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1、定积分第一节 定积分的概念与性质abxyoA?曲曲边边梯形由梯形由连续连续曲曲线线 y f(x)(f(x)0)、x轴轴与两条直与两条直线线x a、x b所所围围成成.实实例例1 1 （求曲（求曲边边梯梯形形的面的面积积）一、问题的提出y f(x)abxyxoabyo用矩形面用矩形面积积近近似似取取代代曲曲边边梯梯形形面面积积显显然，小矩形然，小矩形越越多多，矩矩形形总总面面积积越越接接近近 曲曲边边梯形面梯形面积积（四（四个小矩形）个小矩形）（九（九个小矩形）个小矩形）曲曲边边梯形如梯形如图图所所示示，在在区区间间a,b内内插插入若入若干干 个个分分点点，a x0 x1 x2 xn 1 xn
2、b,oaxi 1 i xixn 1 bxyx1把把区区间间a,b 分分成成 n 个个小小区区间间 xi 1,xi，长长度度为为 xi xi xi 1;在每个小区在每个小区间间 xi 1,xi 上任取一上任取一点点 ，i以以 xi 1,xi 为为底底，f(i)为为高的高的小小矩形矩形面面积为积为Ai f(i)xinA f(i)xii 1当分割无限加细,记小区间的最大长度 或者(x)x maxx1,x2,xn 趋近于零(x 0或者 0)时，曲曲边边梯形面梯形面积积的的近近似似值值为为曲曲边边梯形面梯形面积积为为 A lim f(i)xin 0 i 1实实例例2 2 （求（求变变速直速直线线运运动动
3、的的路路程）程）设设某物体作直某物体作直线线运运动动，已知已知速速度度v v(t)是是时间间时间间隔隔 T1,T2 上上 t 的一个的一个连续连续函数，函数，且且 v(t)0，求物体在，求物体在这这段段时间时间内所内所经过经过的路程的路程思思路路：把把整整段段时时间间分分割割成成若若干干小小段段，每每小小段段上上 速速度度看看作作不不变变，求求出出各各小小段段的的路路程程再再相相加加，便便 得得到到路路程程的的近近似似值值，最最后后通通过过对对时时间间的的无无限限细细 分分过过程求得路程求得路程程的的精精确确值值（1）分割）分割T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 ti ti ti 1
4、 si v(i)ti部分路程部分路程值值某某时时刻的速度刻的速度（2）求和）求和ns v(i)tii 1 max t1,t2,tn（3）取极限）取极限s lim v(i)tin 0 i 1路程的精确路程的精确值值定定义义 设设函函数数 f(x)在在a,b上有上有界界，在在a,b中中任任意意插插入入记记 x maxx1,x2,xn，如如果果不不论论对对a,b若干若干个个分分点点a x x x x x b012n 1n把区把区间间a,b分分成成n个个小小区区间间，各小各小区区间间的的长长度度依依次次为为 xi xi xi 1，(i 1,2,)，在各在各小小区区间间上上任任取取一一点点 i（i xi
5、），作乘作乘积积 f(i)xin并作并作和和S f(i)xi，i 1(i 1,2,)二、定积分的定义怎怎样样的的分分法法，也不也不论论在在小小区区间间 xi 1,xi 上上 a积积分下限分下限f(x)dx I lim f(i)xibn 0 i 1被被 积积 函函 数数被被 积积 表表 达达 式式积积 分分 变变 量量a,b 积积分分区区间间点点 i 怎怎样样的的取取法法，只要只要当当 x 0 时时，和和S 总总趋趋于于确定确定的的极极限限I，我我们们称称这这个极个极限限 I 为为函函数数 f(x)在区在区间间a,b上上的的定定积积分分，记为记为积积分上限分上限积积分和分和注意：注意：（1）积积
6、分分值仅值仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有关有关，而与而与积积分分变变量的字量的字母母无无关关.abbf(x)dx af(t)dt af(u)dub（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当函当函数数 f(x)在区在区间间a,b上的定上的定积积分存分存在在时时，称称 f(x)在区在区间间a,b上上可可积积.当当函函数数 f(x)在在区区间间a,b上上连续连续时时，称称 f(x)在在区区间间a,b上可上可积积.定理定理1 1定理定理2 2设设函函数数 f(x)在区在区间间a,b 上有上有界界，且 只 有 有 限 个且 只 有 有 限 个
