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1、定积分第一节 定积分的概念与性质abxyoA?曲曲边边梯形由梯形由连续连续曲曲线线 y f(x)(f(x)0)、x轴轴与两条直与两条直线线x a、x b所所围围成成.实实例例1 1（求曲（求曲边边梯形的面梯形的面积积）一、问题的提出y f(x)abxyxoabyo用矩形面用矩形面积积近似取代曲近似取代曲边边梯形面梯形面积积显显然，小矩形越多，矩形然，小矩形越多，矩形总总面面积积越接近越接近 曲曲边边梯形面梯形面积积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲曲边边梯形如梯形如图图所示，所示，在区在区间间a,b内插入若干内插入若干 个分点，个分点，a x0 x1 x2 xn 1 x
2、n b,oaxi 1 i xixn 1 bxyx1把区把区间间a,b 分成分成 n 个个小区小区间间 xi 1,xi，长长度度为为 xi xi xi 1;在每个小区在每个小区间间 xi 1,xi 上任取一点上任取一点 ，i以以 xi 1,xi 为为底，底，f(i)为为高的小矩形面高的小矩形面积为积为Ai f(i)xinA f(i)xii 1当分割无限加细,记小区间的最大长度 或者(x)x maxx1,x2,xn 趋近于零(x 0或者 0)时，曲曲边边梯形面梯形面积积的近似的近似值为值为曲曲边边梯形面梯形面积为积为 A lim f(i)xin 0 i 1实实例例2 2（求（求变变速直速直线线运运
3、动动的路程）的路程）设设某物体作直某物体作直线线运运动动，已知速度，已知速度v v(t)是是时时间间间间隔隔 T1,T2 上上 t 的的一一个个连连续续函函数数，且且 v(t)0，求物体在，求物体在这这段段时间时间内所内所经过经过的路的路程程思思路路：把把整整段段时时间间分分割割成成若若干干小小段段，每每小小段段上上 速速度度看看作作不不变变，求求出出各各小小段段的的路路程程再再相相加加，便便 得得到到路路程程的的近近似似值值，最最后后通通过过对对时时间间的的无无限限细细 分分过过程求得路程的精确程求得路程的精确值值（1）分割）分割T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 ti ti ti
4、 1 si v(i)ti部分路程部分路程值值某某时时刻的速度刻的速度（2）求和）求和ns v(i)tii 1 max t1,t2,tn（3）取极限）取极限s lim v(i)tin 0 i 1路程的精确路程的精确值值定定义义 设设函数函数 f(x)在在a,b上有界，上有界，在在a,b中任意插中任意插入入记记 x maxx1,x2,xn，如果不如果不论对论对a,b若干个分点若干个分点a x x x x x b012n 1n把区把区间间a,b分成分成n个小区个小区间间，各小区各小区间间的的长长度依次度依次为为 xi xi xi 1，(i 1,2,)，在各小区在各小区间间上任取上任取一点一点 i（i
5、 xi），），作乘作乘积积 f(i)xin并作和并作和S f(i)xi，i 1(i 1,2,)二、定积分的定义怎怎样样的分法，的分法，也不也不论论在小区在小区间间 xi 1,xi 上上 a积积分下限分下限f(x)dx I lim f(i)xibn 0 i 1被被 积积 函函 数数被被 积积 表表 达达 式式积积 分分 变变 量量a,b 积积分区分区间间点点 i 怎怎样样的取法，的取法，只要当只要当 x 0 时时，和和S 总趋总趋于于确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个极限个极限 I 为为函数函数 f(x)在区在区间间a,b上的上的定定积积分分，记为记为积积分上限分上限积积分和分和注意：注
6、意：（1）积积分分值仅值仅与被与被积积函数及函数及积积分区分区间间有关，有关，而与而与积积分分变变量的字母无关量的字母无关.abbf(x)dx af(t)dt af(u)dub（2）定）定义义中区中区间间的分法和的分法和 i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）当函数）当函数 f(x)在区在区间间a,b上的定上的定积积分存在分存在时时，称称 f(x)在区在区间间a,b上上可可积积.当函数当函数 f(x)在区在区间间a,b上上连续时连续时，称称 f(x)在区在区间间a,b上可上可积积.定理定理1 1定理定理2 2设设函数函数 f(x)在区在区间间a,b 上有界，上有界，且只有有限个第一且只有
