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1、本节要点本节要点 本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、可化为有理形式的三角函数的积分二、可化为有理形式的三角函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分方法方法, 并讨论某些可以化为有理函数的积分并讨论某些可以化为有理函数的积分.1,323,ABAB即即:2356.5623xxxxx 2222111,1111A xBxCx xABCxxx xxx x方法二方法二: 部分分式通分后部分分式通分后, 在分子恒等式中代入特殊的在分子恒等式中代入特殊的 值从
2、而确定常数值从而确定常数. 例如例如x5,6.AB 令令 得得 ;令令 得得 ; 将将0, 1 1, 1xAxB1,1AB及及 代入上式得代入上式得 因此因此2x 1.C 221111.111xxx xx即即:2111,A xBxCx x例例 分解分解31.1xx解解 因因 3211,111xxxxxx所以所以321,111xABxCxxxx即有即有2111,A xxBxCxx令令 21, 3xA 令令21.3xB 令令10,3xC 即有即有322211333.11xxxxxx 2.部分分式的不定积分部分分式的不定积分 当有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和后当有理函数分解成多项式与若干个
3、部分分式之和后, d ,Axxad ,nAxxa2d ,MxNxxpxq2d .nMxNxxpxq只出现多项式与下列形式的部分分式只出现多项式与下列形式的部分分式. 故只需考虑下列故只需考虑下列形式的部分分式的不定积分形式的部分分式的不定积分.具体解法如下具体解法如下:dln.AxAxaCxa1d.1nnAAxCxanxa1n 2222dd2NxppMxNMMxxxpxqxpxq22222lnarctan.244MppNxMxpxqCppqq2222dd2224MxpMpxxNxpxqppxq2222dd2()nnNxppMxNMMxxxpxqxpxq22222dd2224nnMxpMpxxN
4、xpxqppxq1222 1nnMMpNInxpxq其中其中而而2111222222d21dnnnntttInttatata22222dd 24nnnxtItappxq2,24pptxaq211222222121d .nnntanttatata即即21112221,nnnntInIa Ita于是于是11222123,2,3,21nnntInInanta11arctan.tICaa 总之总之, 有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和有理函数分解成多项式与若干个部分分式之和以后以后, 各部分的不定积分都可以得到各部分的不定积分都可以得到.例例1 求积分求积分22d .1xxxx解解 22d1xx
5、xx 21521ln1arctan.233xxxC2211d21xxxxx 251d21324xx例例2 求积分求积分23d .56xxxx解解 因因2356,5623xxxxx 故故5ln26ln3.xxC dd5623xxxx 23d56xxxx例例3 求积分求积分22d .23xxxx解解 因因2222222113.2222312xxxxxxx故故22d23xxxx2222d23d11322312xxxxxx2131ln22arctan.222xxxC222122dd322312xxxxxx例例4 求积分求积分2d.1xx x 解解 因因221111,111xxx xx故故2d1ln.1
6、11xxCxxx x例例5 求积分求积分21d .121xxx解解 设设2211 211 21abxcxxxx2211 21 21axx bxcxx2222,1 21ab xbc xa cxx 即有即有20,20,1,abbca c 因此有因此有21121xx241211,5 12551xxx 421,555abc 因而相应的积分为因而相应的积分为21d1 21xxx22212dd5 1 25 1xxxxx211d5 1xx2211ln1 2ln 1arctan.555xxxC 考虑下列形式的不定积分考虑下列形式的不定积分 其中其中 为有理函数为有理函数. 由于由于sin ,cosdfxxxf
7、222tan2tan22sin2sincos,22sec1tan22xxxxxxx22221tan2coscossin,221tan2xxxxx二、可化为有理形式的三角函数的积分二、可化为有理形式的三角函数的积分令令 则，则， tan ,2xux 22221sin,cos,11uuxxuu而而 21dsecd ,22xux2222d2d2dd,1sec1 tan22uuuxxxu故故sin ,cosdfxxx即即2222212d,.111uuufuuu这里所用的变量代换这里所用的变量代换 对三角函数的有理式都对三角函数的有理式都tan2xu 适用适用, 故此代换又称为故此代换又称为万能代换万能