7、 第 一第 一 类类 的的 间间 断 点，断 点，则则 f(x)在在区区间间a,b上可上可积积.三、存在定理f(x)0,af(x)dx Ab曲曲边边梯形的面梯形的面积积f(x)0,af(x)dx A曲曲边边梯形的面梯形的面积积的的负值负值bA1A2A3A4A4A2 A3f(x)dx A1b a四、定积分的几何意义几何几何意意义义：它它是是介介于于 x 轴轴、函、函数数 f(x)的的图图形形及及两两条条 直直线线 x a,x b 之之间间的的各各部分部分面面积积的的代代数数和和 在在 x 轴轴上上方方的的面面积积取取正号正号；在在 x 轴轴下下方方的的面面 积积取取负负号号 例例1 1 利用定利
8、用定义计义计算定算定积积分分x dx.102 解解 将将0,1n等等分分，分分点点为为x i，(i 1,2,n)ni小区小区间间 xi 1,xi 的的长长度度 xi取取 i xi，(i 1,2,n)，(i 1,2,n)n1n f(i)xii 1 i xii 1n2x x,i 12 i in ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1 n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n x dx 102 xiin 0 i 1 lim 2 n lim 1 1 1 2 1 1.n n 6 3五、定积分 的性质证证 a f(x)g(x)dxnb lim f(i)g
9、(i)xi 0 i 1 lim f(i)xi lim g(i)xinn 0 i 1 0 i 1 af(x)dx a g(x)dx.（此性（此性质质可以可以推推广广到到有有限限多多个个函函数数作作和和的的情情况况）bbbbb性性质质1 1 a f(x)g(x)dx af(x)dx a g(x)dx.a kf(x)dx k af(x)dxk(bb为为常常数数).证证 a kf(x)dx lim kf(i)xibn 0 i 1 lim k f(i)xinni 1 0 k lim f(i)xi 0 i 1 k af(x)dx.b性性质质2 2 abcbf(x)dx af(x)dx cf(x)dx.补补
10、充充：不：不论论 a,b,c的相的相对对位置如位置如何何,上式上式总总成成立立.例例 若若 a则则a b c,cf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcb abf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcccb af(x)dx cf(x)dx.（定（定积积分分对对于于积积分分区区间间具具有有可可加加性）性）性性质质3 3假假设设a c b性性质质4 4 1 dx badx b a.b a则则 af(x)dx 0.b(a b)证证 f(x)0,f(i)0,(i 1,2,n)xi 0,n f(i)xi 0,i 1 max x1,x2,xn i in 0 i 1f()x lim f(x)
11、dx 0.ba性性质质5 5如果如果在在区区间间a,b上上 f(x)0，例例 1 1比比较积较积分分值值 e dx 和和x 20 xdx 的大的大小小.20解解令令 f(x)ex x,x 2,0 f(x)0,(ex x)dx 0,0 2 e dx x 20 xdx,0 2 于于是是 e dx x 20 xdx.20 可以可以直接作直接作出出答案答案性性质质5 5的的推推论论：（1）如果在区如果在区间间a,b上上 f(x)g(x)，证证 f(x)g(x),g(x)f(x)0,a g(x)f(x)dx 0,a g(x)dx af(x)dx 0,bbb于是于是f(x)dx bb ag(x)dx.a则
12、则f(x)dx g(x)dx.(a b)bb a af(x)dx f(x)dx.(a b)b a ab证证 f(x)f(x)f(x),f(x)dx,f(x)dx f(x)dx b abb a a 即即f(x)dx f(x)dx.b a ab说说明明：|f(x)|在区在区间间a,b上上的的可可积积性是性是显显然然的的.性性质质5 5的的推推论论：（2）设设M 及及m分分别别是函数是函数证证a m f(x)M,a mdx af(x)dx a Mdx,bbbm(b a)f(x)dx M(b a).ba（此性（此性质质可用可用于于估估计计积积分分值值的的大大致致范范围围）曲曲边边梯形的面梯形的面积积