7、有限个第一类类的的 间间断点，断点，则则 f(x)在在 区区间间a,b上可上可积积.三、存在定理f(x)0,af(x)dx Ab曲曲边边梯形的面梯形的面积积f(x)0,af(x)dx A曲曲边边梯形的面梯形的面积积的的负值负值bA1A2A3A4A4A2 A3f(x)dx A1b a四、定积分的几何意义几何意几何意义义：它是介于它是介于 x 轴轴、函数、函数 f(x)的的图图形及两形及两条条 直直线线 x a,x b 之之间间的各部分面的各部分面积积的代的代数和数和 在在 x 轴轴上方的面上方的面积积取正号；在取正号；在 x 轴轴下下方的面方的面 积积取取负负号号 例例1 1 利用定利用定义计义
8、计算定算定积积分分x dx.102 解解 将将0,1n等分，分点等分，分点为为x i，(i 1,2,n)ni小区小区间间 xi 1,xi 的的长长度度 xi取取 i xi，(i 1,2,n)，(i 1,2,n)n1n f(i)xii 1 i xii 1n2x x,i 12 i in ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1 n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n x dx 102 xiin 0 i 1 lim 2 n lim 1 1 1 2 1 1.n n 6 3五、定积分 的性质证证 a f(x)g(x)dxnb lim f(i)g(i)x
9、i 0 i 1 lim f(i)xi lim g(i)xinn 0 i 1 0 i 1 af(x)dx a g(x)dx.（此性（此性质质可以推广到有限多个函数作和的情可以推广到有限多个函数作和的情况）况）bbbbb性性质质1 1 a f(x)g(x)dx af(x)dx a g(x)dx.a kf(x)dx k af(x)dxk(bb为为常数常数).证证 a kf(x)dx lim kf(i)xibn 0 i 1 lim k f(i)xinni 1 0 k lim f(i)xi 0 i 1 k af(x)dx.b性性质质2 2 abcbf(x)dx af(x)dx cf(x)dx.补补充充：
10、不：不论论 a,b,c的相的相对对位置如何位置如何,上式上式总总成立成立.例例 若若 a则则a b c,cf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcb abf(x)dx af(x)dx b f(x)dxcccb af(x)dx cf(x)dx.（定（定积积分分对对于于积积分区分区间间具有可加性）具有可加性）性性质质3 3假假设设a c b性性质质4 4 1 dx badx b a.b a则则 af(x)dx 0.b(a b)证证 f(x)0,f(i)0,(i 1,2,n)xi 0,n f(i)xi 0,i 1 max x1,x2,xn i in 0 i 1f()x lim f(x)dx
11、0.ba性性质质5 5如果在区如果在区间间a,b上上 f(x)0，例例 1 1 比比较积较积分分值值 e dx 和和x 20 xdx 的大小的大小.20解解令令 f(x)ex x,x 2,0 f(x)0,(ex x)dx 0,0 2 e dx x 20 xdx,0 2 于是于是 e dx x 20 xdx.20 可以直接作出答案可以直接作出答案性性质质5 5的推的推论论：（1）如果在区如果在区间间a,b上上 f(x)g(x)，证证 f(x)g(x),g(x)f(x)0,a g(x)f(x)dx 0,a g(x)dx af(x)dx 0,bbb于是于是f(x)dx bb ag(x)dx.a则则f
12、(x)dx g(x)dx.(a b)bb a af(x)dx f(x)dx.(a b)b a ab证证 f(x)f(x)f(x),f(x)dx,f(x)dx f(x)dx b abb a a 即即f(x)dx f(x)dx.b a ab说说明：明：|f(x)|在区在区间间a,b上的上的可可积积性是性是显显然的然的.性性质质5 5的推的推论论：（2）设设M 及及m分分别别是函数是函数证证a m f(x)M,a mdx af(x)dx a Mdx,bbbm(b a)f(x)dx M(b a).ba（此性（此性质质可用于估可用于估计积计积分分值值的大致范的大致范围围）曲曲边边梯形的面梯形的面积积 夹
