是是式式(3-17)的的一一阶阶导导数数等等于于零零时时所所对应的最小时间。对应的最小时间。3.3.3.1峰值时间峰值时间tp=(3-17)方程的解为：方程的解为：（3-23）因为达到第一个峰值的时间为因为达到第一个峰值的时间为tp，m1，即即（3-24）3.3.3.2最大偏差最大偏差A和超调量和超调量%将峰值时间代入式将峰值时间代入式(3-22)中，便得到
36、第一个峰值：中，便得到第一个峰值：因为因为因此因此最大偏差最大偏差（3-22）（3-26）与超调量与超调量%的关系的关系q超调量超调量%仅为衰减系数仅为衰减系数的函数，与的函数，与n无关。无关。q越大，超调量越小。越大，超调量越小。超调量：超调量：00204060801000.20.40.60.81超调量：超调量：问题：问题：=0，1时，时，=？1.50.510tAtp3.3.3.3衰减比衰减比n由式由式(3-23)可知，第三个波峰值出现的时间是：可知，第三个波峰值出现的时间是：则第三个峰值为：则第三个峰值为：于是于是因而衰减比为：因而衰减比为：衰减比与阻尼系数衰减比与阻尼系数的关系如图所示。
37、的关系如图所示。与与超超调调量量和和衰衰减减比比的关系的关系00204060801000.20.40.60.81超调量：超调量：衰减比衰减比n(3-23)问题：问题：=0时，时，n=？2.521.50.510-0.5 0T2T3T4T3.3.3.4调节时间调节时间ts函数函数的曲线是的曲线是二阶系统过渡过程曲线的包络二阶系统过渡过程曲线的包络线，系统单位阶跃响应曲线总线，系统单位阶跃响应曲线总是包含在这一对包络线之内。是包含在这一对包络线之内。图图3-13系统过渡过程的包络线系统过渡过程的包络线调调节节时时间间定定义义为为阶阶跃跃响响应应曲曲线线进进入入最最终终稳稳态态值值土土5或或士士2误差
38、范围内所需时间，则：误差范围内所需时间，则：因此求出：因此求出：当当00.9时，可取时，可取ts的近似值：的近似值：（3-30）3.3.3.5上升时间上升时间tr由方程由方程3-22，令，令y(tr)=1,有有因此，因此，（3-31）(3-22)=01.50.510tptstAtr3.3.3.6余差余差e（）余余差差是是系系统统稳稳态态过过程程的的一一个个质质量量指指标标，由由终终值值定定理理求出。求出。归纳：归纳：（1）峰值时间）峰值时间tp、上升时间上升时间tr、调节时间调节时间ts与与和和n有关有关（2）超调量）超调量、最大偏差最大偏差a、衰减比衰减比n仅与仅与有关。有关。为什么要计算控
39、制系统的质量指标？为什么要计算控制系统的质量指标？(1)分析、评价控制系统：分析、评价控制系统：已已知知G(s)，即即特特征征参参数数、n，不不必必求求系系统统的的过过渡渡过过程程，根根据据公公式式，就就可可知知系系统统的的质质量量指指标标，对对控控制制系统做出评价和分析。系统做出评价和分析。(2)设计控制系统：设计控制系统：给给定定系系统统的的质质量量指指标标后后，根根据据以以上上公公式式，可可求求出出和和n，即确定系统参数。即确定系统参数。一般的做法是：一般的做法是：由超调量等确定由超调量等确定，而由而由ts等确定等确定n。例例3-1已已知知某某反反馈馈控控制制系系统统如如图图所所示示。当
40、当R(s)为为单单位位阶阶跃跃信信号号时时，试试决决定定结结构构参参数数K和和，使使得得系系统统的的阶阶跃跃响响应应满满足足动动态态性性能能指指标标=20%，tp=1s，并并计计算算上升时间上升时间tr和调节时间和调节时间ts。1+sR(s)Y(s)解：解：思路：思路：1、求闭环传递函数（标准形式）、求闭环传递函数（标准形式）2、根据、根据，求求3、根据根据tp，求求n。4、根据根据、n确定确定k和和。5、计算其它指标。计算其它指标。系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：1、2、根据给定条件根据给定条件利用式（利用式（3-26）和（）和（3-24），），1+sR(s)Y(s)3、(180