13、夹夹在两在两个矩形之个矩形之间间则则m(b a)f(x)dx M(b a).bf(x)在区在区间间a,b上的最大上的最大值值及最小及最小值值，性性质质6 6解解f(x),sin xxx2x2f(x)x cos x sin x cos x(x tan x)0 x,42 f(x)在在,上上单单调调下下降降,4 2 故故 x 为为极极大点大点，x 为为极极小小点点,42例例2 不不计计算定算定积积分分 估估计计 的大小的大小dxx sin x 242424M f()2 2,m f()2,42 b a ,244 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2.x 2x证证性性质质7 7（T
14、h5.Th5.1 1 定定积积分第一中分第一中值值定理）定理）如果函如果函数数 f(x)在在闭闭区区间间a,b上上连续连续，则则在在积积分区分区间间a,b上至少存在一上至少存在一个个点点 ，f(x)dx Mb a m ba1 m(b a)f(x)dx M(b a)ba由由闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的介介值值定定理理知知使使 af(x)dx f()(b a).(a b)积积分中分中值值公式公式b在区在区间间a,b上至少存在一个上至少存在一个点点 ，使使f(x)dx,1 f()b abaf(x)dx f()(b a).b a(a b)积积分中分中值值公式公式的的几几何何解解释释：在区在区间
15、间a,b上至少存在一上至少存在一xoab 个个点点 ，使得以区使得以区间间a,b为为即即yf()以曲以曲线线 y f(x)底底边边，为为曲曲边边的曲的曲边边梯梯形形的面的面积积 等于同一底等于同一底边边而而高高为为 f()的一个矩形的面的一个矩形的面积积。ThTh5.25.2(推推广广的的积积分分第第一一中中值值定定理）理）如果函如果函数数 f(x),g(x)在在闭闭区区间间a,b上上连续连续，且且 g(x)在在闭闭区区间间a,b上可上可积积且不且不变变号号,则则在在积积分区分区间间a,b上至少存在一个上至少存在一个点点 ，使使f(x)g(x)dx f()g(x)dx当g(x)1时,即为Th5
16、.1bbaa六、积分上限函数及其导数设设函函数数 f(x)在在区区间间a,b上上连连续续，并且并且设设x 为为a,b上的一点上的一点，考察定考察定积积分分 ax xf(x)dx af(t)dt记记 (x)af(t)dt.x积积分上限函数分上限函数如如果上果上限限x 在区在区间间a,b上任意上任意变动变动，则则对对于于 每一个取定每一个取定的的x 值值，定，定积积分有一分有一个个对应对应值值，所以，所以 它它在在a,b上定上定义义了一了一个个函数函数，ax xbxyf(t)dto定理定理 如如果果 f(x)在在a,b上上连续连续，则积则积分上限分上限的的函函数数(x)f(t)dt 在在a,b上具
17、上具有有导导数，且它的数，且它的导导x a数是数是f(t)dt f(x)(a x b)(x)dx d xa 证证 (x x)x x a (x x)(x)af(t)dt af(t)dtx x x(x)x(x)af(t)dt.xx x xbf(t)dtf(t)dt f(t)dt x ax x xx a xf(t)dt,x x由由积积分中分中值值定定理得理得 f()x x 0,x f(),xlim lim f()x0 x0 x (x)f(x).o x,x x,axy(x)计计算算下列下列导导数数t 2etttcosxxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)补补充充如如
18、果果 f(t)连续连续，a(x)、b(x)可可导导，则则F(x)f(t)dt 的的导导数数F (x)为为b(x)a(x)证证F(x)f(t)dt a(x)b(x)0 0 f(t)dt 0b(x)0f(t)dt,a(x)F (x)f b(x)b(x)f a(x)a(x)f(t)dt f b(x)b(x)f a(x)a(x)F (x)dxb(x)a(x)d例例1 1求求 limx0.21cos x2xedt t 解解 e t d 1cos x2dt dxdt,cos xt 21 e dx d(cos x)cos2 x e,sin x e cos2 xx21cos xlimx02dte t 2x2s
19、in x e cosx limx0.1 2e 00分析：分析：这这是是型不定式，型不定式，应应用洛用洛必必达达法法则则.定理定理2 2（原（原函函数数存存在在定定理理）如如果果 f(x)在在a,b上上连连续续，则积则积分分上上限限的函的函数数(x)原函数原函数.f(t)dt 就就是是 f(x)在在a,b上的一个上的一个x a定理的重要意定理的重要意义义：（1）肯定了）肯定了连连续续函函数数的的原原函函数数是是存存在在的的.（2）初步揭示）初步揭示了了积积分分学学中中的的定定积积分分与与原原函函数之数之间间的的联联系系.定定理理 3 3（微（微积积分基本分基本公公式式）如如果果F(x)是是连续连