13、夹在两个矩形之在两个矩形之间间则则m(b a)f(x)dx M(b a).bf(x)在区在区间间a,b上的最大上的最大值值及最小及最小值值，性性质质6 6解解f(x),sin xxx2x2f(x)x cos x sin x cos x(x tan x)0 x,42 f(x)在在,上上单调单调下下降降,42 故故 x 为为极大点，极大点，x 为为极小点极小点,42例例2 不不计计算定算定积积分分 估估计计 的大小的大小dxx sin x 242424M f()2 2,m f()2,42 b a ,244 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2.x 2x证证性性质质7 7（Th
14、5.1 Th5.1 定定积积分第一中分第一中值值定理）定理）如果函数如果函数 f(x)在在闭闭区区间间a,b上上连续连续，则则在在积积分区分区间间a,b上至少存在一个点上至少存在一个点 ，f(x)dx Mb a m ba1 m(b a)f(x)dx M(b a)ba由由闭闭区区间间上上连续连续函数的介函数的介值值定理知定理知使使 af(x)dx f()(b a).(a b)积积分中分中值值公式公式b在区在区间间a,b上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使使f(x)dx,1 f()b abaf(x)dx f()(b a).b a(a b)积积分中分中值值公式的几何解公式的几何解释释：在区在区间间
15、a,b上至少存在一上至少存在一xoab 个点个点 ，使得以区使得以区间间a,b为为即即yf()以曲以曲线线 y f(x)底底边边，为为曲曲边边的曲的曲边边梯形的面梯形的面积积 等于同一底等于同一底边边而高而高为为 f()的一个矩形的面的一个矩形的面积积。Th5.2(Th5.2(推广的推广的积积分第一中分第一中值值定理）定理）如果函数如果函数 f(x),g(x)在在闭闭区区间间a,b上上连续连续，且且 g(x)在在闭闭区区间间a,b上可上可积积且不且不变变号号,则则在在积积分区分区间间a,b上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使，使f(x)g(x)dx f()g(x)dx当g(x)1时,即为Th
16、5.1bbaa六、积分上限函数及其导数设设函数函数 f(x)在区在区间间a,b上上连续连续，并且，并且设设x 为为a,b上的一点，上的一点，考察定考察定积积分分 ax xf(x)dx af(t)dt记记 (x)af(t)dt.x积积分上限函数分上限函数如果上限如果上限x 在区在区间间a,b上任意上任意变动变动，则对则对于于 每一个取定的每一个取定的x 值值，定，定积积分有一个分有一个对应值对应值，所以，所以 它在它在a,b上定上定义义了一个函数，了一个函数，ax xbxyf(t)dto定理定理 如果如果 f(x)在在a,b上上连续连续，则积则积分上限的分上限的函函数数(x)f(t)dt 在在a
17、,b上具有上具有导导数，且它的数，且它的导导x a数是数是f(t)dt f(x)(a x b)(x)dx d xa 证证 (x x)xx a (x x)(x)af(t)dt af(t)dtxx x(x)x(x)af(t)dt.xx x xbf(t)dtf(t)dt f(t)dt x axx xx a xf(t)dt,xx由由积积分中分中值值定理得定理得 f()x x 0,x f(),xlim lim f()x0 x0 x (x)f(x).o x,x x,axy(x)计计算下列算下列导导数数t 2etttcosxxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)补补充充如果
18、如果 f(t)连续连续，a(x)、b(x)可可导导，则则F(x)f(t)dt 的的导导数数F (x)为为b(x)a(x)证证F(x)f(t)dt a(x)b(x)0 0 f(t)dt 0b(x)0f(t)dt,a(x)F (x)f b(x)b(x)f a(x)a(x)f(t)dt f b(x)b(x)f a(x)a(x)F (x)dxb(x)a(x)d例例1 1求求 limx0.21cos x2xedt t 解解 e t d 1cos x2dt dxdt,cos xt 21 e dx d(cos x)cos2 x e,sin x e cos2 xx21cos xlimx02dte t 2x2s