41、=弧度弧度)1+sR(s)Y(s)4、根据二阶系统的标准形式：根据二阶系统的标准形式：5、在上述参数下，在上述参数下，计算上升计算上升时间时间tr（式式3-31）和调节时）和调节时间间ts（式式3-30）：）：解毕。解毕。1+sR(s)Y(s)3.3.3.7非标准的二阶欠阻尼系统过渡过程性非标准的二阶欠阻尼系统过渡过程性能指标的计算能指标的计算例例3-2R(s)Y(s)纯比例调节器纯比例调节器Kc去控制一个广义传递函数去控制一个广义传递函数的系统，求单位阶跃响应过程的的系统，求单位阶跃响应过程的质量指标。质量指标。闭环传递函数闭环传递函数解：解：转换成标准二阶系统形式：转换成标准二阶系统形式：
42、即：即：结论：结论：任何线性二阶系统任何线性二阶系统(分子不含导数项）均可表分子不含导数项）均可表示为系数示为系数K与二阶标准系统连乘的形式。与二阶标准系统连乘的形式。闭环传递函数闭环传递函数当当K1或阶跃输入的幅值不为或阶跃输入的幅值不为1时，单位阶跃响应输时，单位阶跃响应输出的质量指标如何计算？出的质量指标如何计算？任何线性二阶系统均可表示为以下传递函数：任何线性二阶系统均可表示为以下传递函数：当输入为阶跃函数当输入为阶跃函数R(s)=C/s，即幅值为即幅值为C 的阶跃信的阶跃信号时，输出等于：号时，输出等于：对上式求拉氏反变换，得到输出的对上式求拉氏反变换，得到输出的时域表达式时域表达式
43、：当当t时，系统的稳态输出为：时，系统的稳态输出为：从上式可知，此时系统阶跃响应的输出被成比例放从上式可知，此时系统阶跃响应的输出被成比例放大大CK倍，包括稳态值，阶跃信号的幅值倍，包括稳态值，阶跃信号的幅值C与系统增与系统增益益K对系统输出有相同的影响。对系统输出有相同的影响。因此，以下暂设因此，以下暂设C1，分析二阶系统的过渡过程和分析二阶系统的过渡过程和相应的性能指标相应的性能指标由图可知由图可知：l l时间指标时间指标不变不变被标准二阶系统的特征参被标准二阶系统的特征参数数唯一决定。唯一决定。l l反映绝对误差的最大偏差反映绝对误差的最大偏差A数值不同，成比例放大。数值不同，成比例放大
44、。2.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5tr tptsl l相对指标相对指标和和n不变不变对标准二阶系统，幅值不是对标准二阶系统，幅值不是1（非单位）的阶跃信（非单位）的阶跃信号的质量指标号的质量指标？结论：结论：阶跃信号阶跃信号R对输出的作用与增益对输出的作用与增益K相同，使阶跃相同，使阶跃响应输出成比例响应输出成比例R放大。放大。线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性因此：因此：因此：因此：最大偏差最大偏差A数值不同，亦成比例数值不同，亦成比例R放大放大。质量指标中质量指标中没有变化，符合原公式。没有变化，符合原
45、公式。解：解：利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的求解求解原理原理，求解质量指标。，求解质量指标。（第一个满足要求的时间解）（第一个满足要求的时间解）作业作业3-3-6已知非二阶系统的阶跃响应已知非二阶系统的阶跃响应y(t)，求过渡过程的求过渡过程的质量指标。质量指标。例题例题系统结构图如下：系统结构图如下：(1)已知已知的单位阶跃响应为的单位阶跃响应为，求，求。(2)当当时，求：时，求：系统的稳态输出；系统的稳态输出；系系统统的的峰峰值值时时间间tp,超超调调量量%,调调节节时时间间ts，粗粗略略绘绘出出系统单位阶跃响应曲线；系统单位阶跃响应曲线；稳态