20、续函函数数 f(x)在区在区间间a,b上上b的一个原函数，的一个原函数，则则 f(x)dx F(b)F(a).a又又(x)f(t)dt 也也是是 f(x)的一个原函的一个原函数数,x a已已知知F(x)是是 f(x)的一个原函数，的一个原函数，F(x)(x)Cx a,b证证七 牛顿莱布尼茨公式令令x aF(a)(a)C,(a)af(t)dt 0aF(a)C,f(t)dt F(x)F(a),xa F(x)f(t)dt C,xa令令 x b f(x)dx F(b)F(a).ba牛牛顿顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式f(x)dx F(b)F(a)F(x)ba 微微积积分基本公分基本公式式表表明：明：一个一
21、个连续连续函数在区函数在区间间a,b上的定上的定积积分等于分等于 它的任意一个原它的任意一个原函函数在区数在区间间a,b上的增上的增量量.求定求定积积分分问题问题转转化化为为求求原原函函数数的的问问题题.b a注意注意当当a b时时，f(x)dx F(b)F(a)仍仍成成立立.ba例例4 4求求 2(2cos x sin x 1)dx.0 原式原式 20 2sin x cos x x 3 .2f(x)dx.例例5 5设设 f(x),求求 2 x0 x 1 51 x 220解解解解12f(x)dx 0f(x)dx 1f(x)dx 02在在1,2上上规规定定当当 x 1时时，f(x)5,原原式式
22、0 2 xdx 1512dx 6.xyo12例例6 6求求 maxx,x2 dx.2 2解解由由图图形可知形可知f(x)maxx,x2 x2 2 x 0 x0 x 1,1 x 2 2 xdx 0 xdx 1x dx 原原式式 0 x2 2122.2 112xyoy x2y x1 2设 f(x)Ca,b,且 F(x)f(x),则有1.微积分基本公式a f(x)d x f()(b a)F()(b a)F(b)F(a)b积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式定定理理假假设设（1 1）f(x)在在a,b上上连续连续；（2 2）函函数数 x (t)在在 ,上上是是单单值值的的且且有有连连续续 导导数
23、；数；（3 3）当当t 在区在区间间 ,上上变变化化时时，x (t)的的值值 在在a,b上上变变化化，且且 ()a、()b，则则 有有f (t)(t)dt.f(x)dx b a 八、换元公式证证设设F(x)是是 f(x)的一的一个个原原函函数数，f(x)dx F(b)F(a),ba(t)F(t),(t)dF dx f(x)(t)f (t)(t),dxdt(t)是是 f (t)(t)的一个原函的一个原函数数.f (t)(t)dt ()(),()a、()b,()()F ()F ()F(b)F(a),f(x)dx F(b)F(a)()()ba f (t)(t)dt.注注意意当当 时时，换换元公式仍成
24、元公式仍成立立.应应用用换换元公元公式式时应时应注注意意:（1）用用 x (t)把把变变量量 x换换成新成新变变量量t 时时，积积分限也分限也 相相应应的改的改变变.（2）求求出出 f (t)(t)的一个原函的一个原函数数(t)后，不后，不 必象必象计计算不定算不定积积分那分那样样再要再要把把(t)变换变换成原成原 变变量量 x的函数，而只要把新的函数，而只要把新变变量量t 的上、下的上、下 限分限分别别代代入入(t)然后相减就行然后相减就行了了.2cos5 x sin xdx.0例例1 1计计算算.x ln xe 43edx例例2 2计计算算例例1 1计计算算cos5 x sin xdx.2
25、0 2225cos5 xd(cos x)00cos6 x0cos x sin xdx (0 1)1.666 解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。3 1)42 2(2 ln xln xd ln xx ln xe 4e 4ee dx 例例2 2 计计算算 解解原式原式3e 4e33.x ln xe 43edx例例3 3 计计算算 3解解2xdx三角代换和根式代换例例4 4计计算算解解12x1 x122dx.1令令 x sin t,x 1 t ,2x 12 t 6dx cos tdt,原式原式2226sin2 t cos tsin2 t66 cos t dt