19、in x e cos x limx0.1 2e 00分析：分析：这这是是型不定式，型不定式，应应用洛必达法用洛必达法则则.定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果如果 f(x)在在a,b上上连续连续，则积则积分上限的分上限的函函数数(x)原函数原函数.f(t)dt 就是就是 f(x)在在a,b上的一上的一个个x a定理的重要意定理的重要意义义：（1）肯定了）肯定了连续连续函数的原函数是存在的函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了）初步揭示了积积分学中的定分学中的定积积分与原函数之分与原函数之间间的的联联系系.定理定理 3 3（微（微积积分基本公式）分基本公式）如果如果F(x)是是
20、连续连续函数函数 f(x)在区在区间间a,b上上b的一个原函数，的一个原函数，则则 f(x)dx F(b)F(a).a又又(x)f(t)dt 也是也是 f(x)的一个原函的一个原函数数,x a已知已知F(x)是是 f(x)的一个原函数，的一个原函数，F(x)(x)Cx a,b证证七 牛顿莱布尼茨公式令令x aF(a)(a)C,(a)af(t)dt 0aF(a)C,f(t)dt F(x)F(a),xa F(x)f(t)dt C,xa令令 x b f(x)dx F(b)F(a).ba牛牛顿顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式f(x)dx F(b)F(a)F(x)ba 微微积积分基本公式表明：分基本公式表明：
21、一个一个连续连续函数在区函数在区间间a,b上的定上的定积积分等于分等于 它的任意一个原函数在区它的任意一个原函数在区间间a,b上的增量上的增量.求定求定积积分分问题转问题转化化为为求原函数的求原函数的问题问题.b a注意注意当当a b时时，f(x)dx F(b)F(a)仍成仍成立立.ba例例4 4求求 2(2cos x sin x 1)dx.0 原式原式 20 2sin x cos x x 3 .2f(x)dx.例例5 5设设 f(x),求求 2 x0 x 1 51 x 220解解解解12f(x)dx 0f(x)dx 1f(x)dx 02在在1,2上上规规定当定当 x 1时时，f(x)5,原式
22、原式 0 2 xdx 1512dx 6.xyo12例例6 6求求 maxx,x2 dx.2 2解解由由图图形可知形可知f(x)maxx,x2 x2 2 x 0 x 0 x 1,1 x 2 2 xdx 0 xdx 1x dx 原式原式 0 x2 2122.2 112xyoy x2y x1 2设 f(x)Ca,b,且 F(x)f(x),则有1.微积分基本公式a f(x)d x f()(b a)F()(b a)F(b)F(a)b积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式定理假设（1）f(x)在a,b上连续；（2）函数 x (t)在,上是单值的且有连续 导数；（3）当t 在区间,上变化时，x (t)的
23、值 在a,b上变化，且()a、()b，则则 有有f (t)(t)dt.f(x)dx b a 八、换元公式证证设设F(x)是是 f(x)的一个原函数，的一个原函数，f(x)dx F(b)F(a),ba(t)F(t),(t)dF dx f(x)(t)f (t)(t),dxdt(t)是是 f (t)(t)的一个原函数的一个原函数.f (t)(t)dt ()(),()a、()b,()()F ()F ()F(b)F(a),f(x)dx F(b)F(a)()()ba f (t)(t)dt.注意注意当当 时时，换换元公元公式仍成立式仍成立.应应用用换换元公式元公式时应时应注意注意:（1）用 x (t)把变量
24、 x换成新变量t 时，积分限也 相应的改变.（2）求出 f (t)(t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t)然后相减就行了.2cos5 x sin xdx.0例例1 1计计算算.x ln xe 43edx例例2 2计计算算例例1 1计计算算cos5 x sin xdx.20 2225cos5 xd(cos x)00cos6 x0cos x sin xdx (0 1)1.666 解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。3 1)42 2(2 ln xln xd ln xx