8、代换.例例6 求积分求积分1sind .sin1cosxxxx解解 令令 , 则则tan2xu 1sindsin1cosxxxx112d2uuu2222222d11121111uuuuuuuu212ln22uuuC211tantanln tan.42222xxxC例例7 求积分求积分21d .3sinxx解解 令令 则原积分为则原积分为tan,2xu 21d3sinxx24212d3103uuuu22212d1231uuuu22212d313uuuu22111d2313uuu111arctan3arctan2333uuC11arctan3tanarctantan.222 33xxC 一些特殊形
9、式的三角有理函数有下面一些特殊的方法一些特殊形式的三角有理函数有下面一些特殊的方法:若若 则可用代换则可用代换:sin ,cossin ,cos,fxxfxx cos ,ux若若 则可用代换则可用代换:sin , cossin ,cos,fxxfxx sin ,ux若若 则可用代换则可用代换:sin , cossin ,cos,fxxfxxtan .ux例例8 求积分求积分1d .2cossinxxx解解 由上面的讨论由上面的讨论, 做变换做变换 则则:cos ,ux21sindd2cossin2cossinxxxxxxx2dcos2cos1 cosxxx 111111ddd3 22161uu
10、uuuu2d21uuu111ln1ln1ln2623uuuC 11ln cos1ln cos162xx 1ln cos2.3xC例例9 求积分求积分sind .sincosxxxx解解 sintanddsincos1tanxxxxxxx22tansecd1tansecxxxxx2d11uuuu2tandtan1tan1tanxxxx21111dd2 12 1uuuuu 2111ln 1ln 1arctan242uuuC 111ln 1tanln sec.222xxxC 例例10 求积分求积分sincosd ,sincosaxbxxcxdx时为零时为零, 且且0.adbc解解 设设 sincos
11、sincosaxbxA cxdx比较等式两边的系数比较等式两边的系数, 得到得到sincossincos,sincossincoscxdxaxbxABcxdxcxdxsincos,B cxdx, , ,a b c d其中其中 不同不同sincossincosddsincossincoscxdxaxbxxABxcxdxcxdxln sincos.AxBcxdxC例例11 求积分求积分 其中其中dsincosxaxbx0.ab 解解 因因222222sincossincosabaxbxabxxabab其中其中 则则arctan,ab22sinsincoscosabxx22cos,abx22d11d
12、sincoscosxxaxbxxab221ln sectan.xxCab例例12 求积分求积分1dsinsinxxaxbsin0.ab解解 因因 sinsinsincosa bx ax bx ax bcoscos11,sinsinsinsinsinx bx ax ax ba bx bx a其中其中cossin,x ax bcoscos11ddsinsinsinsinsinx bx axxx ax ba bx bx asin1ln.sinsinxaCabxb三、可化为有理形式的简单无理函数的积分三、可化为有理形式的简单无理函数的积分 考虑下列形式的简单无理根式的不定积分：考虑下列形式的简单无理根
13、式的不定积分：,d ,nmaxbaxbfxxcxdcxd令令 其中其中 为为 的最小公倍数的最小公倍数. 这样上这样上,Naxbtcxd ,Nn m述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分定积分.例例13 求积分求积分1d .xxx解解 令令 即即 故积分为故积分为221, 1,d2 d ,txxtxt t1dxxx2121d1tt2222 d2d11ttt tttt21arctan1.xxC 2arctan.ttC例例14 求积分求积分3d.12xx解解 令令 即即3322, 2,d3 d ,txxtxtt223d3 d1 13d
14、1112xttttttx 2131d3ln 112tttttCt 233332323ln 12.2xxxC例例15 求积分求积分11d .xxxx解解 令令21,xtx11dxxxx22212d21d11ttttt 22212 d,d,11t txxtt 即即所以所以22221d1ttttt112ln21ttCt 1122ln1ln.xxxCxx 222ln1ln1tttC 例例16 求积分求积分1d .12xxx1d12xxx解解令令 21xtx2221txt21d ,12xxxx2212,xtt226dd ,1txtt221xtx22222322,11ttxtt所以所以121dd1212xxxxxxx22222611d2d311tttttttt11dln 1ln 111tttCtt22ln 1ln 1.11xxCxx53 结束语结束语