26、dt cot t(cot cot )(0 3)3 2 6 明显换元例例 5 5 当当 f(x)在在 a,a上上连连续续，且有，且有 f(x)为为偶函数偶函数，则则 af(x)dx 2 0f(x)dx；aa f(x)为为奇函奇函数，数，则则 af(x)dx 0.a证证f(x)dx f(x)dx f(x)dx,0a0a a a在在 a0f(x)dx 中中令令x t,af(x)dx af(t)dt 0f(t)dt,00a f(x)为为偶偶函函数数，则则f(t)f(t),af(x)dx 0f(x)dxf(t)dt;f(x)dx aa 0a 2 0a f(x)为为奇奇函函数数，则则 f(t)f(t),a
27、f(x)dx af(x)dx 0f(x)dx 0.a 0a在在 a0f(x)dx 中中令令x t,奇函数奇函数例例6 6计计算算解解2 x x cos x dx.1 1 x21 12原原式式 11 1 x2122 xdx 11 1 x21x cos x dx偶函数偶函数 4 0dx1 1 x2 4 0(1 12 x 01 (1 x2)41x (1 1 x )dx221 x)dx 4 412 1 x dx102 4 .单单位位圆圆的的面面积积总结总结：1、定、定积积分公分公式式2、定、定积积分分计计算方法算方法（直直接接代入，代入，凑凑微微分分，根式根式代代换换，三角代，三角代换换）3、根、根式
28、和式和三三角代角代换为换为明明显显的代的代换换，所，所以以换换 元要元要换换上下限上下限4、介介绍绍了了积积分上限分上限函函数数5、积积分上分上限限函数是原函数函数是原函数6、计计算上算上限限函数的函数的导导数数例例 7 7若若 f(x)在在0,1上上连续连续，证证明明（1）f(sin x)dx f(cos x)dx;2200（2）0 xf(sin x)dx f(sin x)dx.20 由此由此计计算算 0 1 cos2 x x sin x dx.证证（1）设设 x t2 dx dt,x 0 t ,2x t 0,2 20f(sin x)dx f sin t dt 022 2 0f(cos t)
29、dt f(cos x)dx;20 x t2（2）x t dx dt,x 0 t ,x t 0,0 xf(sin x)dx (t)f sin(t)dt 0(t)f(sin t)dt,0 由此由此计计算算 0 1 cos2 x2 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx x sin x dx设设xf(sin x)dx 0 f(sin t)dt 0 tf(sin t)dt 0f(sin x)dx 0 xf(sin x)dx,f(sin x)dx.2 0 xf(sin x)dx 0 0 1 cos2 x x sin x dx sin x 2 0 1 cos2 x dx2 0 1 cos2
30、x 1 d(cos x)arctan(cos x)02.4 2)(244 0 avdu.定定积积分的分部分的分部积积分分公式公式九、分部积分公式设设函函数数u(x)、v(x)在区在区间间 a,b 上具有上具有连连续续导导数，数，则则有有 udv uvb abb a推推导导 uv u v uv,(uv)dx uv ,baba u vdx uv dx,baabb auv udv uv vdu.bababa例例计计算算解解ln xdx.1e例例2 2计计算算arcsin xdx.120 解解令令u arcsin x,dv dx,du dx,1 x2v x,120arcsin xdx x arcsin
31、 x 120 xdx 1 x2 120 2 61 1 d(1 x2)1 x120212 1 x 12 1202 1.122 3则则例例3 3计计算算解解xe dxx10例例4 4 计计算算 x cos xdx10例例5 5计计算算解解1edxx2ln x一、无穷限的广义积分定定义义 1 1设设函函数数 f(x)在区在区间间a,)上上连连续续，取取b a，如果，如果极极限限 lim bb af(x)dx 存存在在，则则称此称此极极限限为为函函数数 f(x)在无在无穷穷区区间间a,)上上的广的广义义积积分，分，记记作作 a f(x)dx.a f(x)dx lim bb af(x)dx当极限存在当极