25、 ln xe 4e 4ee dx 例例2 2 计计算算 解解原式原式3e 4e33.x ln xe 43edx例例3 3 计计算算 3解解2xdx三角代换和根式代换例例4 4计计算算解解12x1 x122dx.1令令 x sin t,x 1 t ,2x 12 t 6dx cos tdt,原式原式2226sin2 t cos tsin2 t66 cos t dt dt cot t(cot cot )(0 3)3 2 6 明显换元例例 5 5 当当 f(x)在在 a,a上上连续连续，且，且有有 f(x)为为偶函数，偶函数，则则 af(x)dx 2 0f(x)dx；aa f(x)为为奇函数，奇函数，
26、则则 af(x)dx 0.a证证f(x)dx f(x)dx f(x)dx,0a0a a a在在 a0f(x)dx 中令中令x t,af(x)dx af(t)dt 0f(t)dt,00a f(x)为为偶函数，偶函数，则则f(t)f(t),af(x)dx 0f(x)dxf(t)dt;f(x)dx aa 0a 2 0a f(x)为为奇函数，奇函数，则则 f(t)f(t),af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx 0.a 0a在在 a0f(x)dx 中令中令x t,奇函数奇函数例例6 6计计算算解解2 x x cos x dx.1 1 x21 12原式原式 11 1 x2122 xdx 11 1
27、 x21x cos x dx偶函数偶函数 4 0dx1 1 x2 4 0(1 12 x 01 (1 x2)41x (1 1 x )dx221 x)dx 4 412 1 x dx102 4 .单单位位圆圆的面的面积积总结总结：1、定、定积积分公式分公式2、定、定积积分分计计算方法（直接代入，凑微分，算方法（直接代入，凑微分，根式代根式代换换，三角代，三角代换换）3、根式和三角代、根式和三角代换为换为明明显显的代的代换换，所以，所以换换 元要元要换换上下限上下限4、介介绍绍了了积积分上限函数分上限函数5、积积分上限函数是原函数分上限函数是原函数6、计计算上限函数的算上限函数的导导数数例例 7 7若
28、若 f(x)在在0,1上上连续连续，证证明明（1）f(sin x)dx f(cos x)dx;2200（2）0 xf(sin x)dx f(sin x)dx.20 由此由此计计算算 0 1 cos2 x x sin x dx.证证（1）设设 x t2 dx dt,x 0 t ,2x t 0,2 20f(sin x)dx f sin t dt 022 2 0f(cos t)dt f(cos x)dx;20 x t2（2）x t dx dt,x 0 t ,x t 0,0 xf(sin x)dx (t)f sin(t)dt 0(t)f(sin t)dt,0 由此由此计计算算 0 1 cos2 x2
29、0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx x sin x dx设设xf(sin x)dx 0 f(sin t)dt 0 tf(sin t)dt 0f(sin x)dx 0 xf(sin x)dx,f(sin x)dx.2 0 xf(sin x)dx 0 0 1 cos2 x x sin x dx sin x 2 0 1 cos2 x dx2 0 1 cos2 x 1 d(cos x)arctan(cos x)02.4 2)(244 0 avdu.定定积积分的分部分的分部积积分公式分公式九、分部积分公式设设函数函数u(x)、v(x)在区在区间间 a,b 上具有上具有连续连续导导数，数
30、，则则有有 udv uvb abb a推推导导 uv u v uv,(uv)dx uv ,baba u vdx uv dx,baabb auv udv uv vdu.bababa例例计计算算解解ln xdx.1e例例2 2计计算算arcsin xdx.120 解解令令u arcsin x,dv dx,du dx,1 x2v x,120arcsin xdx x arcsin x 120 xdx 1 x2 120 261 1 d(1 x2)1 x120212 1 x 12 1202 1.122 3则则例例3 3计计算算解解xe dxx10例例4 4 计计算算 x cos xdx10例例5 5计计算