46、误差稳态误差。解：解：例题例题（1）2种方法：种方法：1、求得求得2、求单位脉冲响应：、求单位脉冲响应：(1)已知已知的单位阶跃响应为的单位阶跃响应为，求，求。（2）解：解：例题例题1、系统的闭环传递函数、系统的闭环传递函数利用终值定理求系统的稳态输出。利用终值定理求系统的稳态输出。2、由、由求出求出由公式：由公式：系统的稳态输出系统的稳态输出粗略绘出系统单位阶跃响应曲线如图：粗略绘出系统单位阶跃响应曲线如图：解：解：例题例题ty(t)1.111.291.213、求稳态误差、求稳态误差（2）3.4高阶系统的动态响应高阶系统的动态响应两种处理方法：两种处理方法：1、通通过过因因式式分分解解，把把
47、高高阶阶系系统统分分解解为为若若干干个个低低阶阶系系统统的的组组合合，其其过过渡渡过过程程是是各各部部分分曲线的叠加（线性叠加原理）；曲线的叠加（线性叠加原理）；2、通通过过降降阶阶，把把高高阶阶系系统统近近似似表表示示为为低低阶阶（一、二阶加纯滞后）系统。（一、二阶加纯滞后）系统。3.4.1高阶系统的解析分析高阶系统的解析分析例例3-3某三阶系统的闭环传递函数为：某三阶系统的闭环传递函数为：写成零极点的形式：写成零极点的形式：它包含一个它包含一个闭环实数根闭环实数根s1=3和一对和一对共轭复根共轭复根s2、3=1j，还有两个还有两个闭环零点闭环零点z1=1,z2=2。(3-33)在单位阶跃信
48、号作用下，其输出可表示为：在单位阶跃信号作用下，其输出可表示为：写成部分分式的形式：写成部分分式的形式：其中，其中，a是输出是输出Y(s)在输入函数极点处的在输入函数极点处的留数留数，值，值等于传递函数（式（等于传递函数（式（3-33）中分子与分母常数项）中分子与分母常数项的比值，的比值，有：有：(3-33)依上式可求出依上式可求出:bi(i=1,2,3)是是输输出出Y(s)在在各各闭闭环环极极点点处处的的留留数数，可根据复变函数中的留数定理求出：可根据复变函数中的留数定理求出：代入代入Y(s)的表达式：的表达式：0.3 0.13把上式后两项合并，即把复数极点用它的实部和虚把上式后两项合并，即
49、把复数极点用它的实部和虚部表示，得到：部表示，得到：对上式取对上式取拉氏反变换拉氏反变换，得到系统的，得到系统的单位阶跃响应单位阶跃响应：观察上式，我们注意到：观察上式，我们注意到：(1)这个三阶系统的单位阶跃响应是由它的实数极这个三阶系统的单位阶跃响应是由它的实数极点和复数极点以及输入函数的极点构成的响应分量点和复数极点以及输入函数的极点构成的响应分量叠加而成，即包括一些一阶系统和二阶系统的响应叠加而成，即包括一些一阶系统和二阶系统的响应函数。函数。(2)当时间趋于无穷大时，其中的指数项均衰减为当时间趋于无穷大时，其中的指数项均衰减为零，输出的稳态值等于输入函数极点处的留数零，输出的稳态值等
50、于输入函数极点处的留数a，即即闭环传递函数中分子与分母常数项的比值。闭环传递函数中分子与分母常数项的比值。(4)闭环零点决定输出响应的形状。输出函数各部分闭环零点决定输出响应的形状。输出函数各部分系数（各极点的留数）的符号和大小与闭环零点密系数（各极点的留数）的符号和大小与闭环零点密切相关。切相关。(3)输出响应的形式由闭环极点的形式决定。实数极输出响应的形式由闭环极点的形式决定。实数极点产生单调变化的指数分量，复数极点产生阻尼正点产生单调变化的指数分量，复数极点产生阻尼正弦曲线的分量。弦曲线的分量。控制系统的一般控制系统的一般闭环传递函数闭环传递函数为：为：n阶阶系系统统，分分母母多多项项式