32、限存在时时，称广，称广义积义积分分收收敛敛；当极限不存在；当极限不存在 时时，称广，称广义积义积分分发发散散.第四节 广义积分类类似地，似地，设设函函数数 f(x)在区在区间间(,b 上上连连续续，取取a b，如果极，如果极限限 lim abaf(x)dx 存在，存在，则则称此极称此极限限为为函函数数 f(x)在在无无穷穷区区间间(,b 上上的广的广义义积积 分，分，记记作作 f(x)dx.b bf(x)dx limab af(x)dx当极限存在当极限存在时时，称广，称广义积义积分收分收敛敛；当极限不存在；当极限不存在 时时，称广，称广义积义积分分发发散散.设设函函数数 f(x)在在区区间间(
33、,)上上连连续续,如果如果0 广广义积义积分分 f(x)dx 和和 0f(x)dx 都都收收敛敛，则则称称上上述两广述两广义积义积分之和分之和为为函函数数 f(x)在无在无穷穷区区间间(,)上的广上的广义积义积分，分，记记作作 f(x)dx.0 f(x)dx f(x)dx 0f(x)dx a b lim0af(x)dx lim b0f(x)dx极限存在称广极限存在称广义积义积分收分收敛敛；否否则则称广称广义积义积分分发发散散.例例1 1 计计算广算广义积义积分分解解 1 sin 1 dx.22 x x 2 1 sin 1 dx x x2 2sind x 1 1x x 2 cos 1 cos 0
34、 0 12 lim cos 1 cosxx lim F(x)F(a)x F()F(a)f(x)dx F(x)aa简记为例例1 1 计计算广算广义积义积分分 .1 x2 dx解解 1 x2 dx 1 x20dx 0 1 x2dx 1 x0 1 limdx lima2a 0 1 x2bb 1 dx arctan x 0 limaa b arctan x b0lim lim arctana lim arctanb a b .2 2 例例 3 3 证证明广明广义义积积分分 1 1dx 当当 p 1时时收收敛敛，x p当当 p 1时时发发散散.证证(1)p 1,1 1 dx x p 1 1dx ln x
35、 x 1 ,p 1(2)p 1,1 1 dx xp 1 p 1 x 1 1 p,p 1 p 1 因此因此当当 p 1时时广广义积义积分收分收敛敛，其，其值值为为 1；p 1当当 p 1时时广广义积义积分分发发散散.o,i iJy$y()dbbo+cb/(z)dz,y(d.:i a.aJ(z)dz-J-J(z)dz Ac r BU X if.4ST J1.i*J1 I;-,;y,pJb/(,)dp2 z 4z 1 11 211 f=o i l y r-s jk.r yG>*fJ 5.7pa l e*dx(o0)t i 5.8e 2z1回回顾顾曲曲边边梯形求面梯形求面积积的的问题问题A af(
36、x)dxb第五节、定积分应用曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线 y f(x)(f(x)0)、x 轴轴与与两两条条直直线线 x a、x b所所围围成成。abxyoy f(x)1、几何上的应用面积ax x dxb xyoy f(x)A lim f(i)xi n 0 i 1 abf(x)dx a f(x)dx.bdA面面积积元元 素素一一、平面、平面图图形的面形的面积积1.直角直角坐坐标标情情形形设曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A,则dA f(x)dxA f(x)dxbaOaxbxyy f(x)x dxyby f2(x)xay f1(x)Oxx d x f(x)f(x)d
37、xA 右图所示图形，面积元素为dA f1(x)f2(x)dxba12xyoy f(x)axx xbxyoy f1(x)y f(x)2ab曲曲边边梯形的面梯形的面积积A abf(x)dx曲曲边边梯形的面梯形的面积积A a f2(x)f1(x)dxbx xf1(x)f2(x)dxA baybxa x x d xy f2(x)y f1(x)Oc f(x)f(x)dxca12 f(x)f(x)dxbc21A (y)(y)dydcy d yyOx (y)xy d x (y)cdA|f1(x)f2(x)|dx有时也会选 y 为积分变量dA|(y)(y)|dy例例 1 1 计计算由两条抛物算由两条抛物线线