31、算解解1edxx2ln x一、无穷限的广义积分定定义义 1 1设设函数函数 f(x)在区在区间间a,)上上连续连续，取取b a，如果极限，如果极限 lim b b af(x)dx 存在，存在，则则称此极称此极限限为为函数函数 f(x)在无在无穷穷区区间间a,)上的广上的广义积义积分，分，记记作作 af(x)dx.af(x)dx lim b b af(x)dx当极限存在当极限存在时时，称广，称广义积义积分收分收敛敛；当极限不存；当极限不存在在 时时，称广，称广义积义积分分发发散散.第四节 广义积分类类似地，似地，设设函数函数 f(x)在区在区间间(,b 上上连续连续，取取a b，如果极限，如果极
32、限 lim a baf(x)dx 存在，存在，则则称此极称此极限限为为函数函数 f(x)在无在无穷穷区区间间(,b 上的广上的广义积义积 分，分，记记作作 f(x)dx.b bf(x)dx limab af(x)dx当极限存在当极限存在时时，称广，称广义积义积分收分收敛敛；当极限不存在；当极限不存在 时时，称广，称广义积义积分分发发散散.设设函数函数 f(x)在区在区间间(,)上上连续连续,如如果果0广广义积义积分分 f(x)dx 和和 0f(x)dx 都收都收敛敛，则则称上述两广称上述两广义积义积分之和分之和为为函数函数 f(x)在无在无穷穷区区间间(,)上的广上的广义积义积分，分，记记作作
33、 f(x)dx.0f(x)dx f(x)dx 0f(x)dx ab lim0af(x)dx lim b0f(x)dx极限存在称广极限存在称广义积义积分收分收敛敛；否；否则则称广称广义积义积分分发发散散.例例1 1 计计算广算广义积义积分分解解 1 sin 1 dx.22 x x 2 1 sin 1 dx x x2 2sind x 1 1x x 2 cos 1 cos 0 0 12 lim cos 1 cosxx lim F(x)F(a)x F()F(a)f(x)dx F(x)aa简记为例例1 1 计计算广算广义积义积分分.1 x2dx解解 1 x2dx 1 x20dx 01 x2dx 1 x0
34、 1 limdx lima 2a 0 1 x2bb 1 dx arctan x 0 limaab arctan x b0lim lim arctana lim arctanb ab .2 2 例例 3 3 证证明广明广义积义积分分 11dx 当当 p 1时时收收敛敛，x p当当 p 1时发时发散散.证证(1)p 1,1 1 dx x p 1 1dx ln x x1 ,p 1(2)p 1,1 1 dx xp1 p 1 x 1 1 p,p 1 p 1 因此当因此当 p 1时时广广义积义积分收分收敛敛，其，其值为值为 1；p 1当当 p 1时时广广义积义积分分发发散散.o,iiJy$y()dbbo+
35、cb/(z)dz,y(d.:i a.aJ(z)dz-J-J(z)dzAcr BU X if.4STJ1.i*J1 I;-,;y,pJb/(,)dp2 z 4z 1 11 211f=o i l y r-s jk.r yG>*fJ 5.7pa l e*dx(o 0)ti5.8e 2z1回回顾顾曲曲边边梯形求面梯形求面积积的的问题问题A af(x)dxb第五节、定积分应用曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线 y f(x)(f(x)0)、x 轴轴与与两两条条直直线线 x a、x b所所围围成。成。abxyoy f(x)1、几何上的应用面积ax x dxbxyoy f(x)A lim
36、 f(i)xi n 0 i 1 abf(x)dx a f(x)dx.bdA面面积积元元 素素一、平面一、平面图图形的面形的面积积1.直角坐直角坐标标情形情形设曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A,则dA f(x)dxA f(x)dxbaOaxbxyy f(x)x dxyby f2(x)xay f1(x)Oxx d x f(x)f(x)dxA 右图所示图形，面积元素为dA f1(x)f2(x)dxba12xyoy f(x)axx xbxyoy f1(x)y f(x)2ab曲曲边边梯形的面梯形的面积积A abf(x)dx曲曲边边梯形的面梯形的面积积A a f2(x)f1(x)dxbx xf1
37、(x)f2(x)dxA baybxa x x d xy f2(x)y f1(x)Oc f(x)f(x)dxca12 f(x)f(x)dxbc21A (y)(y)dydcy d yyOx (y)xy d x (y)cdA|f1(x)f2(x)|dx有时也会选 y 为积分变量dA|(y)(y)|dy例例 1 1 计计算由两条抛物算由两条抛物线线 y2 x 和和y x2 所所围围成的成的 图图形的面形的面积积.解解（1）作）作图图（2）求出两曲）求出两曲线线的交点的交点(0,0)(1,1)（3）选选 x 为积为积分分变变量量x 0,1A (x x2)dx 101x3 3 0 3 223 x .13
38、y x2x y2（4）代公式）代公式 A a f2(x)f1(x)dxb例例 2 2计计算由曲算由曲线线 y2 2x和直和直线线 y x 4所所围围成的成的图图形的面形的面积积.解解两曲两曲线线的交点的交点 y2 2 x y x 4(2,2),(8,4).选选 y 为积为积分分变变量量 y 2,4dA y 4 y dy2 2 A dA 18.4 2 y2 2xy x 4解解题题步步骤骤：(1)画出草图；(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。Ox x d x ayb例例3.求椭圆解解:利用对称性,有 d A y dx所围图形的面积.A 40y d x 4b0a利用椭圆的参
39、数方程x a cos t(0 t 2)y b sin t应用定积分换元法得 4ab 202sin t dt 4ab 2 2 ab1 当 a=b 时得圆面积公式x1 aaxd x2二、立体体二、立体体积积V A(x)d xbabxax1.已知平行截面面已知平行截面面积积函数的立体体函数的立体体积积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),上连续,则对应于小区间dV A(x)d x因此所求立体体积为的体积元素为A(x)(R x R)V 202(R x)tan d xR 122 2 tan R2 x 1 x3 R30例例1.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角,计算该平面截圆
40、柱体所得立体的体积.x2 y2 R2垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为A(x)1(R2 x2)tan2利用对称性O x R(R2 x2)xy(R2 x2 tan )ORx(x R2 y2)(x,y)yR思考思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?A(y)2x y tan 2 tan yV 2 tan 0 y提示提示:R2 y2RR2 y2 dy(y tan )旋旋转转体体就就是是由由一一个个平平面面图图形形绕绕这这平平面面内内 一一条条直直线线旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体这这直直线线叫叫做做 旋旋转轴转轴
41、圆圆柱柱圆锥圆锥圆圆台台旋转体的体积Oxyd x (y)2 f(x)dxV ba当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2(y)dyV d cyc yabxxyabOy f(x)2.旋旋转转体的体体的体积积当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有x一般地，如果旋一般地，如果旋转转体是由体是由连续连续曲曲线线 y f(x)、直直线线 x a、x b 及及x 轴轴所所围围成的曲成的曲边边梯形梯形绕绕 x 轴轴旋旋转转一周而成的立体，体一周而成的立体，体积为积为多少？多少？取取积积分分变变量量为为x，x a,bxx dxxyo旋旋转转体的体体的体积为积为 f(x)dxV ba2
42、y f(x)类类似似 地，地，如果如果 旋旋 转转体体 是由是由 连连 续续曲曲 线线x (y)、直、直线线 y c、y d 及及y 轴轴所所围围成的曲成的曲边边梯形梯形绕绕 y 轴轴旋旋转转一周而成的立体，一周而成的立体，体体积为积为xoydx (y)c (y)dy2 V dcY 轴X 轴ca xby f(x)y g(x)V a f(x)g(x)dx22bf(x)g(x)0(y)(y)22dyV d(y)(x)0X 轴Y 轴x (y)x (y)cdxa xyb例例1.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:利用直角坐标方程则 2 b a(a2 x2)dxa2 0V 20 y dx2(利用对称性)0 2 b a2 x 1 x3 a2 23a 4 ab23Oa2例例 计计算由两条抛物算由两条抛物线线 y2 x和和 y x 2所所围围成的成的 图图形的形的围绕轴围绕轴的旋的旋转转体的体体的体积积.解解x y2y x21(x)2 (x2)2)dx0 xV