38、y2 x 和和y x2 所所围围成成的的 图图形的面形的面积积.解解（1）作）作图图（2）求出两曲）求出两曲线线的的交点交点(0,0)(1,1)（3）选选 x 为积为积分分变变量量x 0,1A (x x2)dx 101x3 3 0 3 223 x .13 y x2x y2（4）代公式代公式 A a f2(x)f1(x)dxb例例 2 2计计算算由由曲曲线线 y2 2x和和直直线线 y x 4所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲两曲线线的交点的交点 y2 2 x y x 4(2,2),(8,4).选选 y 为积为积分分变变量量 y 2,4dA y 4 y dy2 2 A dA 18.4
39、 2 y2 2xy x 4解解题题步步骤骤：(1)画出草图；(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。Ox x d x ayb例例3.求椭圆解解:利用对称性,有 d A y dx所围图形的面积.A 40y d x 4b0a利用椭圆的参数方程x a cos t(0 t 2)y b sin t应用定积分换元法得 4ab 202sin t dt 4ab 2 2 ab1 当 a=b 时得圆面积公式x1 aaxd x2二二、立体、立体体体积积V A(x)d xbabxax1.已知已知平行截平行截面面面面积积函函数数的的立立体体体体积积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),上连
40、续,则对应于小区间dV A(x)d x因此所求立体体积为的体积元素为A(x)(R x R)V 202(R x)tan d xR 122 2 tan R2 x 1 x3 R30例例1.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.x2 y2 R2垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为A(x)1(R2 x2)tan2利用对称性O x R(R2 x2)xy(R2 x2 tan )ORx(x R2 y2)(x,y)yR思考思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?A(y)2x y
41、tan 2 tan yV 2 tan 0 y提示提示:R2 y2RR2 y2 dy(y tan )旋旋转转体体就就是是由由一一个个平平面面图图形形绕绕这这平平面面内内 一一条条直直线线旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体这这直直线线叫叫做做 旋旋转轴转轴圆圆柱柱圆锥圆锥圆圆台台旋转体的体积Oxyd x (y)2 f(x)dxV ba当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2(y)dyV d cyc yabxxyabOy f(x)2.旋旋转转体的体体的体积积当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有x一般一般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线 y f(x)、直直
42、线线 x a、x b 及及x 轴轴所所围围成的成的曲曲边边梯梯形形绕绕 x 轴轴旋旋转转一一周周而而成成的立的立体体，体体积为积为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，x a,bxx dxxyo旋旋转转体的体体的体积为积为 f(x)dxV ba2 y f(x)类类似似 地地，如如果果 旋旋 转转体体 是是由由 连连 续续曲曲 线线x (y)、直直线线 y c、y d 及及y 轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕 y 轴轴旋旋转转一周而成的立体，一周而成的立体，体体积为积为xoydx (y)c (y)dy2 V dcY 轴X 轴ca xby f(x)y g(x)V a f(x)g(x)dx22bf(x)g(x)0(y)(y)22dyV d(y)(x)0X 轴Y 轴x (y)x (y)cdxa xyb例例1.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:利用直角坐标方程则 2 b a(a2 x2)dxa2 0V 20 y dx2(利用对称性)0 2 b a2 x 1 x3 a2 23a 4 ab23Oa2例例 计计算算由由两条两条抛抛物物线线 y2 x和和 y x 2所所围围成成的的 图图形形的的围绕围绕轴轴的的旋旋转转体体的的体体积积.解解x y2y x21(x)2 (x2)2)dx0 xV